Trigonometri – Blog Ilmu Pengetahuan

Selamat tiba sobat-sahabat di blog KingMath, agar yang kami paparkan ini bermanfaat…

Kali ini kami akan membicarakan trigonometri, kalian tahu tidak guys? mempelajari trigonometri itu dapat mengukur luas dan keliling tanah, menghitung ketinggian dari suatu objek (mirip gunung, pohon, tiang bendera, menara, dsb), mengukur kemiringan jalan dan masih banyak lagi…

Untuk itu simak penjelasannya yaa

Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Sudut
1. Rumus untuk sin $(\alpha \pm \beta )$

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha .\cos\beta +cos\alpha .sin\beta$

$sin(\alpha -\beta )=sin\alpha .\cos\beta -cos\alpha .sin\beta$

Contoh 1:

   Hitunglah sin $75^o$
   Jawab:
   $sin75^o=sin(45^o+30^o)$
                 $=sin45^o.cos30^o+cos45^o.sin30^o)$

$=\frac12\sqrt2.\frac12\sqrt3+\frac12\sqrt2.\frac12$

                 $=\frac14\sqrt6+\frac14\sqrt2$
     Contoh 2:
   Buktikan sin $(90^o-\alpha )=cos\alpha$
     Jawab:
   $sin(90^o-\alpha )=sin90^o .cos\alpha -cos90^o.sin\alpha$
       $=1 .cos\alpha -0.sin\alpha$
   $=cos\alpha$                                    Terbukti

2. Rumus untuk cos $(\alpha \pm \beta )$

$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha. cos\beta -sin\alpha .sin\beta$

$cos(\alpha -\beta )=cos\alpha. cos\beta +sin\alpha .sin\beta$

Contoh 1:

     Hitunglah cos $15^o$
   Jawab:
   $cos15^o=cos(45^o-30^o)$
   $=cos45^o.cos30^o+sin45^o.sin30^o$
                   $=\frac12\sqrt2.\frac12\sqrt3+\frac12\sqrt2.\frac12$

                  $=\frac14\sqrt6+\frac14\sqrt2$
     Contoh 2:
   Buktikan cos $(90^o+\alpha )=-sin\alpha$
     Jawab:
   $cos(90^o+\alpha )=cos90^o.cos\alpha -sin90^o.sin\alpha$

$=0.cos\alpha -1.sin\alpha$

$=-sin\alpha$

3. Rumus untuk tan $(\alpha \pm \beta )$

$tan(\alpha +\beta )=\fractan\alpha +tan\beta 1-tan\alpha .tan\beta$

$tan(\alpha -\beta )=\fractan\alpha -tan\beta 1+tan\alpha .tan\beta$

     Contoh 1:
   Hitunglah tan $75^o$
     Jawab:
   $tan75^o=tan(45^o+30^o)$

$=\fractan45^o+tan30^o1-tan45^o.tan30^o$

$=\frac1+\frac13\sqrt31-1.\frac13\sqrt3$

                   $=\frac\frac3+\sqrt33\frac3-\sqrt33$
                   $=\frac3+\sqrt33-\sqrt3$
                   $=\frac3+\sqrt33-\sqrt3\times \frac3+\sqrt33+\sqrt3$

                   $=\frac9+6\sqrt3+39-3$
                   $=\frac12+6\sqrt36=2+\sqrt3$
     Contoh 2:
     Hitunglah tan $15^o$
     Jawab:
$tan15^o=tan(45^o-30^o)$

              $=\fractan45^o-tan30^o1+tan45^o.tan30^o$
              $=\frac1-\frac13\sqrt31+1.\frac13\sqrt3$
             $=\frac\frac3-\sqrt33\frac3+\sqrt33$

$=\frac3-\sqrt33+\sqrt3$

$=\frac3-\sqrt33+\sqrt3\times \frac3-\sqrt33-\sqrt3$

$=\frac9-6\sqrt3+39-3$

$=\frac6-6\sqrt36=1+\sqrt3$

Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda
1. Rumus untuk sin $2\alpha$ , cos $2\alpha$ , dan tan $2\alpha$
Jika $\alpha$ yakni sudut tunggal maka $2\alpha$ yaitu sudut ganda dan berlaku rumus trigonometri selaku berikut.

Trigonometri Pada Segitiga

$sin 2\alpha =2.sin\alpha .cos\alpha$

$cos 2\alpha =cos2\alpha-sin2\alpha$ atau

$cos 2\alpha =1-2.sin^2\alpha$ atau

$cos 2\alpha =2.cos^2\alpha -1$

$tan2\alpha =\frac2.tan\alpha 1-tan^2\alpha$

Contoh:

Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar tersebut, tentukan:

a. Sin $2\alpha$

b. Cos $2\alpha$

c. Tan $2\alpha$

   Jawab:
   $mi=\sqrt15^2+8^2=\sqrt225+64=\sqrt289=17$
     alasannya $tan\alpha =\frac815$ maka $sin\alpha =\frac817$ dan $cos\alpha =\frac1517$
   a. $sin 2\alpha =2.sin\alpha .cos\alpha$
                       $=2.\frac817.\frac1517=\frac240289$
     b. $cos 2\alpha =1-2.sin^2\alpha$

                    $=1-2.(\frac817)^2$
                     $=1-\frac32289=\frac289289-\frac32289=\frac257289$
     c. $tan2\alpha =\frac2.tan\alpha 1-tan^2\alpha$
                      $=\frac2.\frac8151-(\frac815)^2$
                     $=\frac\frac16151-\frac64225=\frac\frac1615\frac225225-\frac64225$

$=\frac\frac1615\frac161225=\frac1615\times \frac225161=\frac240161$

2. Rumus untuk sin $\frac12\alpha$ , cos $\frac12\alpha$ , dan tan $\frac12\alpha$
Jika $\alpha$ adalah sudut tunggal maka tan $\frac12\alpha$ ialah setengah dari sudut $\alpha$ dan berlaku rumus trigonometri berikut.

    Contoh:
    $sin22\frac12^o=...$
     Jawab:
$sin22\frac12^o=sin\frac12(45^o)$
   $=\sqrt\frac1-cos45^o2$
                      $=\sqrt\frac1-\frac12\sqrt22$
                      $=\sqrt\frac12-\frac14\sqrt2$
                     $=\sqrt\frac14(2-\sqrt2)$
                     $=\frac14\sqrt2-\sqrt2$

Sekian dulu teman-teman materi tentang trigonometri, supaya berguna.. oh yaa, nih ada beberapa soal dan pembahasan.. simak yuu..

Soal dan Pembahasan
1. Hitunglah nilai cos $105^o$
Pembahasan
$cos105^o=cos(60^o+45^o)$

$=cos60^o.cos45^o-sin60^o.sin45^o$

$=\frac12.\frac12\sqrt2-\frac12\sqrt3.\frac12\sqrt2$

                    $=\frac14\sqrt2-\frac14\sqrt6=\frac14\sqrt2(1-\sqrt3)$
2. $sin22^o.cos8^o+cos22^o.sin8^o=...$
    Pembahasan
    $sin22^o.cos8^o+cos22^o.sin8^o=sin(22^o+8^o)$
                                                           $=sin30^o=\frac12$
3. Jika tan x = – 3/4, $\frac3\pi 2<x<2\pi$ , maka sin $(\frac\pi 3-x)$ yaitu…
Pembahasan
    tan x = – 3/4, $\frac3\pi 2<x<2\pi$ berada di kuadran IV
   $sin(\frac\pi 3-x)=sin\frac\pi 3.cosx-cos\frac\pi 3.sinx$

$=\frac12\sqrt3.\frac45-\frac12.-\frac35$

                           $=\frac25\sqrt3+\frac310$
4. Jika $A+B=\frac\pi 3$ dan $cosA.cosB=\frac58$ , maka cos (A-B) = …
Pembahasan
     $cos(A+B)=cos\frac\pi 3$
    $cosA.cosB-sinA.sinB=\frac12$
                     $\frac58-sinA.sinB=\frac12$

$sinA.sinB=\frac58-\frac12$

$sinA.sinB=\frac18$
Makara, $cos(A-B)=cosA.cosB+sinA.sinB$

                                    $=\frac58+\frac18=\frac68=\frac34$
5. Diketahui nilai $sin\alpha .cos\beta=\frac15$ dan $sin(\alpha-\beta)=\frac35$ untuk $0^o\leq \alpha \leq 180^o$ dan $0^o\leq \beta \leq 90^o$ . Nilai $sin(\alpha +\beta )=...$
    Pembahasan
$sin(\alpha-\beta)=\frac35$
    $sin\alpha .cos\beta -cos\alpha .sin\beta =\frac35$
$\frac15-cos\alpha .sin\beta =\frac35$

$cos\alpha .sin\beta =\frac15-\frac35$

                          $cos\alpha .sin\beta =-\frac25$
    Kaprikornus, $sin(\alpha +\beta )=sin\alpha. cos\beta +cos\alpha .sin\beta$
                                   $=\frac15-\frac25=-\frac15$