Transformasi Geometri - Blog Ilmu Pengetahuan

Simaklah materi berikut ini dengan baik!

Transformasi yakni pemetaan suatu titik pada suatu bidang ke himpuna titik pada bidang yang serupa. Ada 4 jenis transformasi yang bisa dilaksanakan pada suatu titik, yakni:
1. Translasi (Pergeseran)

Translasi ialah perpindahan atau pergantian suatu titik sehingga mendapat suatu titik yang baru (bayangan dari titik semula). Adapun sifat dari translasi “bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran”. Translasi dapat dirumuskan selaku berikut:

Titik A(x,y) ditranslasikan oleh T(a,b) menghasilkan bayangan A'(x’,y’) dituliskan dengan

$A(x,y)\oversetT(a,b)\rightarrowA'(x+a,y+b)$
Contoh:
Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8) !
Jawab:
$A(2,3)\oversetT(7,8)\rightarrowA'(2+7,3+8)$

$A(2,3)\oversetT(7,8)\rightarrowA'(9,11)$
Jadi bayangan titik A (2,3) yakni A’ (9,11)

2. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi yaitu pencerminan suatu titik kepada suatu garis yang menciptakan bayangan dari titik tersebut. Adapun sifat dari refleksi “ berdiri yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak berdiri dengan cermin (cermin datar) yaitu sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut”. Refleksi dapat dirumuskan sebagai berikut:

Pencerminan terhadap titik C(0,0)

$A(x,y)\oversetC(0,0)\rightarrowA'(-x,-y)$

Pencerminan kepada sumbu x

$A(x,y)\oversetM=x\rightarrowA'(x,-y)$

Pencerminan kepada sumbu y

$A(x,y)\oversetM=y\rightarrowA'(-x,y)$

Pencerminan terhadap garis y=x

$A(x,y)\oversetM_y=x\rightarrowA'(y,x)$

Pencerminan kepada garis y=-x

$A(x,y)\oversetM_y=-x\rightarrowA'(-y,-x)$

Pencerminan terhadap garis x=k

$A(x,y)\oversetM_x=k\rightarrowA'(2k-x,y)$

Pencerminan terhadap garis y=k

           $A(x,y)\oversetM_y=k\rightarrowA'(x,2k-y)$
Contoh:
Tentukan bayangan dari titik B(2,-3), jikalau dicerminkan kepada:
a. sumbu x
b. garis y=x
Jawab:
a. $B(x,y)\oversetM=x\rightarrowB'(x,-y)$

    $B(2,-3)\oversetM=x\rightarrowB'(2,3)$
b. $B(x,y)\oversetM_y=x\rightarrowB'(y,x)$

   $B(2,-3)\oversetM_y=x\rightarrowB'(-3,2)$

3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu yang berlawanan arah dengan jarum jam. Adapun sifat dari rotasi “bangkit yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukura”. Rotasi mampu dirumuskan selaku berikut:

Rotasi dengan sentra P(p,q) dan sudut $\alpha$

Doa Sesudah Sholat Tahajud Sesuai Sunnah

$A(x,y)\oversetR(P(p,q),\alpha )\rightarrowA'(x'y')$
$\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=\beginpmatrix cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \endpmatrix\beginpmatrix x-p\\ y-q \endpmatrix+\beginpmatrix p\\ q \endpmatrix$

Rotasi dengan pusat O(0,0) daan sudut $\alpha$

$A'=\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=\beginpmatrix cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \endpmatrix\beginpmatrix x\\ y \endpmatrix$

Contoh:
Titik B $(5\sqrt2,9\sqrt2)$ diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik B’. Tentukan koordinat dari titik B!
Jawab:
Rotasi suatu titik dengan sudut sebesar α
$\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=\beginpmatrix cos45^\circ & -sin45^\circ\\ sin45^\circ& cos45^\circ \endpmatrix\beginpmatrix 5\sqrt2\\ 9\sqrt2 \endpmatrix$
$\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=\beginpmatrix 1/2\sqrt2& -1/2\sqrt2\\ 1/2\sqrt2& 1/2\sqrt2 \endpmatrix\beginpmatrix 5\sqrt2\\ 9\sqrt2 \endpmatrix$

$\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=\beginpmatrix 1/2\sqrt2(5\sqrt2)& -1/2\sqrt2(9\sqrt2)\\ 1/2\sqrt2(5\sqrt2)& 1/2\sqrt2(9\sqrt2) \endpmatrix$

$\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=\beginpmatrix 5-9\\ 5+9 \endpmatrix$

$\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=\beginpmatrix -4\\ 14 \endpmatrix$

4. Dilatasi (Perkalian dengan Skalar)

Dilatasi adalah perbesaran atau pengecilan suatu objek sehingga ukuran benda mampu menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi aspek pengalinya. Dilatasi dapat dirumuskan sebagi berikut:

Dilatasi titik A(x,y) terhadap pusat O(0,0) dengan aspek skala k

$A'=\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=k\beginpmatrix x\\ y \endpmatrix=\beginpmatrix k\times x\\k\times y \endpmatrix$

Dilatasi titik A(x,y) kepada pusat P(a,b) dengan aspek skala k

         $A'=\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=\beginpmatrix k(x-a)+a\\ k(y-b)+b \endpmatrix$
Contoh:
Tentukan bayangan titik A(8, 2) oleh dilatasi [O, 1/2]!
Jawab:
Diketahui. titik A(8,2), sentra (0,0) dan skala = 1/2
$A'=\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=k\beginpmatrix x\\ y \endpmatrix=\beginpmatrix kx\\ ky \endpmatrix$

$A'=\beginpmatrix x'\\ y' \endpmatrix=1/2\beginpmatrix 8\\ 2 \endpmatrix=\beginpmatrix 1/2\times 8\\ 1/2\times 2 \endpmatrix=\beginpmatrix 4\\ 1 \endpmatrix$

Oke, itu tadi pembahasan mengenai rumus pada transformasi geometri yang terdiri dari translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi, Semoga berguna 🙂 Silahkan simak ulasan mengenai soal latihan dan pembahasannya berikut.

SOAL DAN PEMBAHASAN

Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan kepada sumbu x!
Pembahasan
$A(x,y)\oversetM=x\rightarrowA'(x,-y)$
sehingga, x=x dan y= -y maka

$2x-y=5\rightarrow 2x-(-y)=5$

                            $2x+y=5$
jadi bayangannya yakni $2x+y=5$

Tentukan bayangan garis y = 3x – 5 oleh translasi T (-2, 1)!
Pembasahan
$A(x,y)\oversetT(a,b)\rightarrowA'(x+a,y+b)$
sehingga, substitusikan x=x’+2 dan y=y’-1 maka
$y=3x-5\rightarrow y'-1=3(x'+2)-5$

                                    $y'=3x'+6-5+1$

                                    $y'=3x'+2$
Makara bayangan nya yaitu $y=3x+2$
Contoh soal dan pembahasan
1. Titik A (-4,1) di translasikan oleh $T=\binom25$ . Koordinat bayangan titik A yaitu ….
A.   $A^' (6,-2)$
B. $A^' (-2,6)$
C. $A^' (-3,2)$
D. $A^' (2,5)$
E. $A^' (5,2)$

Penjabaran
Inget translasi itu artinya pergantian mampu dengan cara dijumlahan atau dengan cara dikurangi tergantung angka yang terdapat disoal
Ketika memiliki titik permulaan A (-4,1) kemudian ditrasnlasikan oleh $T=\binom25$ , maka kita menghitungnya dengan cara
$A^'(-4 +2 , 1 + 5)$
$A^'(2, 6)$

OLIMPIADE MATEMATIKA