Rumus Trigonometri (kelas 11)

Rumus Trigonometri – Pengantar

Dalam trigonometri, Sinus. Cosinus. Tangent, Cosecan, Secan, & Cotangent bisa dipakai gotong royong baik dgn penjumlahan atau penghematan maupun perkalian. Rumus-rumus penjumlahan, penghematan, atau perkalian dlm trigonometri dapat diturunkan dr rumus jumlah dua sudut atau selisih dua sudut.

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org yang lain:

Integral Substitusi & Integral Parsial

Fungsi Kuadrat

Daftar Isi

Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut & Selisih Sudut

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap

Pada rumus sudut rangkap, merupakan adaptasi dr penjumlahan dua sudut dgn $\alpha = \beta$ , sehingga rumusnya menjadi sebagi berikut:

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ .

Subtitusikan $\alpha = \beta$ pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

$\sin (\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha$ .

Karena $\sin \alpha \cos \alpha = \cos \alpha \sin \alpha$ , maka didapat:

Sifat I: $\sin (2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ .

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ .

Subtitusikan $\alpha = \beta$ pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

$\cos (\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha$ .

Karena $\cos \alpha \cos \alpha = \cos^2 \alpha$ & $\sin \alpha \sin \alpha = \sin^2 \alpha$ , maka didapat:

Sifat II: $\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ .

Karena hasil pada cos sudut rangkap (II) merupakan selisih kuadrat, maka bentuk ini bisa disubtitusi dgn identitas trigonometri:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ .

Subtitusikan $\sin^2 \alpha$ pada persamaan rumus sudut rangkap dr cos (II) menjadi:

$\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha)$ .

Buka kurung pada persamaan menjadi:

$\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - 1 + \cos^2 \alpha)$ .

Jumlah kan kuadrat dr kedua cos akan didapat:

Sifat III: $\cos (2 \alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1$ .

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ .

Subtitusikan $\cos^2 \alpha$ pada persamaan rumus sudut rangkap dr cos (II) menjadi:

$\cos (2 \alpha) = (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha$ .

Buka kurung pada persamaan menjadi:

$\cos (2 \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ .

Jumlah kan kuadrat dr kedua cos didapat:

Sifat IV: $\cos (2 \alpha) = (1 - 2 \sin^2 \alpha)$ .

Rumus Trigonometri untuk Perkalian Sinus & Cosinus

Rumus perkalian dr Sinus & Cosinus diperoleh dr menjumlahkan & mengurangi rumus dr sudut rangkap.

Rumus Pertama:

Perkalian Pecahan Campuran

Jumlahkan $\sin (\alpha + \beta)$ dgn $\sin (\alpha - \beta)$ :

rumus trigonometri perkalian

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac 1 2 \ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \$ .

Rumus Kedua:

Kurangkan $\sin (\alpha + \beta)$ dgn $\sin (\alpha - \beta)$ :

perkalian trigonometri

Dari perhitungan hasil diatas, diperoleh:

$\cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac 1 2 \ \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \$ .

Rumus Ketiga:

Jumlahkan $\cos (\alpha + \beta)$ dgn $\cos (\alpha - \beta)$ :

cos kali cos

Dari perkiraan hasil diatas diperoleh:

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac 1 2 \ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \$ .

Rumus Keempat:

Kurangkan dgn $\cos (\alpha + \beta)$ dgn $\cos (\alpha - \beta)$ :

sin x sin

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = - \frac 1 2 \ \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \$ .

Rumus Trigonometri untuk Penjumlahan & Pengurangan Sinus & Cosinus

Rumus trigonometri untuk penjumlahan & pengurangan merupakan adaptasi dr bentuk perkalian Sinus & Cosinus.

Pada penyesuaian ini, kita cukup mensubtitusi $\alpha$ menjadi $\frac 1 2 (\alpha + \beta)$ & $\beta$ menjadi $\frac 1 2 (\alpha - \beta)$ , sehingga diperoleh:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \cdot \sin \frac 1 2 (\alpha + \beta) \cdot \cos \frac 1 2 (\alpha - \beta)$

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cdot \cos \frac 1 2 (\alpha + \beta) \cdot \sin \frac 1 2 (\alpha - \beta)$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cdot \cos \frac 1 2 (\alpha + \beta) \cdot \cos \frac 1 2 (\alpha - \beta)$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \cdot \sin \frac 1 2 (\alpha + \beta) \cdot \sin \frac 1 2 (\alpha - \beta)$ .

Rumus Trigonometri Pada Segitiga

Aturan Sinus

Setiap segitiga, selalu mempunyai tiga sudut & setiap sudut senantiasa menghadap pada satu sisi. Dari masing-masing sudut & sisi yg berhadapan, terdapat perbandingan yg selalu sebanding, yakni:

$\frac A \sin A =\frac B \sin B =\frac C \sin C$ .

Aturan Sinus ini mampu dipakai dlm perkiraan bila paling sedikit diketahui 2 sisi 1 sudut atau 1 sisi 2 sudut.

Aturan Cosinus

Rumus perbandingan sudut dgn sisi pada segitiga, selain menggunakan Sinu, pula terdapat rumus Cosinus, yaitu:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ .

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cos B$ .

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ .

Rumus diatas digunakan untuk memilih panjang sisi kalau dikenali 2 sisi & 1 sudut yg diapit kedua sisi tersebut.

Sedangkan untuk memilih besar sudut kalau dikenali 3 sisi segitiga, mampu menggunakan hukum ini juga, dgn mengganti bentuk di atas, contohnya:

$\cos A = \frac b^2 + c^2 - a^2 2 \cdot b \cdot c$ .

Contoh Soal

Sederhanakah bentuk persamaan berikut $\frac 1-(\sin x - \cos x)^2 1 - \cos 2x$ !

Jawab:

Penjabaran dr bentuk $(\sin x - \cos x)^2$ yaitu $\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x$ , dimana $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ sesuai identitas trigonometri, sehingga:

$\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - 2 \sin x \cos x$ .

Untuk bentuk $\cos 2x$ , dgn memakai rumus sudut rangkap, diperoleh bentuk $\cos^2 x - \sin^2 x$ , $2 \cos^2 x - 1$ , atau $1 - 2 \sin^2 x$ . Untuk solusi persamaan ini, kita gunakan bentuk $1 - 2 \sin^2 x$ .