Sifat Perkalian Bentuk Aljabar & Penerapannya
Sifat-sifat perkalian:
□ ab = ba, komutatif.
□ a(b + c) = ab + ac, distributif perkalian terhadap penjumlahan.
□ a(b – c) = ab – ac, distributif perkalian kepada pengurangan.
□ abc = (ab)c = a(bc), sifat asosiatif.
1. Perkalian sebuah Bilangan dgn Suku Dua atau Lebih
Untuk menyelesaikan soal-soal perkalian ini digunakan sifat distributif.
Contoh:
a. 5(2x + y) = 10x + 5y
b. (2 – 5a)3a = 2(3a) – 5a(3a)
= 6a – 15a2
c. 3a(a2 + 2a – 3) = 3a(a2) + 3a(2a) + 3a(–3)
= 3a3 + 6a2 – 9a
Sifat distributif perkalian kepada penjumlahan sangat diperlukan untuk membuat lebih mudah mencari hasil perkalian dua bilangan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan teladan-teladan berikut ini.
a. 5 × 36 = 5(30 + 6)
= 5 × 30 + 5 × 6
= 150 + 30
= 180
b. 9 × 74 = 9(70 + 4)
= 9 × 70 + 9 × 4
= 730 + 36
= 666
c. 6 × 235 = 6(200 + 30 + 5)
= 6 × 200 + 6 × 30 + 6 × 5
= 1200 + 180 + 30
= 1410
2. Perkalian Suku Dua dgn Suku Dua
Misalnya (a ± b)(c ± d). Untuk menuntaskan perkalian ini dipakai sifat distributif, yakni:
(a ± b)(c ± d) = a(c ± d) ± b(c ± d)
= ac ± ad ± bc ± bd
Dengan cara perkalian di atas dapat kalian perluas menjadi perkalian suku dua dgn suku tiga atau suku tiga dgn suku tiga & seterusnya.
Contoh:
a. (x + 2)(2x – 1) = x(x + 2) + 2(2x – 1)
= x2 + 2x + 4x – 2
= x2 + 6x – 2
b. (2x – 3)(x2 + 2x – 4) = 2x(x2 +2x – 4) – 3(x2 + 2x – 4)
= 2x3 + 4x2 – 8x – 3x2 – 6x + 12
= 2x3 + x2 – 14x + 12
Penggunaan sifat perkalian (a ± b)(c ± d) = ac ± ad ± bc ± bd untuk memilih hasil kali dua bilangan.
Contoh:
a. 35 × 56 = (30 + 5)(50 + 6)
= 30(50 + 6) + 5(50 + 6)
= 1500 + 180 – 250 + 30
= 1960
b. 45 × 74 = (40 + 5)(70 + 4)
= 40(70 + 4) + 5(70 + 4)
= 2800 + 160 + 350 + 20
= 3330
Perkalian Istimewa
Apabila pada perkalian (a ± b)(c ± d) dilaksanakan beberapa perubahan, maka akan diperoleh bentuk-bentuk perkalian istimewa.
1. Untuk c = a, maka
■ (a + b)(c + d) = (a + b)(a + d)
= a2 + (b + d)a + bd
■ (a – b)(c – d) = (a – b)(a – d)
= a2 – (b + d)a + bd
Contoh:
(x + 3)(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 × 5
= x2 + 8x + 15
2. Untuk c = a & d = b
(a + b)(c + d) = (a + b)(a + b)
= (a + b)2
= a2 + 2ab + b2
Contoh:
(x + 5)(x + 5) = (x + 5)2
= x2 + 10x + 25
3. Untuk c = a & d = b
(a – b)(a – b) = (a – b)2
= a2 – 2ab + b2
Contoh:
(x – 9)(x– 9) = (x – 9)2
= x2 – 18x + 81
4. Untuk c = a & d = b
(a ± b)(c ∓ d) = a2 – b2
Contoh:
a. (x + 3)(x– 3) = x2 – 9
b. (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 – 9
Sifat-sifat perkalian istimewa bentuk aljabar dapat dipakai untuk menentukan hasil kali bilagnan-bilangan dgn cara yg paling gampang. Untuk lebih jelasnya, amati pola-acuan berikut:
Contoh:
1. 25 × 28 = (20 + 5)(20 + 8)
= 202 + (5 + 8)20 + 5 × 8
= 400 + 13 × 20 + 40
= 400 + 260 + 40
= 700
2. 56 × 54 = (50 + 6)(50 + 4)
= 502 + (6 + 4)50 + 6 × 4
= 2500 + 500 + 24
= 3024
3. 49 × 41 = (40 + 9)(40 + 1)
= 402 + (9 + 1)40 + 9 × 1
= 1600 + 400 + 9
= 2009
Hasil kali dua bilangan yg angka puluhannya sama & jumlah angka satuannya 10 mampu diperoleh dgn cara yg lebih gampang lagi. Misalnya:
4. 54 × 46 = (50 + 4)(50 – 4)
= 502 – 42
= 2500 – 16
= 2484
Contoh Soal & Pembahasan
1. Tentukan hasil kali bilangan berikut dgn menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
a. 4 × 75
b. 6 × 84
c. 9 × 72
d. 4 × 215
f. 5 × 275
e. 8 × 325
Jawab:
a. 4 × 75 = 4(70 + 5)
= 280 + 20
= 300
b. 6 × 84 = 6(80 + 4)
= 480 + 24
= 504
c. 9 × 72 = 9(70 + 2)
= 630 + 18
= 648
d. 4 × 215 = 4(200 + 10 + 5)
= 800 + 40 + 20
= 860
f. 5 × 275 = 5(200 + 70 + 5)
= 1000 + 350 + 25
= 1375
e. 8 × 325 = 8(300 + 20 + 5)
= 2400 + 160 + 40
= 2600
2. Gunakan rumus (a + b)(c + d) untuk perkalian berikut.
a. 24 × 26
b. 45 × 43
c. 53 × 57
d. 62 × 68
e. 81 × 89
f. 96 × 94
Jawab:
a. 24 × 26 = (20 + 4)(20 + 6)
= 202 + (4 + 6)20 + 4 × 6
= 400 + 200 + 24
= 624
b. 45 × 43 = (40 + 5)(40 + 3)
= 402 + (5 + 3)40 + 5 × 3
= 1600 + 320 + 15
= 1935
c. 53 × 57 = (50 + 3)(50 + 7)
= 502 + (3 + 7)50 + 3 × 7
= 2500 + 500 + 21
= 3021
d. 62 × 68 = (60 + 2)(60 + 8)
= 602 + (2 + 8)60 + 2 × 8
= 3600 + 600 + 16
= 4216
e. 81 × 89 = (80 + 1)(80 + 9)
= 802 + (1 + 9)80 + 1 × 9
= 6400 + 800 + 9
= 7209
f. 96 × 94 = (90 + 6)(90 + 4)
= 902 + (6 + 4)90 + 6 × 4
= 8100 + 900 + 24
= 9024
3. Gunakan rumus (a + b)(a – b) untuk menyelesaikan perkalian di bawah ini. a. 43 × 37
b. 56 × 43
c. 74 × 66
d. 57 × 43
e. 95 × 85
Jawab:
a. 43 × 37 = (40 + 3)(40 – 3)
= 402 – 32
= 1600 – 9
= 1591
b. 56 × 43 = (50 + 6)(50 – 7)
= 502 + (6 – 7)50 + 6 × (-7)
= 2500 – 50 – 42
= 2408
c. 74 × 66 = (70 + 4)(70 – 4)
= 702 – 42
= 4900 – 16
= 4884
d. 57 × 43 = (50 + 7)(50 – 7)
= 502 – 72
= 2500 – 49
= 2451
e. 95 × 85 = (90 + 5)(90 – 5)
= 902 – 52
= 8100 – 25
= 8075
4. Selesaikan perkalian bilangan berikut dgn menggunakan sifat-sifat perkalian.
a. 8 × 245
b. 65 × 64
c. 82 × 87
d. 7 × 324
e. 84 × 75
f. 92 × 88
Jawab:
a. 8 × 245 = 8(200 + 40 + 5)
= 1600 + 320 + 40
= 1960
b. 65 × 64 = (60 + 5)(60 + 4)
= 602 + (5 + 4)60 + 5 × 4
= 3600 + 540 + 20
= 4160
c. 82 × 87 = (80 + 2)(80 + 7)
= 802 + (2 + 7)80 + 2 × 7
= 6400 + 720 + 14
= 7134
d. 7 × 324 = 7(300 + 20 + 4)
= 2100 + 140 + 28
= 2268
e. 84 × 75 = (80 + 4)(80 – 5)
= 802 + (4 – 5)80 + 4 × (-5)
= 6400 – 80 – 20
= 6300
f. 92 × 88 = (90 + 2)(90 – 2)
= 902 – 22
= 8100 – 4
= 8096