Integral Substitusi dan Integral Parsial

Integral Substitusi & Integral Parsial merupakan materi lanjutan dr pengertian integral & integral tak pasti, serta rancangan dasar integral lainnya. Silakan klik hyperlink tersebut bila anda ingin mempelajarinya apalagi dahulu.

Daftar Isi

Integral Substitusi

Teknik Integral Substitusi Dalam Fungsi Aljabar

Pada teknik ini, bentuk fungsi f(x) mampu diubah menjadi bentuk $k \cdot (g(x))^n \cdot g^I(x)$ . Perhatikan bahwa jika U = g(x), maka $\frac dU dx g^I(x)$ atau $dU = g^I(x)\, dx$ .

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org yang lain:

Fungsi Kuadrat

Vektor

Jika

$\int f(x)\, dx = k \cdot \int(g(x))^n \cdot g^I(x) dx$

Maka, integral ini dapat tertuntaskan dgn memisalkan U = g(x) & $U = g^I(x)dx$ sehingga diperoleh persamaan:

$\int f(x)\, dx = k \cdot \int(g(x))^n \cdot g^I(x)dx=k \cdot \int(U)^n \cdot dU$

$= \frac k n+1 U^ (n+1) +C$

untuk $n \neq -1$ .

Jika saja $n = -1$ , maka:

$k \cdot \int(U)^ -1 \cdot dU = \ln U+C$ .

Sebagai pola:

Jika $f(x)=(x^4+5)^3 x^3$ , untuk mendapat integralnya dgn memisalkan:

$x^4+5 = U$ & $\frac dU dx =4x^3$

sehingga $x^3 dx=\frac 1 4 dU$ .

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

$\int(x^4+5)^3x^3\, dx=\int(U)^3 \cdot \frac 1 4 dU$

$=\frac 1 16 U^4+C$

Jika hasil integral diatas disubstitusi dgn permisalan U di peroleh:

$\frac 1 16 U^4+C=\frac 1 16 (x^4+5)^4+C$

Contoh diatas merupakan teknik substitusi pada integral tak pasti. Pada integral tertentu yg memiliki nilai pada interval $a \le b \le c$ tertentu, maka interval tersebut harus disubstitusi ke dlm interval gres untuk variabel U. Sebagai acuan jika $\int^2_0 (x^4+5)^3x^3\, dx$ , untuk menerima integralnya dgn memisalkan:

$x^4+5=U$ & $\frac dU dx = 4x^3$

Sehingga $x^3\, dx=\frac 1 4 \, dU$ .

Untuk membuat persamaan integral dlm U, maka interval $0\le x\le 2$ dirubah menjadi :

$x=0\to U=x^4+5=0^4=5=5$

$x=2 \to U=x^4+5=2^4+5=21$

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

$\int^2_0(x^4+5)^3x^3\, dx=\int^ 21 _5 (U)^3 \cdot \frac 1 4 \, dU$

$=[\frac 1 16 U^4]^ 21 _5=\frac 1 16 21^4-\frac 1 16 5^4$

$=\frac 1 16 (194481-625)=12116$

Teknik Integral Substitusi Dalam Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri selaku integran, untuk beberapa masalah, tak mampu langsung diintegralkan seperti rumus integral awal. Sehingga perlu pula dilakukan pergeseran integran. Perubahan pada fungsi trigonometri dapat dilakukan sesuai dgn persamaan berikut:

$\sin^2 A+\cos^2A=1$

$\tan^2A+1=\sec^2A$

$\cot^2A+1=\csc^2A$

$\sin A \cos A = \frac 1 2 \sin 2A$

$\sin^2 A=\frac 1 2 - \frac 1 2 \cos 2A$

$\cos^2 A=\frac 1 2 + \frac 1 2 \cos 2A$

$\sin A \cos B = \frac 1 2 [\sin (A+B) + \sin (A-B)]$

$\cos A \sin B = \frac 1 2 [\sin (A+B) - \sin (A-B)]$

$\cos A \cos B = \frac 1 2 [\cos (A+B) + \cos (A-B)]$

$\sin A \sin B = -\frac 1 2 [\cos (A+B) - \cos (A-B)]$

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org yang lain:

Karya Tulis Ilmiah

Sel Tumbuhan

Explanation Text

Sama hal dgn fungsi aljabar, fungsi trigonometri dapat menggunakan teknik substitusi ini jika integran terdiri dr perkalian suatu fungsi dgn fungsi turunannya sendiri. Pengoperasian pula sama dgn fungsi aljabar. Sebagai contoh, teladan jikalau $\int 2x \sin (x^2+1)\, dx$ , untuk menerima integralnya dgn memisalkan:

$x^2+1=U$ & $\frac dU dx =2x$

sehingga 2x dx = dU.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

$\int 2x \sin (x^2+1)\, dx=\int \sin U\, dU= - \cos U+C$

Jika hasil integral diatas disubstitusi dgn permisalan U, diperoleh:

$- \cos U+C=- \cos(x^2+1)+C$

Atau bila fungsi yg diturunkan adalah fungsi trigonometrinya pribadi, maka selaku acuan $\int \sin x \cos^3x\, dx$ , menerima integralnya dgn memisalkan:

$\cos x = U$ & $\frac dU dx = - \sin x$

sehingga sin x dx = – dU.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi :

$\int \sin x \cos^3 x\, dx=-\int U^3\, dU=-\frac 1 4 U^4+C$

Jika hasil integral diatas disubstitusi dgn permisalan U, diperoleh :

$-\frac 1 4 U^4+C=-\frac 1 4 cos^4x+C$

Teknik Substitusi Dengan integran $\sqrt[n] ax+b$

Pada teknik ini, dapat dimisalkan $y^n=ax+b$ & selanjutnya menuntaskan integral dlm fungsi f(y) menggunakan teknik substitusi mirip di awal. Contoh $\int x^2\sqrt x+3 \, dx$ , dimisalkan :

$y^2 = x+3$ atau $y^2-3=x$

sehingga $\frac dx dy =2y$ atau 2y dx = dy.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

$\int x^2\sqrt x+3 \, dx = \int(y^2-3)^2y \cdot 2y\, dy$

$=\int(y^4-6y^2+9) \cdot 2y^2\, dy$

$=\int2y^6-12y^4+18y^2\, dy=\frac 2 7 y^7-\frac 12 5 y^5+6y^3+C$ .

Jika hasil integral diatas disubstitusi dgn permisalan y, diperoleh:

$= \frac 2 7 (x+3)^ 7/2 -\frac 12 5 (x+3)^ 5/2 +6(x+3)^ 3/2 +C$

Teknik Substitusi Dengan integran $\sqrt a^2-x^2$ , $\sqrt a^2+x^2$ , atau $\sqrt x^2-a^2$

Integral dgn integran dlm bentuk akar diatas mampu dilakukan dgn memisalkan dr bentuk diatas selaku berikut:

integral substitusi & parsial

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org lainnya:

Efek Rumah Kaca

Hasil Kali Kelarutan

Resensi

Integral Parsial

Dalam pengintegralan, selain operasi lazimatau dgn teknik substitusi, ada teknik lain yakni integral parsial. Teknik ini digunakan kalau pada teknik sebelumnya tak bisa dipakai. Teknik ini merupakan integral dr turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini ialah konsep integral parsial:

Jika y = U(x) . V(x), maka:

$\frac dy dx =V(x) \cdot U',(x)+U(x) \cdot V',(x)$

$dy = v(x) \cdot U' (x)dx+U(x) \cdot V' (x)\, dx$

Jika y diganti UV maka:

$d(UV) = V(x) \cdot U' (x)\, dx+U(x) \cdot V'(x)\, dx$

Karena diketahui bahwa $U' (x) dx = dU$ & $V' (x) dx = dV$ , maka persamaan menjadi:

d(UV) = V . dU + U . dV

U . dV = d(UV) – V . dU

Dengan mengintegralkan kedua ruas dlm persamaan diatas, diperoleh:

Rumus integral parsial:

$\int U \cdot dV = UV -\int V \cdot dU$

Perlu diperhatikan untuk memilih U & dV yg tepat biar pengintegralan memperlihatkan hasil. (dV) mesti diseleksi yg mampu diintegralkan dgn rumus, sedangkan yg lain menjadi U.

Dalam integral parsial, terkadang mampu menurunkan U & mengintegralkan dV dengan-cara berulang. Jika terjadi proses yg berulang, maka proses mampu diringkas. Sebagai teladan $\int x^2 \cos x\, dx$ yakni: