Penyelesaian persamaan & pertidaksamaan logaritma merupakan bahan pelajaran yg diajarkan di Sekolah Menengan Atas. Berkaitan dgn logaritma, pembelajaran ini dibagi menjadi dua bagian, yakni dasar-dasar logaritma yg mencakup sifat & operasi hitung logaritma, & yg kedua ialah persamaan & pertidaksamaan, serta fungsi logaritma.
Dalam kesempatan ini akan dibahas ihwal persamaan & pertidaksamaan logaritma beserta cara menyelesaikannya.
Persamaan Logaritma
Sebelumnya, perhatikan sifat-sifat logaritma berikut.
Misalkan diketahui alog b, alog c dgn a>0, b>0, c > 0.
alog b = log b/log a
alog a = 1
alog b + blog c = alog bc
alog b – blog c = alog b/c
alog b . blog c = alog c
alog bn = n alog b
Beberapa bentuk persamaan logaritma & penyelesaiannya sebagai berikut.
1. Bentuk alog f(x) = alog g(x)
Beberapa bentuk persamaan logaritma & penyelesaiannya sebagai berikut.
1. Bentuk alog f(x) = alog g(x)
alog f(x) = alog g(x), dgn syarat a > 0,
Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0 & g(x) > 0
g(x) boleh berbentukkonstanta
2. Bentuk alog f(x) = blog f(x)
alog f(x) = blog f(x), dgn syarat a, b > 0,
Maka penyelesaiannya adalah f(x)= 1
3. Bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)
h(x)log f(x) = h(X)log g(x), dgn syarat h(x) > 0,
Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) tak sama dgn 1.
Lebih jelasnya perhatikan beberapa acuan berikut.
Lebih jelasnya perhatikan beberapa acuan berikut.
Tentukan penyelesaian dr persamaan logaritma berikut
1. 5log 2x = 5log 20
2. 3log (3x + 1) = 3log 25
3. xlog (2x + 3) = xlog (x + 9)
4. 4log (5x + 4) = 3
5. 2log (2x2 + 15) = 2log (x2 + 8x)
Statistika : Rata-Rata (mean). Median dan Modus
Jawaban:
1. 5log 2x = 5log 20
2x = 20
x = 10
Jadi, penyelesaiannya yakni x = 10.
2. 3log (3x + 1) = 3log 25
3x + 1 = 25
3x = 24
x = 8
Makara, penyelesaiannya yaitu x = 8.
3. xlog (2x + 3) = xlog (x + 9), syaratnya x>0.
2x + 3 = x + 9
2x – x = 9 – 3
x = 6
Makara, penyelesaiannya ialah x = 6.
4. 4log (5x + 4) = 3
4log (5x + 4) = 4log 43
4log (5x + 4) = 4log 64
5x + 4 = 64
5x = 60
x = 12
Makara, penyelesaiannya yakni x = 12.
5. 2log (2x2 + 15) = 2log (x2 + 8x)
2x2 + 15 = x2 + 8x
2x2 – x2 – 8x + 15 = 0
x2 – 8x + 15 = 0
(x – 3)(x – 5) = 0
x = 3 atau x = 5
Makara, penyelesaiannya adalah x = 3 atau x = 5.
Pertidaksamaan Logaritma
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, langkah-langkah penyelesaiannya nyaris sama dgn cara penyelesaian padapersamaan logaritma. Hanya saja lebih memperhatikan tanda ketidaksamaanya.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa teladan berikut.
Tentukan penyelesaian dr pertidaksamaan logaritma berikut
1. 5log 3x + 5 < 5log 35
2. 3log (2x + 3) > 3log 15
3. 2log (6x + 2) < 2log (x + 27)
4. 2log (5x – 14) < 6
5. 4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x)
6. x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
7. 2x-5log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)
6. x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
7. 2x-5log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)
Jawaban:
1. 5log 3x + 5 < 5log 35
Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ….. (1)
3x + 5 < 35
3x < 30
x < 10 ....(2)
Makara dr (1) & (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.
2. 3log (2x + 3) > 3log 15
Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ….. (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2x + 3 > 15
2x > 12
x > 6 ….(2)
Jadi, dr (1) & (2) diperoleh penyelesaian x > 6.
3. 2log (6x + 2) < 2log (x + 27)
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
6x + 2 > 0, maka x > -1/3 …. (1)
x + 27 > 0, maka x > -27 ….. (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
6x + 2 < x + 27
6x – x < 27 – 2
5x < 25
x < 5 ..... (3)
Jadi, dr (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5
4. 2log (5x – 16) < 6
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
5x – 16 > 0, maka x > 16/5 …. (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2log (5x – 16) < 2log 26
2log (5x – 16) < 2log 64
5x – 16 < 64
5x < 80
x < 16 . . . . (2)
Jadi, dr (1) & (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.
5. 4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x)
Syarat nilai pada logaritma.
2x2 + 24 > 0 (definit faktual). Jadi, berlaku untuk setiap x . . . (1)
x2 + 10x > 0, maka x < -10 atau x > 0 . . . . (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x2 + 24) > (x2 + 10x)
2x2 – x2 – 10x + 24 > 0
x2 – 10x + 24 > 0
(x – 4)(x – 6) >
x < 4 atau x > 6 ….(3)
Jadi, dr (1), (2), & (3) diperoleh solusi x < -10 atau x > 6.
6. x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
Syarat nilai pada bilangan x+1>0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 01, sehingga diperoleh batasan berikut.
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0
Untuk 0
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2 . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5 . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) > (x + 5)
2x – x > 5 + 3
x > 8 …(4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tak ada irisan penyelesaian.
Untuk x+1>1 atau x > 0 . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2 . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5 . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) < (x + 5)
2x – x < 5 + 3
x < 8 ...(4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) & (4), ada irisan solusi yakni 3/2
Makara, penyelesaiannya yakni 3/2
7. 2x-5log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)
Syarat nilai pada bilangan 2x-5 > 0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 & 2x-5>1, sehingga diperoleh batasan berikut.
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 & 2x-5>1, sehingga diperoleh batasan berikut.
Untuk 0< 2x-5 <1 atau 5/2 < x < 3 . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0 . . . (2)
4x + 12 > 0, maka x > -3 . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) < (4x + 12)
x2 + 5x – 4x – 12 < 0
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) < (4x + 12)
x2 + 5x – 4x – 12 < 0
x2 + x – 12 < 0
(x + 4)(x – 3) < 0
-4 < x < 3 . . . . . (4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) & (4), ada irisan penyelesaian yakni 5/2 < x < 3.
Untuk 2x-5 > 1 atau x > 3 . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
Syarat nilai pada logaritma.
x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0 . . . (2)
4x – 12 > 0, maka x > 3 . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) > (4x + 12)
x2 + 5x – 4x – 12 > 0
x2 + 5x – 4x – 12 > 0
x2 + x – 12 > 0
(x + 4)(x – 3) > 0
x <-4 atau x > 3 . . . . . (4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) & (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.
Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 & x =/ 3.
Demikian sedikit pola cara menuntaskan persamaan & pertidaksamaan logaritma yg mampu saya berikan.
Semoga berfaedah bagi Anda.