Persamaan kuadrat dalam variabel x adalah persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, dan c ialah bilangan real dan a ≠ 0. Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a yaitu koefisien dari x2, b ialah koefisien dari x dan c yakni suku tetapan atau konstanta.
Nah, pada potensi kali ini kita akan membicarakan wacana cara menentukan akar persamaan kuadrat dengan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan dengan menggunakan rumus ABC. Untuk itu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat mencar ilmu.
#1 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran
Terdapat empat bentuk persamaan kuadrat yang perlu kalian ketahui, yakni sebagai berikut.
1) Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1.
2) Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 dan a ≠ 0.
3) Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx atau nilai c = 0.
4) Persamaan kuadrat bentuk x2 – c atau nilai b = 0.
Untuk masing-masing bentuk persamaan kuadrat tersebut, terdapat cara yang berlainan dalam memfaktorkan atau mencari akar-akarnya. Agar kalian lebih memahami tentang faktorisasi, mari kita diskusikan satu persatu metode faktorisasi berikut ini.
Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Untuk memilih akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a = 1 lewat metode pemfaktoran, kalian mampu menggunakan langkah-langkah berikut ini.
|
Persamaan Kuadrat
|
Rumus Pemfaktoran
|
Keterangan
|
|
ax2 + bx + c = 0
|
(ax + p)(ax + q) = 0
|
p + q = b
|
|
p × q = ac
|
Untuk menentukan akar persamaan kuadrat, amati cara berikut:
#1 Tentukan dua angka, misalnya p dan q yang bila dijumlahkan karenanya sama dengan b dan jika dikalikan balasannya sama dengan a × c. Untuk menentukan nilai pasangan p dan q secara gampang, kalian dapat mencari bilangan-bilangan yang merupakan faktor dari ac.
#2 Apabila nilai p dan q telah diputuskan, masukan nilai p dan q tersebut ke dalam rumus pemfaktoran di atas.
Contoh Soal:
Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.
a) x2 – 5x + 6 = 0
b) x2 + 9x + 14 = 0
Jawab
a) x2 – 5x + 6 = 0
Diketahui nilai dari a = 1, b = –5, c = 6 dan ac = 1 × 6 = 6. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dulu faktor dari 6 yakni selaku berikut.
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
Dari delapan bilangan di atas, mana dua angka yang kalau dihitung balasannya -5 dan bila dikalikan kesannya 6? Tentu saja angka -2 dan -3 bukan? Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = -3 (dibalik juga bisa). Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita dapatkan.
⇔ (ax + p)(ax + q) = 0
⇔ x + (-2)x + (-3) = 0
⇔ (x – 2)(x – 3) = 0
⇔ x = 2 atau x = 3
Dengan demikian, akar dari x2 – 5x + 6 = 0 ialah 2 atau 3.
b) x2 + 9x + 14 = 0
Diketahui nilai dari a = 1, b = 9, c = 14 dan ac = 1 × 14 = 14. Faktor dari 14 ialah selaku berikut.
-14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14
Dari delapan bilangan di atas, dua angka yang kalau dijumlah alhasil 9 dan kalau dikalikan alhasil 14 yakni angka 2 dan 7. Dengan demikian kita dapatkan p = 2 dan q = 7. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.
⇔ (ax + p)(ax + q) = 0
⇔ (x + 2)(x + 7) = 0
⇔ x = -2 atau x = -7
Dengan demikian, akar dari x2 + 9x + 14 = 0 ialah -2 atau -7.
Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 1 melalui tata cara pemfaktoran, kalian mampu memakai langkah-langkah berikut ini.
|
Persamaan Kuadrat
|
Rumus Pemfaktoran
|
Keterangan
|
||
|
ax2 + bx + c = 0
|
|
(ax + p)(ax + q)
|
= 0
|
p + q = b
|
|
a
|
p × q = ac
|
|||
Untuk memilih akar-akar persamaan kuadrat kita cari dahulu nilai p dan q dengan ketentuan yang sama dengan cara di atas.
Contoh Soal:
Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.
a) 4x2 – 12x + 9 = 0
b) 3x2 + 22x – 16 = 0
Jawab
a) 4x2 – 12x + 9 = 0
Diketahui nilai dari a = 4, b = –12, c = 9 dan ac = 4 × 9 = 36. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dulu faktor dari 36 yakni selaku berikut.
-36, -18, -12, -9, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Dari bilangan-bilangan bundar di atas, pasangan angka yang jika dijumlah jadinya -12 dan jika dikalikan risikonya 36 yakni angka -6 dan juga -6. Dengan demikian kita dapatkan p = -6 dan q = -6. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita dapatkan.
|
⇔
|
(ax + p)(ax + q)
|
= 0
|
|
a
|
|
⇔
|
(4x – 6)(4x – 6)
|
= 0
|
|
4
|
|
⇔
|
2(2x – 3) × 2(2x – 3)
|
= 0
|
|
4
|
|
⇔
|
4(2x – 3)(2x – 3)
|
= 0
|
|
4
|
⇔ (2x – 3)(2x – 3) = 0
⇔ 2x – 3 = 0
⇔ 2x = 3
⇔ x = 3/2
Dengan demikian, akar dari 4x2 – 12x + 9 = 0 ialah 3/2.
b) 3x2 + 22x – 16 = 0
Diketahui nilai dari a = 3, b = 22, c = –16 dan ac = 3 × (–16) = –48. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dahulu faktor dari 36 yaitu sebagai berikut.
-48, -24, -16, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Dari bilangan-bilangan lingkaran di atas, pasangan angka yang jika dijumlah jadinya 22 dan bila dikalikan akibatnya –48 yaitu angka -2 dan 24. Dengan demikian kita dapatkan p = -2 dan q = 24. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.
|
⇔
|
(ax + p)(ax + q)
|
= 0
|
|
a
|
|
⇔
|
(3x – 2)(3x + 24)
|
= 0
|
|
3
|
|
⇔
|
(3x – 2) × 3(x + 8)
|
= 0
|
|
3
|
⇔ (3x – 2)(x + 8)= 0
⇔ 3x – 2 = 0 atau x + 8 = 0
⇔ 3x = 2 atau x = -8
⇔ x = 2/3 atau x = -8
Dengan demikian, akar dari 3x2 + 22x – 16 = 0 ialah 2/3 atau -8.
Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2 + bx
Untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx = 0, caranya sangat mudah sekali yaitu dengan mengganti bentuk persamaan kuadrat itu menjadi bentuk perkalian faktor-faktor aljabar dalam variabel x. Perhatikan langkah berikut.
ax2 + bx = ax(x + b/a) = 0
⇔ ax(x + b/a) = 0
⇔ ax = 0 atau x + b/a = 0
⇔ x = 0 atau x = –b/a
Dengan demikian akar-akar persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx = 0 yaitu 0 atau –b/a.
Contoh Soal:
Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.
a) 4x2 – 20x = 0
b) 3x2 + 5x = 0
Jawab
a) 4x2 – 20x = 0
⇔ 4x2 – 20x = 4x(x – 20/4) = 0
⇔ 4x(x – 20/4) = 0
⇔ 4x = 0 atau x – 20/4 = 0
⇔ x = 0 atau x = 20/4 = 5
Dengan demikian, akar dari 4x2 – 20x = 0 adalah 0 atau 5.
b) 3x2 + 5x = 0
Kita dapat memilih akar persamaan kuadrat ini dengan segera tanpa lewat perhitungan yakni dengan memakai rumus x = 0 atau x = -b/a sehingga kita dapatkan akar-akar dari 3x2 + 5x = 0 yaitu 0 atau -5/3.
Akar Persamaan Kuadrat Bentuk x2 – c
Persamaan kuadrat berbentuk x2 – c mampu kita ubah menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya, yaitu: