Turunan Fungsi Aljabar – Media Masyarakat

Daftar Isi

Rumus-rumus turunan fungsi aljabar SMA dan SMK

Turunan fungsi aljabarmerupakan perluasan materi limit fungsi dan turunan fungsi yang pertama kali diajarkan di kelas 2 SMA atau kelas 3 SMK. Selain turunan fungsi aljabar juga dikenal turunan fungsi trigonometri penting sekali menguasai konsep turunan mengingat kegunaan materi ini sangat penting dalam bidang yang lain seperti dalam bidang fisika dan kalkulus diferensial. Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar.

1.Turunan fungsi konstan

f(x) = k ⇒ f’(x) = 0

Contohsoal turunan fungsi aljabar fungsi konstan:

a. Turunan dari f(x) = 5 adalah f’(x) = 0

b. Turunan dari f(x) = – 6 adalah f’(x) = 0

2.Turunan fungsi identitas

f(x) = x ⇒ f’(x) = 1

3.Turunan fungsi aljabar berpangkat n

Contoh :
$\\a.\, f(x)=x^4\Rightarrow f'(x)=4x^{4-1}=4x^3\\\\b.\, f(x)=-4x^5\Rightarrow f'(x)=(-4)x^{5-1}=-4x^4$

Rumus fungsi aljabar berpangkat n diatas juga berlaku untuk bilangan berpangkat negatif maupun pangkat pecahan, seperti contoh dibawah ini

c . $f(x)=\frac{1}{x^5}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{1}{x^5}=x^{-5}\\\\f'(x)=(-5)x^{-5-1}=-5x^{-6}$

d. $f(x)=\frac{4}{\sqrt[3]{x^4}}$

[penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{4}{\sqrt[3]{x^4}}=4x^{-\frac{4}{3}}\\\\f'(x)=4.\left ( -\frac{4}{3} \right )x^{-\frac{4}{3}-1}=-\frac{16}{3}x^{-\frac{7}{3}}\\\\f'(x)=\frac{-16}{3x^2\sqrt[3]{x}}$

4.Rumus turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi

Contoh soal Turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi,

a. $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-x-7$

[Penyelesaian]
$\\f'(x)=4x^{4-1}-5.3x^{3-1}+4.2x^{2-1}-1\\\\f'(x)=4x^3-15x^2+8x-1$

b. $f(x)=(x+3)^2$

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua pada materi matematika smp kelas 7 aljabar maka,
$\\f(x)=(x+3)^2=x^2+6x+9\\\\f'(x)=2x^{2-1}+6=2x+6$

c. $f(x)=\sqrt{x}(x^2-x)$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\sqrt{x}(x^2-x)=x^{\frac{1}{2}}(x^2-x)=x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\\\\f'(x)=\frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}-\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\\\\f'(x)=\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{2}x\sqrt{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}\\\\f'(x)=\frac{\sqrt{x}}{2}(5x-3)$

5.Turunan fungsi aljabar hasil kali

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil kali,

Carilah turunan dari , $f(x)=(x^2-5x)(x^3+5)$

[Penyelesaian]
$\\\Leftrightarrow u(x)=x^2-5x,\, maka\, u'(x)=2x-5\\\Leftrightarrow v(x)=x^3+5,\, maka\, v'(x)=3x^2$

Dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas maka diperoleh,

$\\f(x)=(x^2-5x)(x^3+5)\\f'(x)=(2x-5).(x^3+5)+(x^2-5x).(3x^2)\\f'(x)=2x^4+10x-5x^3-25+3x^4-15x^3\\f'(x)=5x^4-20x^3+10x-25$

Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang terdiri dari tiga fungsi, yaitu:

Contoh mencari turunan fungsi aljabar yang terdiri dari tiga fungsi:

Tentukan turunan dari, $f(x)=(x^3-2)(x^4+2x^2)(2x^2-3x)$

[Penyelesaian]
$\\\circ u(x)=x^3-2\Rightarrow u'(x)=3x^2\\\circ v(x)=x^4+2x^2\Rightarrow v'(x)=4x^3+4x\\\circ w(x)=2x^2-3x \Rightarrow w'(x)=4x-3$
$\\f(x)=(x^3-2)(x^4+2x^2)(2x^2-3x)\\f'(x)=3x^2.(x^4+2x^2).(2x^2-3x)+(x^3-2).(4x^3+4x).(2x^2-3x)+(x^3-2).(x^4+2x^2).(4x-3)\\f'(x)=14x^8-33x^7+16x^6-40x^5+33x^4-32x^3+48x^2-18x$

6. Turunan fungsi aljabar hasil bagi

Dengan v(x) ≠ 0

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil bagi:

Tentukan turunan dari fungsi berikut ini, $f(x)=\frac{3x^2+x+5}{x^2+x}$

[Penyelesaian]
$\\\circ u(x)=3x^2+x+5\Rightarrow u'(x)=6x+1\\\circ v(x)=x^2+x\Rightarrow v'(x)=2x+1$
$\\f(x)=\frac{3x^2+x+5}{x^2+x}\\f'(x)=\frac{(6x+1).(x^2+x)-(3x^2+x+5).(2x+1)}{(x^2+x)^2}\\f'(x)=\frac{2x^2-10x-5}{(x^2+x)^2}$

Turunan fungsi aljabar aturan rantai

Dengan u (x) fungsi dari x dan n ϵ bilangan real

Contoh soal menentukan turunan fungsi aljabar dengan aturan rantai,

Carilah turunan dari fungsi dibawah ini, $f(x)=\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )^7$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )^7\\f'(x)=7.\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )^6.\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )'\\f'(x)=7\left ( \frac{1}{2} x^2-3x\right )^6\left ( x-3 \right )$

Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar

Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam bentuk persamaan irasional , ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu yaitu:

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/02/turunan-fungsi-aljabar.html

Contoh:

Carilah turunan dari fungsi berikut ini , $f(x)=\sqrt{(3x+2)}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\sqrt{(3x+2)}\\\\f'(x)=\frac{(3x+2)'}{2\sqrt{(3x+2)}}\\\\f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{(3x+2)}}$

Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus

Rumus khusus :

Contoh:

Tentukan turunan fungsi dibawah ini, $f(x)=\frac{1}{x^2-2x}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{1}{x^2-2x}\\f'(x)=-\frac{(x^2-2x)'}{(x^2-2x)^2}\\f'(x)=-\frac{(2x-2)}{(x^2-2x)^2}=-\frac{2(x-1)}{(x^2-2x)^2}$

Contoh soal aplikasi turunan fungsi aljabar dalam kehidupan sehari-hari

1.Seorang peternak ayam mempunyai kawat berduri sepanjang 100 m, kawat tersebut akan digunakan untuk membuat dua kandang ayam berpagar kawat yang sama (identik) dan berdampingan seperti ditunjukkan dalam gambar. Tentukan ukuran seluruh kelilingnya agar luas kandang ayam tersebut maksimum.

[Penyelesaian]

Misalkan panjangnya = x dan lebarnya = y, dan kawat yang tersedia hanya 100 m maka didapat persamaan,

3x + 2y = 100 atau $3x+2y=100\, \, atau\, \, y=50-\frac{3}{2}x$

Luas seluruh kandang ayam,
$\\L(x) =x.y=x(50-\frac{3}{2}x)=50x-\frac{3}{2}x^2\, ;\, 0 \leq x\leq \frac {100}{3} \\\\\Leftrightarrow L'(x)=0\\50-3x=0\\\therefore x=\frac{50}{3}$

Jadi luas maksimum kandang dicapai jika x = 50/3 m dan y = 25 m

Contoh penerapan turunan fungsi aljabar dalam bidang fisika

2. Sebuah benda bergerak dengan persamaan $s=f(t)=4t^2 -5t$ ( s dalam meter dan t dalam detik). Tentukan besar kecepatan sesaat untuk t = 2 detik.

[Penyelesaian]

Kecepatan merupakan turunan dari jarak, maka

v(t) = f’(t) = 8t – 5

v(t = 2) = 8.2 – 5 =11 m/det

∴ kecepatan sesaat benda setelah 2 detik adalah 11 m/det

3.Sebuah bola berjari-jari r cm dengan volume $v=\frac{4} {3}\pi r^3$ . Hitunglah laju perubahan volume bola terhadap jari-jari r pada saat r = 4 cm.

[Penyelesaian]

Perubahan volume bola terhadap jari-jari rW
$\\f'(r) =4\pi r^2\\f'(4)=4.\pi. 4^2=64\pi$

∴ Perubahan volume bola terhadap jari-jari r adalah 64π

4. Hitunglah jarak terdekat antara titik (0,5) ke kurva parabola $y=x^2+2$

[Penyelesaian]

$\\d=\sqrt{x^2+(y-5)^2}\\d^2=x^2+(y-5)^2\\misalkan,\, d^2=f(x)\\f(x)=x^2+(y-5)^2=x^2+(x^2-3)^2\, ....(1)$
$\\\Leftrightarrow f'(x)=2x+2(x^2-3).2x\\\Leftrightarrow f'(x)=2x\left \{ 1+2(x^2-3) \right \}\\\Leftrightarrow f'(x)=2x(2x^2-5)$

Tentukan nilai minimum f(x) dengan menghitung f’(x) = 0
$\\f'(x)=0\\2x(2x^2-5)=0\\x_{1}=0\,\, dan,\, \, 2x^2-5=0\rightarrow x^2=\frac{5}{2}\, \, ....(2)$

subtitusikan kembali (2) ke (1),
$\\d^2=f(x)=x^2+(x^2-3)^2\\d^2=\frac{5}{2}+\left ( -\frac{1}{2} \right )^2\\d^2=\frac{11}{4}\\d=\frac{1}{2}\sqrt{11}$

∴ jarak terpendeknya adalah $\frac{1}{2}\sqrt{11}$

Cukup dulu yah…! Ada yang kurang silahkan berkomentar dikolom komentar, jangan lupa like juga fanspage facebook nya dan semoga materi turunan fungsi aljabar ini bermanfaat.