Turunan Fungsi – Blog Ilmu Pengetahuan

Daftar Isi

Pengertian Turunan Fungsi Matematika

Turunan fungsidalam Matematika banyak ragam dan jenisnya diantaranya turunan fungsi aljabardan turunan fungsi trigonometri yang sudah saya buat materinya dibagian lain blog ini. Dan materi turunan fungsi yang lain akan saya bahas disini.

Turunan fungsi y = f(x) pada suati titik x = a, dapat didefinisikan seperti dibawah ini

y = f(x) terdefinisi di titik x = a jika $\lim_ {h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ada dan $\lim_ {h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ disebut turunan fungsi f(x) pada x = a, selanjutnya dilambangkan dengan $f'(a)=\lim_ {h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (Wirodikromo, 2007).

Contoh :

Tentukan turunan fungsi $f(x)=3x^2- 2x+3$ pada x = 2

[penyelesaian]

Berdasarkan definisi turunan fungsi maka,
$\\f'(1)= \lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\\f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{[3 (1+h)^2-2(1+h)+3]-(3.1^2-2.1+3)}{h}\\\\f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac {(3+6h+3h^2-2-2h+3)-4}{h}$
$\\f'(1)= \lim_{h \to 0}\frac{4h+3h^2}{h}=\lim_{h \to 0}(4+3h)\\\\ \therefore f'(1)=4$

Rumus Umum turunan Fungsi

Rumus turunan fungsi f(x) terhadap x adalah,
$\mathbf {f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

f’(x) dibaca f aksen x

Contoh :

Tentukan turunan fungsi dibawah ini dengan menggunkan rumus umum turunan fungsi!

1. $f(x)=x^2- 3x+5$

[Penyelesaian]
$\\f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac {[(x+h)^2-3(x+h)+5]-(x^2-3x+5)}{h}\\\\f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac {2xh+h^2-3h}{h}$
$\ \ f'(x)= \lim_{h \to0}(2x+h-3)\\\\\therefore f'(x)=2x-3$

Jika anda masih belum mengerti sebaiknya pelajari terlebih dahulu materi limit fungsi, karena materi ini adalah materi prasyarat untuk mempelajari turunan

2. $f(x)=\frac {x}{x-1}$

[Penyelesaian]
$\\f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac {x+h}{(x+h)-1}-\frac{x}{x-1}}{h}\\f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{x^2-x+hx-h- x^2-hx+x}{h(x+h-1)(x-1)}$
$\\f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{-1}{(x+h-1)(x-1)}\\\\\therefore f'(x)=\lim_{h \to 0}-\frac{1}{(x-1)^2}$

Untuk menyatakan turunan y = f(x) terdapat notasi lain yang juga sering digunakan dalam soal-soal turunan fungsi, notasi lain dari turunan fungsi adalah,

y’ atau f’(x) atau $\frac{dy}{dx}\,\, atau\,\, \frac{df}{dx}$

Turunan Fungsi Komposisi Aturan Rantai

Secara umum teorema aturan rantai adalah sebagai berikut,

Jika y = (f o g) (x) = f(g(x)) = f(u), dengan u = g(x) maka turunan dari y = (f o g) (x)

Adalah:

$\small \mathbf{y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}}$

Agar lebih jelas perhatikan contoh-contoh dibawah ini!

Tentukanlah turunan fungsi – fungsi dibawah ini dengan menggunakan aturan rantai.

1. $y=(1-2x^3)^{10}$

[Penyelesaian]
$\small \\ y=(1-2x^3)^{10}\\misalkan \, u=1-2x^3\Rightarrow y=u^{10}\\\cdot \frac{dy}{du}=10u^9\\\cdot\frac{du}{dx}=-6x^2$

$\\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}\\\\\frac{dy}{dx}=10u^9.(-6x^2)\\\\ \frac{dy}{dx}=10(1-2x^3)^9.(-6x^2)\\\\\therefore \mathbf{\frac{dy}{dx}=-60x^2(1-2x^3)^9}$

2. $y=\sqrt{ (1+x+x^2)}$

[Penyelesaian]
$\\y=\sqrt{(1+x+x^2)}\\misalkan\, u=1+x+x^2 \Leftrightarrow y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}\\\cdot \frac{dy}{du}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\\cdot \frac{du}{dx}=1+2x$

$\\\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.(1+2x)\\\\\mathbf{\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1+2x}{2\sqrt{1+x+x^2}}}$

3. $y=cos^4(3-4x^2)$

[penyelesaian]
$\\y=cos^4(3-4x^2)=\left \{ cos(3-4x^2) \right \}^4=u^4\\dengan\, u=cos\, v,\, dan\, v=3-4x^2$
$\\\cdot \frac{dy}{du}=4u^3\\\\\cdot \frac{du}{dv}=-sin\, v\\\\\cdot \frac{dv}{dx}=-8x$

$\\\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dv}.\frac{dv}{dx}\\\\\frac{dy}{dx}=4u^3.(-sin\, v).-8x\\\\\mathbf{\therefore \frac{dy}{dx}=32xcos^3(3-4x^2)sin(3-4x^2)}$

Turunan fungsi bentuk akar

Untuk turunan fungsi dalam bentuk akar saya sudah membuatnya pada halaman lain di blog ini , silahkan lihat turunan fungsi bentuk akar.

Ke Halaman selanjutnya ⇒ Turunan fungsi dalam kehidupan sehari-hari