Setelah di permulaan materi kita mencar ilmu pembagian suku banyak dgn suku berderajat satu (ax + b), Mari melanjutkan materi ihwal pembagian suku banyak oleh suku banyak berderajat dua (Kuadrat).
Dalam pembagian suku banyak oleh suku berderajat dua (kuadrat) kita akan menggunakan derma Teorema Sisa. Dengan Teorema sisa kita cuma akan menemukan sisa dr pembagian tersebut.
Bagimana cara menentukan pembagian suku banyak oleh suku berderajat dua ini?
Coba kita amati kesepakatan ini.
Jika kita mempunyai suku banyak yg ditulis:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . . + a1x1 + ao
kemudian dibagi oleh suku aljabar kuadrat ax2 + bx + c atau (px + q)(rx + s), maka menerima sisa bentuk aljabarlinear S(x) = mx + n.
Untuk memilih sisa pembagian suku banyak bentuk pertama (pembagi ax2 + bx + c yg tak bisa difaktorkan), caranya yakni dgn pembagian bersusun.
Adapun untuk menentukan sisa pembagian suku banyak bentuk kedua (pembagi yg dapat difaktorkan), caranya mampu memakai Teorema sisa.
Lebih jelasnya amati beberapa teladan berikut.
Contoh 1
Suku banyak P(x) dibagi oleh x – 2 memiliki sisa 7 & dibagi oleh x – 1 mempunyai sisa 3. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x – 2)(x – 1).
Jawaban:
P(x) dibagi oleh x – 2 mempunyai sisa 7, sehingga P(2) = 7.
P(x) dibagi oleh x – 1 mempunyai sisa 3, sehingga P(1) = 3.
Misalkan dibagi oleh (x – 2)(x – 1) mempunyai sisa pembagian yaitu S(x) = mx + n.
Selanjutnya kita menentukan m & n dgn cara menyamakan P(x) = S(x) berikut.
P(2) = S(2), maka 7 = 2m + n atau 2m + n = 7 ……. (1)
P(1) = S(1), maka 4 = m + n atau m + n = 3 ……. (2)
Selesaikan dgn tata cara persamaan pada (1) & (2)
2m + n = 7
m + n = 3 –
m = 4, & karenanya diperoleh n = -1.
Substitusikan nilai m & n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = 4x – 1.
Jadi, suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2)(x – 1) mempunyai sisa 4x – 1.
Contoh 2
Suku banyak P(x) dibagi oleh x + 2 memiliki sisa 12 & dibagi oleh x – 3 mempunyai sisa -13. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x + 2)(x – 3).
Jawaban:
P(x) dibagi oleh x + 2 memiliki sisa 12, sehingga P(-2) = 12.
P(x) dibagi oleh x – 3 memiliki sisa -13, sehingga P(3) = -13.
Misalkan P(x) dibagi oleh (x + 2)(x – 3) mempunyai sisa pembagian adalah S(x) = mx + n.
Selanjutnya kita menentukan m & n dgn cara menyamakan P(x) = S(x) berikut.
P(-2) = S(-2), maka 12 = -2m + n atau -2m + n = 12 ……. (1)
P(3) = S(3), maka -13 = 3m + n atau 3m + n = -13 ……. (2)
Selesaikan dgn tata cara persamaan pada (1) & (2)
-2m + n = 12
3m + n = -13 –
-5m = 25
m = -5
Substitusikan m = -5 ke persamaan -2m + n = 12.
Sehingga -2(-5) + n = 12, atau 10 + n = 12, & nilai n = 2.
Substitusikan nilai m & n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = -5x + 2.
Makara, suku banyak P(x) dibagi oleh (x + 2)(x – 3) mempunyai sisa -5x + 2.
Contoh 3
Suku banyak P(x) dibagi oleh x – 4 mempunyai sisa -3 & dibagi oleh x – 1 mempunyai sisa 6. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x – 4)(x – 1).
Jawaban:
P(x) dibagi oleh x – 4 memiliki sisa -3, sehingga P(4) = -3.
P(x) dibagi oleh x – 1 memiliki sisa 7, sehingga P(1) = 6.
Misalkan P(x) dibagi oleh (x – 4)(x – 1) mempunyai sisa pembagian yaitu S(x) = mx + n.
Selanjutnya kita menentukan m & n dgn cara menyamakan P(x) = S(x) berikut.
P(4) = S(4), maka -3 = 4m + n atau 4m + n = -3 ……. (1)
P(1) = S(1), maka 6 = m + n atau m + n = 6 ……. (2)
Selesaikan dgn sistem persamaan pada (1) & (2)
4m + n = -3
m + n = 6 –
3m = -9
m = -3
Substitusikan m = -3 ke persamaan m + n = 6.
Sehingga -3 + n = 6 atau nilai n = 9.
Substitusikan nilai m & n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = -3x + 9.
Makara, suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 4)(x – 1) mempunyai sisa -3x + 9.
Contoh 4
Suku banyak P(x) dibagi oleh x – 1 memiliki sisa 6, dibagi oleh x + 1 memiliki sisa 2, & dibagi oleh x + 2 mempunyai sisa -6. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh x2 + x – 2.
Jawaban:
P(x) dibagi oleh x – 1 mempunyai sisa 6, sehingga P(1) = 6.
P(x) dibagi oleh x + 1 mempunyai sisa 2, sehingga P(1) = 2.
P(x) dibagi oleh x + 2 mempunyai sisa -6, sehingga P(-2) = -6.
Perhatikan bahwa x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2)
Artinya:
Jika P(x) dibagi oleh x2 + x – 2 sama nilaianya/tujuannya dgn P(x) dibagi oleh (x – 1)(x + 2).
Nah sekarang sesudah pembagi bisa difaktorkan, langkah-langkah pembuatan seperti pada teladan di atas.
Misalkan P(x) dibagi oleh x2 + x – 2 (atau dibagi (x – 1)(x + 2)) memiliki sisa pembagian yaitu S(x) = mx + n.
Selanjutnya kita memilih m & n dgn cara menyamakan P(x) = S(x) berikut. Kita cukup menentukan P(1) & P(-2) sesuai dgn faktornya saja.
P(1) = S(1), maka 6 = m + n atau m + n = 6 ……. (1)
P(-2) = S(-2), maka -6 = -2m + n atau -2m + n = -6 ……. (2)
Selesaikan dgn tata cara persamaan pada (1) & (2)
m + n = 6
-2m + n = -6 –
3m = 12
m = 4
Substitusikan m = 4 ke persamaan m + n = 6.
Sehingga 4 + n = 6 atau nilai n = 2.
Substitusikan nilai m & n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = 4x + 2.
Kaprikornus, suku banyak P(x) dibagi oleh x2 + x – 2 memiliki sisa 4x + 2.
Contoh 5
Suku banyak P(x) dibagi oleh x2 – 4 memiliki sisa 2x + 3 & dibagi oleh x2 – 9 memiliki sisa 3x – 5. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6).
Jawaban:
Ingat:
x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
x2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3)
P(x) dibagi oleh x2 – 4 atau (x + 2)(x – 2) memiliki sisa 2x + 3, sehingga
P(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1
P(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
P(x) dibagi oleh x2 – 9 atau (x + 3)(x – 3) memiliki sisa 3x – 5, sehingga
P(-3) = 3(-3) – 5 = -9 + 5 = -4
P(3) = 3(3) – 5 = 9 – 5 = 4
Misalkan P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6) atau (x + 2)(x – 3) memiliki sisa pembagian yaitu S(x) = mx + n.
Selanjutnya kita memilih m & n dgn cara menyamakan P(x) = S(x) berikut. Kita cukup memilih P(-2) & P(3) sesuai dgn faktornya saja.
P(-2) = S(-2), maka -1 = -2m + n atau -2m + n = -1 ……. (1)
P(3) = S(3), maka 4 = 3m + n atau 3m + n = 4 ……. (2)
Selesaikan dgn tata cara persamaan pada (1) & (2)
-2m + n = -1
3m + n = 4 –
-5m = -5
m = 1
Substitusikan m = 1 ke persamaan 3m + n = 4.
Sehingga 3(1) + n = 4 atau 3 + n = 4 atau nilai n = 1.
Substitusikan nilai m & n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = x + 1.
Makara, suku banyak P(x) dibagi oleh x2 – x – 6 mempunyai sisa x + 1.
Demikianlah sekilas materi tentang pembagian suku banyak oleh suku berderajat dua (kuadrat).