Pertidaksamaan

Pertidaksamaan yakni suatu kalimat matematika yg mengandung notasi lebih kecil dr (<), lebih besar dr (>), lebih kecil dr atau sama dgn (\leq) , & notasi lebih besar dr atau sama dgn (\geq) . Penyelesaian dr pertidaksamaan menciptakan kalimat matematikanya menjadi benar.

Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan linier merupakan bentuk pertidaksamaan yg menampung bentuk aljabar dgn ordo satu misal (x + 2) > 1″ class=”latex” />  atau <img decoding= . Dalam penyelesaian petidaksamaan terdapat beberapa sifat-sifat pertidaksamaan yg perlu dimengerti. Sifat-sifat ini berlaku untuk semua jenis pertidaksaman (linier, kuadrat, kepingan, dll) yakni:

  • Suatu pertidaksamaan dapat ditambah atau dikurang oleh suatu bilangan maupun bentuk aljabar. Penambahan tak mensugesti nilai atau tanda pertidaksamaan asalkan kedua ruas sama-sama ditambah atau dikurangi.
    Contoh:
    Jika a > b” class=”latex” />, maka <img decoding=, maka ac < bc
  • Suatu pertidaksamaan dapat dipangkatkan, tetapi notasi pertidaksamaan mampu saja berganti tergantung dr hasil pangkat masing-masing ruas.
    Contoh:
    – Jika a < 0, b < 0, & a > b” class=”latex” />, maka <img decoding=, tetapi a^3 > b^3″ class=”latex” /></li>
<p></p>
<li>Dua pertidaksamaan mampu digabungkan dgn menambahkan kata “atau” & “dan” dlm kalimat matematikanya. Kata “atau” jikalau kedua pertidaksamaan memiliki daerah solusi yg saling lepas.<br />Penyelesaian ini mampu mengunakan garis bilangan.<br />Contoh :  <img decoding=atau x > ” class=”latex” /><br />Kata “dan” jika kedua pertidaksamaan mempunyai kawasan solusi yg terikat & membentuk interval.<br />Contoh : <img decoding=, sehingga dlm garis bilangan membentuk interval 2 < x < 4
  • Jika dua aljabar dikalikan dlm suatu pertidaksamaan berlaku:

    • Jika ab > 0″ class=”latex” /> maka a & b bertanda sama yaitu : <img decoding= dan b < 0\rangle
    • Jika ab < 0maka a & b berlainan tanda yaitu : \langle a >0″ class=”latex” /> dan  <img decoding= atau \langle a < 0 dan b > 0\rangle” class=”latex” /><br />Misalkan <img decoding=, maka:
      bentuk perkalian dlm pertidaksamaanMakara penyelesaiannya ialah  x < 2 & x > 4″ class=”latex” /></li>
<p></ul>
<p></li>
<p></p>
<li>Dua bentuk pertidaksamaan dapat dijumlahkan dgn catatan mempunyai notasi pertidaksamaan yg sama.<br />Contoh:<br /><img decoding=

    Lihat pula materi Wargamasyarakat.org lainnya:
    Irisan Kerucut
    Persamaan & Pertidaksamaan Logaritma
    Vektor

    Pertidaksamaan Kuadrat

    Pertidaksamaan kuadrat merupakan bentuk pertidaksamaan yg menampung bentuk aljabar dgn ordo maksimal dua misal ax^2 + bx + c >” class=”latex” />  dengan notasi bisa berbentukyg lain (<img decoding=). Dalam penyelesaiannya, nilai yg memenuhi petidaksamaan kuadrat disebut solusi. Penyelesaian dapat dicari dgn garis bilangan. Berikut langkah-langkahnya:

    • Menentukan akar-akar dr persamaan ax^2 + bx + c
    • Akar-akar ditempatkan pada garis bilangan selaku batas interval.
    • Substitusi sembarang nilai yg ada di setiap interval pada ax^2 + bx +c
    • Tempatkan tandan (+) atau (-) pada setiap interval sesuai dgn hasil substitusi sebelumnya.
    • Didapatkan interval yg menjadi solusi yaitu yg bertanda (+) untuk penyelesaian pertidaksamaan ax^2 + bx + c > 0″ class=”latex” /> & yg bertanda (-) untuk solusi pertidaksamaan <img decoding=

    Dalam permasalahan persamaan kuadrat, diskriminan (D) mampu dipakai untuk mendapatkan solusi dlm bentuk pertidaksamaan. Contoh : Tentukan nilai p supaya persamaan x^2 - px + p = 0 mempunyai akar-akar yg real & bebeda. Maka:

    pertidaksamaan kuadrat

    Pertidaksamaan Pecahan

    Pertidaksamaan pecahanan terdiri dr fungsi f(x) & g(x). Secara umum, bentuk pertidaksamaannya dapat dinyatakan dgn :

    \frac f(x)  g(0)  > 0″ class=”latex” /> dgn notasi (>) mampu sebagai : <img decoding= atau \geq

    Penyelesaian pertidaksamaan pecahanan dapat dilakukan dgn langkah:

    • Menentukan akar dari f(x) = 0 dan g(x) = 0
    • Selanjutnya sama dgn pertidaksamaan kuadrat.
    • Menetapkan penyelesaian dengan:
      penyelesaian pertidaksamaan pecahan

    Pertidaksamaan Irasional

    Pertidaksamaan yg mengandung bentuk akar (\sqrt) disebut selaku pertidaksamaan irasional. Bentuk-bentuk:

    \sqrt f(x)  <, <, \leq , \geq \sqrt g(x)

    Dapat dilakukan dgn mengkuadratkan kedua ruas. Namun ada syarat yg perlu ditambahkan jika dikuadatkan yakni:

    f(x)\geq 0 dan g(x)\geq 0

    Penyelesaian pertidaksamaan irasional dapat dilakukan dgn langkah-langkah sesuai dgn pertidaksamaan kuadrat.

    Pertidaksamaan Nilai Mutlak

    Nilai mutlak dr suatu bilangan ialah nilai positif dr bilangan tersebut. Misalkan nilai mutlak dr 5 ialah 5 & nilai mutlak dr -5 yaitu 5 . Nilai mutlak dinotasikan dgn “\arrowvert   \arrowvert“, contoh : \arrowvert -6 \arrowvert = 6 . Nilai mutlak pula bisa berupa persamaan atau pertidaksamaan.

    pertidaksamaan nilai mutlak

    Jika \arrowvert x \arrowvert \leq 2 artinya nilai mutlak yg menyanggupi antara 0 hingga 2 alasannya nilai mutlak selalu positif. Dengan nilai mutlak tersebut, maka nilai x berada pada -2\leq x \leq 2 . Tabel diatas pula berlaku kalau mencari solusi nilai mutlak dr suatu fungsi dgn cara mengubah variabel sebagai fungsi menjadi\arrowvert f(x) \arrowvert , acuan penyelesaian \arrowvert 2x - 3 \arrowvert < 7 yakni:

    penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak

    Jika pertidaksamaan melibatkan 2 nilai mutlak di kedua ruas, maka penyelesaian dgn cara mengkuadratkan kedua ruas sehingga notasi mutlak hilang. Contoh, solusi \arrowvert x + 2\arrowvert < \arrowvert x - 3 yaitu:

    penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak part 2

    Contoh Soal Pertidaksamaan & Pembahasan

    Contoh Soal 1

    Tentukan penyelesaian dari:

    \frac x - 3  x + 2  \geq \frac x +4  x - 1

    Pembahasan 1:

    \frac x - 3  x + 2  \geq \frac x + 4  x - 1  \overset menjadi  \rightarrow  \frac x - 3  x + 2  - \frac x + 4  x - 1  \geq 0

    \frac (x - 3)(x - 1) - (x + 4)(x + 2)  (x + 2)(x - 1)  \geq 0 \overset menjadi  \rightarrow \frac (x^2 - 4x + 3) - (x^2 + 6x + 8)  (x + 2)(x - 1)  \geq 0

    \frac -(10x + 5)  (x + 2)(x - 1)  \geq 0 \overset menjadi  \rightarrow  \frac (10x + 5)  (X + 2)(X - 1)

    Akar-akarnya:

    x_1 = -2 , x_2 = -0,5 , x_3 = 1

    Garis bilangan \frac (10x + 5)  (x + 2)(x - 1)  \leq 0 yakni:

    pembahasan contoh soal pertidaksamaan pecahan

    Penyelesaian :

    -5 < x < atau x > 3

    Contoh Soal 2

    Tentukan penyelesaian dari:

    \frac \sqrt x^2 - x + 2  \sqrt x + 5  > 1″ class=”latex” /></p>
<p></p>
<p>Pembahasan 2:</p>
<p></p>
<p style=\frac \sqrt  x^2 - x + 2   \sqrt x + 5   \overset menjadi  \rightarrow  (\sqrt \frac x^2 - x + 2  x + 5  )^2 > 1^2 \overset menjadi  \rightarrow  \frac x^2 – x +2  x + 5  > 1″ class=”latex” /></p>
<p></p>
<p style=x^2 - x + 2 > x + 5 \overset menjadi  \rightarrow  x^2 – 2x – 3 > 0 \overset menjadi  \rightarrow  (x – 3)(x + 1) > 0″ class=”latex” /></p>
<p></p>
<p>Akar-akarnya:</p>
<p></p>
<p style=x_1 = -1 dan x_2 = 3

    Syarat yg mesti dipenuhi:

    x + 5 > 0 \rightarrow x_3 = -5″ class=”latex” /> & <img decoding= tak ada karena diskriminan < 0

    Garis Bilangannya:

    pembahasan contoh soal pertidaksamaan irrasional

    Penyelesaian:

    -5 < x < -1 atau x > 3

    Contoh Soal 3

    Tentukan penyelesaian dari:

    \arrowvert x - 3 \arrowvert^2 + 2 \arrowvert x - 3 \arrowvert - 15 < 0

    Pembahasan 3:

    Misalkan \arrowvert x - 3 \arrowvert = y,

    maka: y^2 + 2y - 15 > 0 \overset menjadi  \longrightarrow  (y – 3)(y +5) < 0

    Nilai mutlak:

    -5 < y < 3 \overset menjadi  \longrightarrow  -5 < \arrowvert x - 3 \arrowvert < 3

    Sehingga:

    • -5 < \arrowvert x - 3 \arrowvert , senantiasa benar untuk nilai x real
    • \arrowvert x - 3 \arrowvert < 3 \overset menjadi  \longrightarrow  -3 < x -3 < 3 \overset menjadi  \longrightarrow  0 < x < 6

    Penyelesaian:

    0 < x < 6

    Artikel: Irisan Kerucut
    Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
    Alumni Teknik Sipil FT UI

    Materi Wargamasyarakat.org lainnya:

    Pertidaksamaan adalah sebuah kalimat matematika yg mengandung notasi lebih kecil dr (<), lebih besar dr (>), lebih kecil dr atau sama dgn (\leq) , & notasi lebih besar dr atau sama dgn (\geq) . Penyelesaian dr pertidaksamaan menciptakan kalimat matematikanya menjadi benar.

    Pertidaksamaan Linier

    Pertidaksamaan linier merupakan bentuk pertidaksamaan yg memuat bentuk aljabar dgn ordo satu misal (x + 2) > 1″ class=”latex” />  atau <img decoding= . Dalam solusi petidaksamaan terdapat beberapa sifat-sifat pertidaksamaan yg perlu dimengerti. Sifat-sifat ini berlaku untuk semua jenis pertidaksaman (linier, kuadrat, pecahan, dll) yaitu: