Pada peluang ini, ID-KU akan memposting “Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks”, dimana rotasi (perputaran) ini sendiri merupakan bab dari bahan transformasi geometri.
Perputaran atau rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap sebuah titik pusat rotasi.
Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh:
1. Titik sentra rotasi
2. Besar sudut rotasi
3. Arah sudut rotasi
Berikut ini ialah bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi
P(x,y) ➝ P'(x’,y’)
Itulah sedikit materi tentang apa itu rotasi (perputaran), selanjutnya kita masuk dalam acuan soal dan pembahasannnya dalam hal ini dengan memakai matriks.
Soal ❶
Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ bertentangan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A.
Pembahasan:
$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&-1\\1&0\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&-1\\1&0\end pmatrix .\begin pmatrix 2\\1\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix -1\\2\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&-1\\1&0\end pmatrix .\begin pmatrix 2\\1\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix -1\\2\end pmatrix $
Dengan demikian x’ = -1 dan y’ = 2.
Kaprikornus, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam yaitu A'(-1,2).
Soal ❷
Bayangan titik A oleh rotasi R(0,45⁰) yaitu (-√2,√2). Tentukanlah koordinat titik A.
Pembahasan:
$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix cos θ&-sin θ\\sin θ&cos θ\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $
Karena θ = 45⁰, maka:
$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix cos 45⁰&-sin 45⁰\\sin 45⁰&cos 45⁰\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix -√2 \\√2\end pmatrix =\begin pmatrix ½√2 &-½√2 \\½√2 &½√2\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix -√2 \\√2\end pmatrix =\begin pmatrix ½√2x -½√2y \\½√2x+½√2y\end pmatrix $
Dengan demikian:
½√2x – ½√2y = -√2 ………..(1)
½√2x + ½√2y = √2 ………..(2)
Karena θ = 45⁰, maka:
$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix cos 45⁰&-sin 45⁰\\sin 45⁰&cos 45⁰\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix -√2 \\√2\end pmatrix =\begin pmatrix ½√2 &-½√2 \\½√2 &½√2\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix -√2 \\√2\end pmatrix =\begin pmatrix ½√2x -½√2y \\½√2x+½√2y\end pmatrix $
Dengan demikian:
½√2x – ½√2y = -√2 ………..(1)
½√2x + ½√2y = √2 ………..(2)
Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, maka diperoleh x = 0 dan y = 2.
Jadi, koordinat titik A yaitu (0,2).
Titik B(5,-1) dirotasikan kepada titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut.
Pembahasan:
$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&1\\-1&0\end pmatrix .\begin pmatrix x-a\\y-b\end pmatrix +\begin pmatrix a\\b\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&1\\-1&0\end pmatrix .\begin pmatrix 5-2\\-1-3\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\3\end pmatrix $
⟺$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&1\\-1&0\end pmatrix .\begin pmatrix 3\\-4\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\3\end pmatrix $
⟺$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix -4\\-3\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\3\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix -2\\0\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&1\\-1&0\end pmatrix .\begin pmatrix 5-2\\-1-3\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\3\end pmatrix $
⟺$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&1\\-1&0\end pmatrix .\begin pmatrix 3\\-4\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\3\end pmatrix $
⟺$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix -4\\-3\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\3\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix -2\\0\end pmatrix $
Dengan demikian, x’ = -2 dan y’ = 0.
Makara, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam yaitu B'(-3,0).
Soal ❹
Jika garis x – 2y = 5 diputar sejauh 90⁰ kepada titik (2,4) bertentangan arah putaran jam, maka tentukanlah persamaan bayangannya.
Pembahasan:
$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&-1\\1&0\end pmatrix .\begin pmatrix x-2\\y-4\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\4\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 4-y\\x-2\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\4\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 6-y\\x+2\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 4-y\\x-2\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\4\end pmatrix $
⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 6-y\\x+2\end pmatrix $
Dengan demikian, maka:
x’ = 6 – y => y = 6 – x’
y’ = x + 2 => x = y’ – 2
Dengan mensubtitusikan x = y’ – 2 dan y = 6 – x’ pada persamaan garis, diperoleh:
(y’ – 2) – 2(6 – x’) = 5
y’ – 2 – 12 + 2x’ = 5
2x’ + y’ = 5 + 2 + 12
2x’ + y’ = 19
x’ = 6 – y => y = 6 – x’
y’ = x + 2 => x = y’ – 2
Dengan mensubtitusikan x = y’ – 2 dan y = 6 – x’ pada persamaan garis, diperoleh:
(y’ – 2) – 2(6 – x’) = 5
y’ – 2 – 12 + 2x’ = 5
2x’ + y’ = 5 + 2 + 12
2x’ + y’ = 19
Kaprikornus, persamaan bayangan garis x – 2y = 5 oleh rotasi sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) bertentangan arah putaran jam yakni 2x + y = 19.
Baca Juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan Dilatasi
Demikian artikel perihal “Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks” ini, semoga dapat membantu anda dalam menuntaskan soal-soal terkait dengan transformasi geometri (rotasi).