Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran – Pengantar

Lingkaran atau bisa disebut sebagai sisi-tak sampai dlm bidang geometri. Dalam bidang kartesius, bulat yakni titik-titik yg berjumlah tak sampai yg memiliki jarak yg sama dgn sentra lingkaran. Jarak dr setiap titik ke titik sentra biasa disebut sebagai jari-jari r.

Lihat pula bahan Wargamasyarakat.org lainnya:

Induksi Matematika

Peluang

Daftar Isi

Terdapat berbagai jenis persamaan bundar, yaitu persamaan yg dibentuk dr titik pusat & jari-jari serta suatu persamaan yg mampu dicari titik pusat & jari-jarinya.

Persamaan biasa bundar

Dalam bundar, terdapat persamaan biasa , yaitu:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$ yakni bentuk umum persamaannya.

Dari persamaan diatas, dapat diputuskan titik sentra serta jari-jari lingkarannya, yakni:

Titik pusat bulat

$P(a, b) = P(- \frac 1 2 A, - \frac 1 2 B)$

Dan untuk jari-jari lingkaran yakni

$r= \sqrt (\frac 1 2 a)^2+(\frac 1 2 b)^2- C = \sqrt \frac 1 4 A^2 + \frac 1 4 B^2 - C$

Persamaan bundar dgn pusat P(a,b) & jari-jari r

Dari suatu bundar kalau diketahui titik sentra & jari-jarinya, mampu diperoleh persamaan lingkarannya, yaitu dgn rumus:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

kalau dikenali titik sentra & jari-jari bulat dimana (a,b) yakni titik pusat & r yakni jari-jari dr lingkaran tersebut.

Dari persamaan yg diperoleh, kita dapat memilih apakah suatu titik terletak pada bundar, di dlm lingkaran atau diluar bundar. Untuk memilih letak titik tersebut, yaitu dgn subtitusi titik pada variabel x & y kemudian dibandingkan akhirnya dgn kuadrat dr jari-jari.

Nilai Optimum dengan Metode Garis Selidik

koordinat lingkaran

Suatu titik $M (x_1, y_1)$ terletak:

Pada bundar: $\rightarrow (x_1-a)^2+(y_2-b)^2=r^2$

Di dlm bulat: $\rightarrow (x_1-a)^2+(y_2-b)^2<r^2$

Di luar lingkaran: $\rightarrow (x_1-a)^2+(y_2-b)^2>r^2″ class=”latex” /> <h3><span class=$ Persamaan bulat dgn dengan pusat O(0,0) & jari-jari r

Persamaan bundar jikalau titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bab sebelumnya, yaitu:

$(x-0)^2+(y-0)^2=r^2 \rightarrow x^2+y^2=r^2$

Dari persamaan diatas, pula mampu ditentukan letak suatu titik kepada bulat tersebut.

gambar persamaan lingkaran

Suatu titik $M (x_1, y_1)$ terletak:

Pada lingkaran: $\rightarrow x_1^2 + y_1^2 = r^2$

Di dlm lingkaran: $\rightarrow x_1^2 + y_1^2 < r^2$

Diluar lingkaran: $\rightarrow x_1^2 + y_1^2 > r^2″ class=”latex” /> <h2><span class=$ Perpotongan Garis & Lingkaran

Suatu lingkaran dgn persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dapat ditentukan apakah suatu garis h dgn persamaan $y=mx+n$ tersebut tak menjamah, menyinggung, atau memotong bulat dgn memakai prinsip diskriminan.

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$ … (persamaan 1)

$y=mx+n$ … (persamaan 2)

Dengan mensubtitusi persamaan 2 ke persamaan 1, akan diperoleh suatu bentuk persamaan kuadrat:

$x^2+(mx+n)^2+Ax+B(mx+n)+C=0$

Dari persamaan kuadrat diatas, dgn membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tak menyinggung/memangkas, menyinggung atau memotong bulat.

Garis h tak memangkas/menyinggung lingkaran, maka $D<0$

Garis h menyinggung lingkaran, maka $D=0$

Garis h memangkas lingkaran, maka $D>0″ class=”latex” /> <img decoding=$

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada bulat

Garis singgung pada suatu bulat tepat bertemu dgn satu titik yg terletak pada lingkaran. Dari titik konferensi dr garis singgung & bundar, dapat diputuskan persamaan garis dr garis singgung tersebut.

Persamaan garis singgung lingkaran yg lewat titik $P (x_1, y_1)$ , mampu diputuskan menurut rumus persamaan bundar yg dijelaskan pada bagian sebelumnya, yakni

Bentuk $x^2+y^2=r^2$

Persamaan garis singgungnya: $xx_1+yy_1=r^2$

Bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Persamaan garis singgungnya: $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$

Bentuk $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Persamaan garis singgungnya: $xx_1+yy_1+ \frac A 2 (x+x_1)+ \frac B 2 (y+y_1)+C=0$

Contoh Soal:

Persamaan garis singgung yg lewat titik (-1,1) pada lingkaran $x^2+y^2--4x+6y-12=0$ adalah …

Jawab:

Dari soal diatas dikenali persamaan bulat nya yaitu $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ dgn A = -4, B = 6 & C = -12 & $x_1=-1, y_1=1$ .

Jika vektor a = (1 2 3), vektor b = (5 4 -1), dan vektor c = (4 -1 1),

PGS ialah

$xx_1+yy_1+ \frac A 2 (x+x_1)+ \frac B 2 (y+y_1)+C=0$
$x(-1)+y(1) - \frac 4 2 (x-1)+ \frac 6 2 (y+1)-12=0$
$-3x+4y-7=0$

Jadi persamaan garis singgungnya ialah $4y=3x+7$

Persamaan garis singgung dgn gradien

Jika suatu garis dgn gradien $m$ yg menyinggung suatu bulat $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya

Jika bundar $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$(y-b)=m(x-a) \pm r \sqrt m^2+1$

Jika bulat $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ , maka persamaan garis singgungnya dgn mensubtitusi r dengan

$r= \sqrt (\frac 1 2 a)^2+(\frac 1 2 b)^2- C = \sqrt \frac 1 4 A^2 + \frac 1 4 B^2 - C$ , sehingga diperoleh:

$(y-b)=m(x-a) \pm (\sqrt (\frac 1 2 a)^2+(\frac 1 2 b)^2- C ) \sqrt m^2+1$

atau

$(y-b)=m(x-a) \pm (\sqrt \frac 1 4 A^2 + \frac 1 4 B^2 - C ) \sqrt m^2+1$

Persamaan garis singgung dgn titik yg berada diluar bundar

Dari suatu titik yg berada diluar bundar, mampu ditarik dua garis singgung pada bundar tersebut.

Untuk mecari persamaan garis singgung, dipakai rumus persamaan garis biasa, yaitu:

$y-y_1=m(x-x_1)$

Akan tetapi dr rumus diatas, nilai gradien garis belum diketahui. Untuk mencari nilai gradien garis, subtitusikan persamaan pada persamaan lingkaran. Karena garis merupakan garis singgung, maka dr persamaan hasil subtitusi nilai D=0, & akan diperoleh nilai m.

Kontributor: Fikri Khoirur Rizal A.Q.

Alumni Teknik Elektro UI

Materi Wargamasyarakat.org yang lain:

Program Linear

Logaritma

Trigonometri