Fungsi, Fungsi Komposisi, dan Fungsi Invers

Daftar Isi

Relasi & Fungsi

Pengertian Fungsi: Relasi dr himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan kalau & hanya jikalau setiap anggota himpunan A berpasangan dgn sempurna satu anggota himpunan B.

Suatu fungsi atau pemetaan dapat dihidangkan dlm bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yg memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dgn notasi:

$f:A \rightarrow B$

Dengan:

A disebut domain (tempat asal) dinotasikan $D_f$

B disebut Kodomain (tempat mitra) dinotasikan $K_f$

$y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A$ disebut range (tempat hasil), dinotasikan dgn $R_f$

Lihat pula bahan Wargamasyarakat.org yang lain:

Turunan Fungsi Aljabar & Trigonometri

Persamaan Garis Lurus

Sebagai acuan:

Contoh 1	Contoh 2	Contoh 3

Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yg tak dihubungkan dgn anggota di B	Bukan fungsi alasannya adalah terdapat anggota di A yg dihubungkan lebih dr satu dgn anggota di B	Meupakan fungsi alasannya adalah setiap anggota di A tapat dihubungkan dgn satu anggota di B

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi surjektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau $R_f = B$ , atau setiap $y \epsilon B$ terdapat $x \epsilon A$ sedemikian sehingga $f(x) = y$ . Contoh:

surjektif

Fungsi Into

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , kalau terdapat elemen di B yg tak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

into

Fungsi Injektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , bila setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dr A.

Contoh:

injektif

Fungsi Bijektif

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

bijektif

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org lainnya:

Gerak Melingkar

Persamaan Reaksi

Puisi Lama

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dr beberapa fungsi yg terhubung & melakukan pekerjaan sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f & g adalah mesin yg bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yg akan dimasak di mesin f & menghasilkan output berupa $f(x)$ . Kemudian $f(x)$ dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa $g(f(x))$ .

Ilustrasi tersebut kalau dibentuk dlm fungsi merupakan komposisi g & f yg dinyatakan dgn $g o f$ sehingga:

$(g o f)(x) = g(f(x))$

dengan syarat: $R_f \cap D_g \not= \O$ .

fungsi komposisi

Komposisi bisa lebih dr dua fungsi bila $f:A \rightarrow B$ , $g:B \rightarrow C$ , & $h:C \rightarrow D$ , maka $h o g o f:A \rightarrow D$ & dinyatakan dengan:

$(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))$

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tak besifat komutatif $(g o f)(x) \not= (f o g)(x)$

Operasi bersifat asosiatif: $(h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)$

Contoh:

Jika $f(x) = 2x + 3$ & $(f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7$ , maka g(x) adalah

$(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7$

$2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7$

$g(x) = x^2 + 3x - 5$

Fungsi Invers

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ memiliki kekerabatan dgn fungsi $g:B \rightarrow A$ , maka fungsi g merupakan invers dr f & ditulis $f^ -1$ atau $g = f^ -1$ . Jika $f^ -1$ dlm bentuk fungsi, maka $f^ -1$ disebut fungsi invers.

fungsi invers

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi $y = f(x)$ dapat ditempuh dgn cara berikut:

Ubah persamaan $y = f(x)$ ke dlm bentuk $x = f(y)$

Gantikan x dgn $f^ -1 (y)$ sehingga $f(y) = f^ -1 (y)$

Gantikan y dgn x sehingga diperoleh invers berupa $f^ -1$

Contoh:

Menentukan invers dr $=x^2 - 2x + 4$ :

$y = [x^2 - 2x + 4$

$y = (x - 1)^2 + 3$

$(x - 1)^2 = y - 3$

$x - 1 = \pm \sqrt y - 3$

$x = \pm \sqrt y -3 + 3$

Sehingga inversnya yaitu

$f^ -1 (x) =\pm \sqrt y - 3 + 1$ & bukan merupakan fungsi alasannya adalah mempunyai dua nilai.

Lihat pula bahan Wargamasyarakat.org yang lain:

Echinodermata

Simple Past Tense

Hukum Kekekalan Energi

Rumus Fungsi Invers

JENIS FUNGSI	f(x)	$f^ -1 (x)$
Fungsi linier	$f(x) = ax + b$	$f^ -1 (x) = \frac x-b a$
Fungsi kepingan linier	$f(x) =\frac ax+b cx+d$	$f^ -1 (x) = \frac -dx+b cx-a$
Fungsi Irrasional	$f(x) =\sqrt[n] ax+b$	$f^ -1 (x) = \frac x^n-b a$
Fungsi eksponen	$f(x) = a^x$	$f^ -1 (x) = ^a\log x$
Fungsi logaritma	$f(x) = ^a\log x$	$f^ -1 (x) = a^x$

Contoh

JENIS FUNGSI	$f(x)$	$f^ -1 (x)$
Fungsi linier	$f(x) = 2x+3$	$f^ -1 (x) = \frac x-3 2$
Fungsi kepingan linier	$f(x) = \frac 2x+3 4x+5$	$f^ -1 (x) = \frac -5x+3 4x-2$
Fungsi Irrasional	$f(x) = \sqrt[4] 2x+3$	$f^ -1 (x) = \frac x^4-3 2$
Fungsi eksponen	$f(x) = 2^x$	$f^ -1 (x) = ^2\log x$
Fungsi logaritma	$f(x) = ^2\log x$	$f^ -1 = 2^x$

Invers dr Fungsi Komposisi

invers dr fungsi komposisi

Berdasar gambar, bila f, g, h adalah fungsi dgn pola $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = 3x - 5$ , dan $h(x) = x =1$ .

Jika $f^ -1 ,g^ -1 ,h^ -1$ yakni invers fungsinya yaitu $f^ -1 (x) = \frac x-3 2$ , $g^ -1 (x) = \frac x+3 3$ , & $h^ -1 (x) = x - 1$ , maka dirumuskan beserta contohnya:

$(g \circ f)^ -1 (x) = (f^ -1 \circ g^ -1 )(x)$

$(g \circ f)^ -1 (x) =f^ -1 (g^ -1 (x))$

$(g \circ f)^ -1 (x) = \frac (g^ -1 (x))-3 2 = \frac \frac x+5 3 -3 2 = \frac \frac x-4 3 2 = \frac 2x-8 3$

$(f \circ g)^ -1 (x) = (g^ -1 \circ f^ -1 )(x)$

$(f \circ g)^ -1 (x) = g^ -1 (f^ -1 (x))$

$(f \circ g)^ -1 (x) = \frac \frac x-3 2 +5 3 = \frac \frac x+7 2 3 = \frac 3x+21 2$

$(h \circ g \circ f)^ -1 (x) = (f^ -1 \circ g^ -1 \circ h^ -1 )(x)$

$(h \circ g \circ f)^ -1 (x) = f^ -1 (g^ -1 (h^ -1 (x)))$

$(h \circ g \circ f)^ -1 (x) = f^ -1 (\frac (x-1)+5 3 ) = f^ -1 (\frac x+4 3 )$

$(h \circ g \circ f)^ -1 (x) = \frac (\frac x+4 3 )-3 2 = \frac (\frac x-5 3 ) 2 = \frac 2x-10 3$

$(f \circ g \circ h)^ -1 (x) = (h^ -1 \circ g^ -1 \circ f^ -1 )(x)$

$(f \circ g \circ h)^ -1 (x) = h^ -1 (g^ -1 (f^ -1 (x)))$

$(f \circ g \circ h)^ -1 (x) = h^ -1 (\frac 3x+21 2 )$

$(f \circ g \circ h)^ -1 (x) = (\frac 3x+21 2 ) - 1 = \frac 3x+19 2$

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

Jika diketahui $g(x)$ & $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f \circ g \circ g^ -1 )(x) = (g^ -1 \circ g \circ f)(x) = f(x)$

Jika dikenali $f(x)$ & $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f^ -1 \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^ -1 )(x) = g(x)$

Jika diketahui $f(x)$ , $g(x)$ , & $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $(f \circ g)^ -1 ((f \circ g \circ h)(x))$

Jika dimengerti $f(x)$ , $h(x)$ , & $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $f^ -1 ((f \circ g \circ h)(h^ -1 (x)))$

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers & Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Jika $f(x) = \frac x x-1 , x \not= 1$ & $g(x) = f(x^2 +1)$ , tentukanlah nilai $g(f(x))$

Pembahasan

$g(x) = f(x^2+1)$

$g(x) = \frac (x^2+1) (x^2+1)-1 = \frac x^2+1 x^2$

$g(x) = 1+ \frac 1 x^2$

Maka:

$g(f(x)) = 1 + \frac 1 (f(x))^2$

$g(f(x)) = 1 + \frac 1 (\frac x x-1 )^2 = 1 + (\frac x-1 x )^2 = 1 + \frac x^2-2x+1 x^2$

$g(f(x)) = 2 - \frac 2 x + \frac 2 x + \frac 1 x^2$

Contoh Soal Fungsi Invers

Diketahui $f^ -1 (x) = \frac 1 2 (x - 3)$ , pastikan $f(x)$ .

Pembahasan

$f^ -1 (x) = \frac 1 2 (x -3)$

$f^ -1 (y) = \frac 1 2 (y -3)$

$x = \frac 1 2 (y - 3)$

$2x = (y - 3)$

$y = 2x + 3$

Maka,

$f(x) = 2x + 3$

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Misalkan $f(x) = x + 2$ untuk $x > 0″ class=”latex” /> dan <img decoding=$ untuk $x > 0″ class=”latex” />. Jika <img decoding=$ , tentukan nilai (x) $(x)$ .