Turunan fungsi trigonometri – Blog Ilmu Pengetahuan

Daftar Isi

Rumus-rumus Turunan Fungsi Sinus, Cosinus, dan Tangen

Turunanfungsi trigonometri – Banyak permasalahan sehari-hari yang menggunakan konsep turunan fungsi dalam penyelesaiannya, baik itu turunan fungsi aljabar maupun turunan fungsi trigonometri. Dalam postingan kali ini saya akan membuat rangkuman materi tentang turunan fungsi trigonometri serta contoh soal disertai pembahasannya.

Rangkuman turunan Fungsi Trigonometri :

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/02/turunan-fungsi-trigonometri.html

Pembuktian rumus Turunan fungsi trigonometri sinus, Cosinus dan Tangen

a.Pembuktian turunan Fungsi trigonometri sinus

Jika f(x) = sinx ⇒f’(x) = cosx

[Pembuktian]

Dengan menggunakan pendekatan limit fungsiatau rumus umum turunan, turunan fungsi sinus dapat dibuktikan, yaitu:

b.Pembuktian Turunan fungsi trigonometri cosinus

Jika f(x) = cosx ⇒f’(x) = – sin x

[Pembuktian]

Sama seperti pembuktian turunan sinus pembuktian menggunakan pendekatan limit fungsi atau rumus umum turunan , seperti dibawah ini:

c. Pembuktian Turunan fungsi trigonometri tangen

Jika , $f(x)=tan \, x\Rightarrow f'(x)=sec^2x$

[Pembuktian]

Pembuktian turunan fungsi tangen dapat menggunakan rumus turunan fungsi hasil bagi .

Maka,

Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Cosecan, Secan, dan Cotangen

a.Turunan Fungsi trigonometri Cosecan

Jika f(x) = cosec x , maka f'(x) = – cot x . cosec x

[Pembuktian]
Misalkan diketahui fungsi cosecan f(x) = cosec x, pembuktian rumus turunannya sebagai berikut:
$\\f(x)=cosec\, x=\frac{1}{sin\, x}\\\\\Leftrightarrow Gunakan\, rumus\, \left ( \frac{1}{v} \right )'=-\frac{v'}{v^2},\, maka\\\\f(x)=\frac{1}{sin\, x}$
$\\f'(x)=-\frac{(sinx)'}{sin^2x}=-\frac{cosx}{sin^2x}=-\frac{cosx}{sinx}.\frac{1}{sinx}\\\\\therefore f'(x)=-cot\, x.cosec\, x$

b.Turunan Fungsi Secan

Jika f(x) = sec x, maka f'(x) = tan x . sec x
[Pembuktian]
$\\f(x)=sec\, x=\frac{1}{cos\, x}\\f'(x)=-\frac{(cosx)'}{cos^2x}=-\frac{(-sinx)}{cos^2x}=\frac{sinx}{cos^2x}\\\\\therefore f'(x)=\frac{sinx}{cosx}.\frac{1}{cosx}=tan\, x.sec\, x$

c.Turunan Fungsi Trigonometri Cotangen

Jika f(x) = cot x, maka, $f'(x)=-cosec^2x$

[Pembuktian]
$\\f(x)=cot\, x=\frac{cos\, x}{sin\, x}\\\\\circ u(x)=cosx\Rightarrow u'(x)=-sinx\\\circ v(x)=sinx\Rightarrow v'(x)=cosx$
$\\f'(x)=\frac{(-sinx).sinx-cosx.cosx}{sin^2x}=-\frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x}\\\\\therefore f'(x)=-\frac{1}{sin^2x}=-cosec^2x$

Turunan fungsi trigonometri – Soal dan Pembahasan

Tentukan turunan fungsi trigonometri dari fungsi-fungsi dibawah ini!

(1). f(x) = sin x cos x

[Penyelesaian]

Gunakan rumus turunan fungsi hasil kali,
$\\f'(x)=(sin\, x)'.cos\, x+sin\, x.(cos\, x)'\\f'(x)=cos\, x.cos\, x+sin\, x.(-sin\, x)\\f'(x)=cos^2x-sin^2x$

(2). $f(x)=\frac{tan\, x}{cos\, x}$

[Penyelesaian]

Gunakan rumus turunan fungsi hasil bagi,
$\\f(x)=\frac{tan\, x}{cos\, x}\\\\f'(x)=\frac{(tan\, x)'.cos\, x-tan\, x.(cos\, x)'}{cos^2x}\\\\f'(x)=\frac{\frac{1}{cos^2x}.cosx-tanx.(-sinx)}{cos^2x}$
$\\f'(x)=\frac{\frac{1}{cosx}+\frac{sin^2x}{cosx}}{cos^2x}=\frac{\frac{1+sin^2x}{cosx}}{cos^2x}\\\\\therefore f'(x)=\frac{1+sin^2x}{cosx}$

(3). f(x) = 2 sin x – 5 cos x

[Penyelesaian]

f(x) = 2 sin x – 5 cos x

f’(x) = 2cos x + 5sin x

(4). $f(x)=(3x^2-4x^3)+2cosx-5sinx$

[Penyelesaian]

Soal No 4 ini merupakan gabungan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, kalau lupa silahkan dilihat lagi turunan fungsi aljabar,
$\\f(x)=(3x^2-4x^3)+2cosx-5sinx\\\therefore f'(x)=6x-12x^2-2sinx-5cosx$

Terimakasih sudah berkunjung ke blog ini, jangan lupa tinggalkan komentar dan like fanspage facebook nya juga ya…!!, semoga bermanfaat dan selamat belajar turunan fungsi trigonometri.