Sistem Persamaan Linear - Blog Ilmu Pengetahuan

Sistem persamaan linear yakni persamaan-persamaan linear yg dikorelasikan untuk membentuk suatu tata cara. Sistem persamaannya mampu terdiri dr satu variabel, dua variabel atau lebih. Dalam bahasan ini, kita cuma membicarakan metode persamaan linear dgn dua & tiga variabel.

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org lainnya:

Vektor

Deret Aritmatika & Geometri

Daftar Isi

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel yaitu tata cara persamaan linear yg terdiri dr dua persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki dua variabel. Contoh SPLDV dgn variabel $x$ & $y$ :

$\begin cases ax+by=c \\ px-qy=r \end cases$

dimana $a, b, c, p, q$ , & $r$ yaitu bilangan-bilangan real.

Penyelesaian SPLDV

Penyelesaian SP:DV bermaksud untuk menentukan nilai yg memenuhi kedua persamaan yg ada pada SPLDV. Penyelesaian SPLDV terdapat beberapa cara, yakni:

Metode grafik

Pada metode grafik ini, tindakan yg dilaksanakan pertama ialah memilih grafik garis dr masing-masing persamaan lalu menentukan titik potong dr kedua garis. Titik potong dr kedua garis tersebut yakni penyelesaian dr SPLDV.

Contoh Soal:

Tentukah solusi dr SPLDV berikut:

$\begin cases -x+y=1 \\ x+y=5 \end cases$

Jawab:

Langkah pertama tentukan garis dr masing-masing persamaan.

grafik sistem persamaan linear

Setelah diperoleh grafik dr kedua persamaan, sekarang menentukan titik potong dr kedua garis & memilih koordinat dr titik potong tesebut.

spldv spltv

Dari grafik sistem persamaan linear diatas diperoleh titik potong dgn koordinat $(2, 3)$ , sehingga solusi dr SPLDV ialah $2, 3$ .

Untuk membuktikan solusi dr SPLDV, solusi tersebut kita subtitusikan ke persamaan dgn $x=2$ & $y=3$ .

$\begin cases -(2) + (3) = 1 \\ 2+3=5 \end cases$

Pada metode grafik ini, terdapat berbagai jenis himpunan solusi menurut grafik persamaan, yakni:

Panjang lintasan S meter pada waktu t detik

- Jika kedua garis berpotongan, maka perpotonga kedua garis adalah solusi dr SPLDV & mempunyai satu solusi.
- Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tak memiliki solusi
- Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPLDV mempunyai tak berhingga himpunan penyelesaian.

Metode eliminasi

Pada metode eliminasi ini, menentukan penyelesaian dr variabel $x$ dgn cara mengeliminasi variabel $y$ , & untuk memilih penyelesaian variabel $y$ dgn cara mengeliminasi variabel $x$ .

Contoh Soal:

Tentukah solusi dr sistem persamaan linear dua variabel berikut:

$\begin cases -x +y=1 \cdots (I) \\ x+y=5 \cdots (II) \end cases$

Jawab:

Pertama menentukan penyelesaian dr variabel $x$ .

Mengeliminasi variabel $y$ mampu dikerjakan dgn menghemat persamaan I dgn persamaan II.

Diperoleh persamaan final $-2x = -4$ , bagi kedua ruas dgn -2, diperoleh penyelesaian $x=2$ .

Kedua memilih penyelesaian dr variabel $x$

Mengeliminasi variabel $x$ mampu dijalankan dgn menjumlahkan persamaan I dgn persamaan II.

Diperoleh persamaan simpulan $2y=6$ , bagi kedua ruas dgn 2, diperoleh penyelesaian $y=3$

Sehingga himpunan penyelesaian dr SPLDV tersebut yaitu $(2, 3)$ .

Metode substitusi

Pada metode substitusi, langkah pertama yg dikerjakan ialah mengubah salah satu persamaan menjadi persamaan fungsi, yaitu $x$ sebagai fungsi dr $y$ atau $y$ sebagai fungsi dr $x$ . Kemudian subtitusikan $x$ atau $y$ pada persamaan yg lain.

Contoh Soal:

Tentukah penyelesaian dr SPLDV berikut:

$\begin cases -x+y=1 \cdots (I) \\ x+y=5 \cdots (II) \end cases$

Jawab:

Ubah persamaan (I) menjadi bentuk fungsi $-x+y=1$ dgn memindahkan variabel $x$ ke ruas kanan menjadi $y=1+x$ .

Kemudian persamaan fungsi $y$ disubtitusikan pada persamaan (II), menjadi $x+(1+x)=5$ . Diperoleh persamaan $2x+1=5$ & kurangi masing-masing ruas dgn 1, menjadi $2x-4$ . Kemudian bagi kedua ruas dgn 2 menjadi $x=2$ . Hasil variabel $x$ disubtitusikan pada salah satu persamaan permulaan, misal pada persamaan (I), menjadi $-(2)=y=1$ , jadi $y=1+2$ atau $y=3$ .

Sehingga himpunan penyelesaian metode persamaan linear dua variabel nya adalah $(2, 3)$ .

Metode eliminasi-subtitusi

Metode ini ialah gabungan dr metode eliminasi & subtitusi. Pertama eliminasi salah satu variabel, lalu solusi dr variabel yg diperoleh disubtitusikan pada salah satu persamaan.

Coba lakukan soal di atas dgn memakai metode eliminasi-substitusi.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linear tiga variabel yakni metode persamaan yg terdiri dr tiga persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Contoh SPLTV dgn variabel $x, y$ & $z$ :

$\begin cases a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1=d_1 \\ a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2=d_2 \\ a_3x_3+b_3y_3+c_3z_3=d_3 \end cases$

dimana $a, b, c$ & $d$ yakni bilangan-bilangan real.

Pada SPLTV terdapat 2 cara solusi, yaitu:

Metode Subtitusi

Langkah yg dilaksanakan pada metode ini yaitu:

Ubah salah satu persamaan yg ada pada metode & nyatakan $x$ selaku fungsi dr $y$ & $z$ , atau $y$ selaku fungsi dr $x$ & $z$ , atau $z$ selaku fungsi dr $x$ & $y$ ..

Subtitusikan fungsi $x$ atau $y$ atau $z$ dr langkah awal pada dua persamaan yg lain, sehingga diperoleh SPLDV.

Selesaikan SPLDV yg diperoleh dgn metode yg dibahas pada penyelesaian SPLDV di atas.

Contoh Soal:

Tentukan solusi dr sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

$\begin cases x-2y+z=6 \cdots (I) \\ 3x+y-2z=4 \cdots (II) \\ 7x-6y-z=10 \cdots (III) \end cases$ .

Jawab:

Langkah pertama, nyatakan persamaan (I) menjadi fungsi dr $x$ , yakni: $x-2y+z=6 \Rightarrow x=6+2y-z$ . Kemudian subtitusikan pada persamaan (II) & (III), menjadi