Fungsi Kuadrat – Blog Ilmu Pengetahuan

Bentuk Umum
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki grafik dengan lintasan parabola. Bentuk biasanya, yaitu :

$y=f(x) =ax^2+bx+c, a\neq 0$

Sifat Kurva Parabola
Sifat parabola $y=f(x) =ax^2+bx+c$ ditinjau dari nilai a, b , c dan D
1. a > 0 : grafik terbuka keatas, terdapat titik balik minimum
a < 0 : grafik terbuka kebawah, terdapat titik balik maksimum

2. ab > 0 : titik balik dikiri sumbu y
ab = 0 : titik balik ada di sumbu y
ab < 0 : titik balik dikanan sumbu y

3. c > 0 : memotong sumbu y diatas sumbu x
c = 0 : melalui (0,0)
c < 0 : memangkas sumbu y dibawah sumbu x

4. D > 0 : memotong sumbu x di 2 titik berlawanan
D = 0 : menyinggung sumbu x
D < 0 : tidak memotong sumbu x

Nilai ekstrim dari Fungsi Kuadrat
Sumbu simetri kurva parabola

$x = -\fracb2a$

Nilai ekstrim Fungsi Kuadrat

$y = \fracD-4a$

Nilai ekstrim dibagi menjadi
1. Nilai maksimum, jikalau a < 0
2. Nilai minimum, jika a > 0

Contoh Soal
1. Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=3x^2-18x+9$ . Koordinat titik balik fungsi tersebut ialah …
A. (-3, -18)
B. (3, -18)
C. (-18, -3)
D. (-18, 3)
E. (18, 3)
Jawaban : B
Pembahasan
$f(x)=3x^2-18x+9$
a= 3
b = -18
c = 9
Koordinat titik balik $(x_p,y_p)$ dengan

$x_p=-\fracb2a$

      $=-\left ( \frac-182(3) \right )=3$

$y_p=\fracb^2-4ac-4a$

      $=\frac(-18)^2-4(3)(9)-4(3)$

     $=\frac324-208-12=-18$
Makara, koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat tersebut ialah (3,-18)

2. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik di $P(-2,6)$ dan melalui titik $A(-3,4)$ yakni …
A. $f(x)=-2x^2-8x-2$
B. $f(x)=-2x^2+8x-2$
C. $f(x)=2x^2-8x-2$
D. $f(x)=2x^2-8x+2$
E. $f(x)=2x^2+8x+2$
Jawaban: A
Pembahasan:
Grafik fungsi mempunyai koordinat titik balik di $P(x_p,y_p)$ , maka persamaan grafiknya yakni $y=a(x-x_p)^2+y_p$ . Grafik fungsi yang mempunyai titik balik di $P(-2,6)$ , bermakna $x_p=-2$ dan $y_p=6$ . Melalui titik $A(-3,4)$ , memiliki arti $x=-3$ dan $y=4$ .
Pertama-tama, pastikan nilai a.
$y=a(x-x_p)^2+y_p$

$\Leftrightarrow y=a(x+2)^2+6$

$\Leftrightarrow 4=a(-3+2)^2+6$

$\Leftrightarrow 4=a+6$

$\Leftrightarrow a=-2$
Jadi, persamaan grafik fungsi kuadratnya ialah

$y=a(x+2)^2+6$

$=-2(x+2)^2+6$

$=-2(x^2+4x+4)+6$

$y=-2x^2-8x-2$

3. Persamaan garis yang melalui titik $A(-3,-2)$ dan $B(1,-4)$ adalah …
A. $x-2y-7=0$
B. $2x+4y+14=0$
C. $3x-4y-1=0$
D. $3x-4y+1=0$
E. $3x-4y+17=0$
Jawaban: B
Pembahasan

$A(-3,-2)\rightarrow x_1=-3,y_1=-2$

$B(1,-4)\rightarrow x_2=1,y_2=-4$

$\fracy-y_1y_2-y_1=\fracx-x_1x_2-x_1$

$\fracy+2-4+2=\fracx+31+3$

$\fracy+2-2=\fracx+34$

$4(y+2)=-2(x+3)$

$4y+8=-2x-6$

$2x+4y+14=0$ dari persamaan tersebut kita perkecil menjadi
$x+2y+7=0$

4. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memangkas sumbu X dititik (-4, 0) dan (3, 0) serta lewat titik (-3, 12) adalah …
A. $f(x)= x^2-2x-24$
B. $f(x)= x^2-2x+24$
C. $f(x)=-2 x^2-2x+24$
D. $f(x)=-2 x^2+2x-24$
E. $f(x)=-2 x^2+2x+24$
Jawaban C
Pembahasan
Grafik fungsi memotong sumbu X di titik $A(x_1,0)$ dan $B(x_2,0)$ , maka persamaan grafiknya yaitu $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Grafik memotong sumbu X di titik $(-4,0)\rightarrow x_1=-4$ dan titik $(3,0)\rightarrow x_2=3$ . Melalui titik $(-3,12)\rightarrow x=-3,y=12$ .
Pertama-tama, tentukan nilai a.
$y=a(x+4)(x-3)$

$\Leftrightarrow 12=a(-3+4)(-3-3)$

$\Leftrightarrow 12=-6a$

$\Leftrightarrow a=-2$
Jadi, persamaan grafik fungsi kuadratnya adalah
$y=a(x+4)(x-3)$

$=-2(x+4)(x-3)$

$=-2(x^2+x-12)$

$y=-2x^2-2x+24$

5. Suatu fungsi dirumuskan dengan $f(x)= 5-4x-3x^2$ . Peta x = 2 pada fungsi tersebut adalah …
A. 15
B. 8
C. -8
D. -15
E. -20
Jawaban D
Pembahasan
$f(x)= 5-4x-3x^2$
$f(2)= 5-4(2)-3(2)^2$
           $= 5-8-12=-15$

6. Koordinat titik balik grafik fungsi $g(x)=x^2+2x-6$ yakni …
A. (1,-3)
B. (1,-4)
C. (-1,-7)
D. (-1,-8)
E. (-2,-6)
Jawaban C
Pembahasan
$g(x)=x^2+2x-6$

$x_p=\frac-b2a$

$x_p=\frac-22=-1$
Substitusikan nilai x ke fungsi dan mampu nilai y, maka
$g(x)=x^2+2x-6$
$g(-1)=(-1)^2+2(-1)-6$
               $=1-2-6=-7$
Kaprikornus, koordinat titiknya yakni (-1,-7)

$y=\frac(4)^2-4(-1)(5)-4(-1)$

7. Nilai maksimum dari fungsi kuadrat $g(x)= 3-4x-x^2$ ialah ….
A. $4\frac12$
B. $5\frac14$
C. 6
D. 7
E. 8
Jawaban D
Pembahasan
$g(x)= 3-4x-x^2$

$y=\fracb^2-4ac-4a$

$y=\frac(-4)^2-4(-1)(3)-4(-1)$

$y=\frac16+124=\frac284=7$

8. Nilai maksimum dari fungsi kuadrat $f(x)= -x^2+4x+5$ adalah ….
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
Jawaban D
Pembahasan
$f(x)= -x^2+4x+5$

$y=\fracb^2-4ac-4a$

$y=\frac(4)^2-4(-1)(5)-4(-1)$

$y=\frac16+204=\frac364=9$

9. Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=x^2-2x-m+3$ . Jika grafik fungsi kuadrat tersebut menyingung sumbu X, nilai m yang memenuhi yakni …
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3
Jawaban D
Pembahasan
Grafik yang menyinggung sumbu X, maka determinan = 0, maka
$D=0$

$b^2-4ac=0$

$(-2)^2-4(1)(-m+3)=0$

$4-4(-m+3)=0$

$4+4m-12=0$

$4m=8\rightarrow m=2$

10. Koordinat klimaks dari sebuah grafik fungsi kuadrat yaitu (1, -6). Jika grafiknya melalui titik (-1, -2), maka persamaan grafiknya adalah …
A. $y=x^2-2x-5$
B. $y=x^2-2x+5$
C. $y=x^2+2x-5$
D. $y=x^2-2x-6$
E. $y=x^2+2x-6$
Jawaban A
Pembahasan
$(-1,-2)\rightarrow x=-1,y=-2$
Menentukan nilai a, maka

$y=a(x-x_p)^2+y_p$

$-2=a(-1-1)^2-6$

$-2=4a-6$

$4a=4\rightarrow a=1$
Substitusikan nilai a
$y=a(x-x_p)^2+y_p$

$y=1(x-1)^2-6$

$y=x^2-2x-5$

11. Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu X dititik (-1, 0) dan (4,0) serta memangkas sumbu Ydititik (0,8). Fungsi kuadrat tersebut adalah …
A. $f(x)=-2x^2-6x-8$
B. $f(x)=-2x^2-6x+8$
C. $f(x)=-2x^2+6x+8$
D. $f(x)=2x^2+6x+8$
E. $f(x)=2x^2+6x-8$
Jawaban C
Pembahasan

$y=a(x-x_1(x-x_2)$

$8=a(0+1)(0-4)$

$8=a(1)(-4)$

$8=-4a$

$a=\frac8-4$

$a=-2$

Setelah mendapatkan nilai a, maka kita tinggal mencari persamaan tersebut, yaitu dengan
$y=a(x-x_1(x-x_2)$

$y=-2(x+1)(x-4)$
$y=-2(x^2-4x+x-4)$

$y=-2(x^2-3x-4)$

$y=-2x^2+6x+8$

Fungsi Kuadrat dan Grafiknya