Seperti halnya bilangan bulat, pada pecahan pula mampu dilaksanakan operasi perhitungan mirip penjumlahan, pengurangan, perkalian & pula pembagian. Tahukah kalian bagaimana operasi tersebut dikerjakan pada pecahan? Nah, pada kesempatan kali ini kita akan berguru mengenai operasi hitung perkalian & pembagian pecahan yg meliputi konsep, rumus, sifat, serta pola soal & pembahasannya. Untuk itu, silahkan kalian simak klarifikasi berikut.
Perkalian Pecahan
Secara garis besar, bentuk perkalian pecahan dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu perkalian pecahan biasa dgn dengan bilangan bundar, perkalian pecahan biasa dgn pecahan biasa & perkalian pecahan biasa dgn pecahan adonan. Namun bantu-membantu, desain perkalian ketiganya sama saja. Untuk lebih jelasnya, perhatikan klarifikasi berikut.
1. Perkalian Pecahan Biasa dgn Bilangan Bulat
Jika kita mengalikan bilangan 4 & 3, itu sama artinya dgn menjumlahkan bilangan 3 sebanyak 4 kali, yakni mirip berikut.
4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Selanjutnya, amati contoh berikut.
|
3
|
×
|
3
|
=
|
3
|
+
|
3
|
+
|
3
|
|
4
|
4
|
4
|
4
|
|
⇒
|
3 + 3 + 3
|
|
4
|
|
⇒
|
9
|
=
|
2
|
1
|
|
4
|
4
|
Atau mampu dinyatakan dlm bentuk diagram berikut ini.
Perhatikan kedua gambar di atas. Dari gambar tersebut dinyatakan dlm bentuk matematis ialah selaku berikut.
|
3
|
×
|
3
|
=
|
3
|
+
|
3
|
+
|
3
|
=
|
9
|
=
|
2
|
1
|
|
4
|
4
|
4
|
4
|
4
|
4
|
Dari klarifikasi di atas, mampu disimpulkan bahwa bentuk umum perkalian bilangan bundar & pecahan dinyatakan dgn rumus berikut.
|
a
|
×
|
b
|
=
|
a × b
|
|
c
|
c
|
Dengan a, b, & c yaitu bilangan lingkaran & c ≠ 0.
2. Perkalian Pecahan Biasa dgn Pecahan Biasa
Perhatikaan gambar di atas. DIketahui sebuah persegi yg sisinya 1 satuan dibagi menjadi 6 cuilan yg sama. Luas tempat yg diarsir adalah 1/6 dari luas tempat seluruh persegi. Secara matematis dinyatakan sebagai berikut.
|
1
|
×
|
1
|
=
|
1 × 1
|
=
|
1
|
|
2
|
3
|
2 × 3
|
6
|
Makara, dengan-cara matematis, bentuk lazim perkalian pecahan biasa dgn pecahan biasa dapat dinyatakan dlm bentuk rumus berikut.
|
a
|
×
|
c
|
=
|
a × c
|
=
|
ac
|
|
b
|
d
|
b × d
|
bd
|
Dengan a, b, c, & d bilangan lingkaran & b ≠ 0, d ≠0.
Contoh Soal:
Hitunglah hasil dr perkalian-perkalian pecahan berikut ini.
|
a.
|
2
|
×
|
4
|
|
5
|
7
|
|
b.
|
2
|
×
|
3
|
|
9
|
2
|
|
c.
|
5
|
×
|
7
|
|
8
|
9
|
Jawab:
|
a.
|
2
|
×
|
4
|
=
|
2 × 4
|
=
|
8
|
|
5
|
7
|
5 × 7
|
35
|
|
b.
|
2
|
×
|
3
|
=
|
2 × 3
|
=
|
6
|
=
|
1
|
|
9
|
2
|
9 × 2
|
18
|
3
|
|
c.
|
5
|
×
|
7
|
=
|
5 × 7
|
=
|
35
|
|
8
|
9
|
8 × 9
|
72
|
3. Perkalian Pecahan Biasa dgn Pecahan Campuran
Pada perkalian pecahan bila terdapat pecahan campuran, maka yg mesti dikerjakan terlebih dulu adalah mengubah bentuk pecahan campuran tersebut menjadi bentuk pecahan biasa. Jika kalian belum tahu bagaimana caranya mengubah pecahan adonan menjadi pecahan biasa atau sebaliknya, silahkan pelajari materi wacana Cara Mengubah Berbagai Macam Bentuk Pecahan. Sekarang coba kalian perhatikan teladan berikut.
Contoh Soal:
Hitunglah hasil dr perkalian-perkalian pecahan berikut ini.
|
a.
|
3
|
×
|
2
|
1
|
|
8
|
5
|
|
b.
|
5
|
1
|
×
|
7
|
2
|
|
2
|
3
|
|
c.
|
4
|
1
|
×
|
2
|
4
|
|
6
|
5
|
Jawab:
|
a.
|
3
|
×
|
2
|
1
|
=
|
3
|
×
|
11
|
=
|
33
|
|
8
|
5
|
8
|
5
|
40
|
|
b.
|
5
|
1
|
×
|
7
|
2
|
=
|
11
|
×
|
23
|
=
|
11 × 23
|
=
|
253
|
|
2
|
3
|
2
|
3
|
2 × 3
|
6
|
|
c.
|
4
|
1
|
×
|
2
|
4
|
=
|
25
|
×
|
14
|
=
|
5 × 7
|
=
|
35
|
=
|
11
|
2
|
|
6
|
5
|
6
|
5
|
3 × 1
|
3
|
3
|
Untuk perkalian pecahan-pecahan campuran berlaku hukum sebagai berikut.
|
p
|
a
|
×
|
q
|
c
|
=
|
p × b + a
|
×
|
q × d + c
|
|
b
|
d
|
b
|
d
|
Dengan p, q, a, b, c, d bilangan bulat & b, d ≠ 0.
Sifat-Sifat Perkalian pada Pecahan
Ingat kembali sifat-sifat yg berlaku pada perkalian bilangan bundar berikut.
|
Untuk setiap bilangan bundar a, b, & c berlaku:
|
|
|
1.
|
Sifat tertutup: a × b = c
|
|
2.
|
Sifat komutatif: a × b = b × a
|
|
3.
|
Sifat asosiatif: (a × b) × c = a × (b × c)
|
|
4.
|
Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
|
|
5.
|
Sifat distributif perkalian kepada penghematan:
a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
|
|
6.
|
Bilangan 1 adalah unsur identitasa pada perkalian:
a × 1 = 1 × a = a
|
Sifat-sifat tersebut pula berlaku pada perkalian bilangan pecahan.
Invers pada Perkalian Pecahan
Perhatikan perkalian bilangan pecahan berikut ini.
|
2
|
×
|
5
|
=
|
1
|
|
5
|
2
|
|
−
|
3
|
×
|
−
|
8
|
=
|
1
|
|
8
|
3
|
Pada perkalian-perkalian bilangan di atas, 2/5 adalah invers perkalian (kebalikan) dari 5/2. Sebaliknya, 5/2 yaitu invers perkalian (kebalikan) dari 2/5.
Dari uraian tersebut dapat dikatakan bahwa hasil kali suatu bilangan dgn invers (kebalikan) bilangan itu sama dgn 1. Seca umum dapat dituliskan selaku berikut.
|
■
|
Invers perkalian dr pecahan p/q yaitu q/p atau invers perkalian dari q/p adalah p/q. Dengan p & q ialah bilangan bulat yg tak sama dgn 0 (nol).
|
|
■
|
Suatu bilangan jikalau dikalikan dgn invers perkaliannya maka hasilnya sama dgn 1.
|
Pembagian Pecahan
Pembagian ialah operasi invers (kebalikan) dr perkalian. Jika kita membagi a dgn b sama artinya kita mengalikan a dengan 1/b. Ini memiliki arti 1/b adalah invers perkalian dr b.
Contoh:
3 : 2 sama artinya dgn 3 × 1/2 dan 4 : 2/3 sama artinya dgn 4 × 3/2. Bentuk umum operasi pembagian pecahan dinyatakan sebagai berikut.
|
a : b
|
=
|
a
|
×
|
1
|
|
b
|
Dengan a, b bilangan bundar & b ≠ 0.
1. Pembagian Pecahan dgn Bilangan Bulat
Misalkan terdapat suatu kudapan manis yg dibagi empat sama besar. Salah satu penggalan diberikan pada Yulisa. Oleh Yulisa kudapan manis bagiannya dibagi lagi menjadi dua sama besar sebab ia membuatkan kue tersebut dgn adiknya. Kue serpihan Yulisa sekarang yakni sebesar:
|
1
|
:
|
2
|
atau
|
1
|
×
|
1
|
=
|
1
|
|
4
|
4
|
2
|
8
|
Yulisa menerima kue bagiannya sebesar 1/8 kali dr kue mula-mula. Bentuk lazim pembagian pecahan dgn bilangan bundar dinyatakan selaku berikut.
|
a
|
:
|
c
|
=
|
a
|
×
|
1
|
=
|
a
|
|
b
|
b
|
c
|
b × c
|
Dengan a, b, c bilangan lingkaran & b, c ≠ 0.
Contoh Soal:
Hitunglah hasil dr pembagian antara bilangan lingkaran dgn pecahan berikut ini.
|
6
|
:
|
6
|
|
9
|
Jawab:
|
6
|
:
|
6
|
=
|
6
|
×
|
9
|
=
|
9
|
|
9
|
6
|
2. Pembagian Pecahan dgn Pecahan
Untuk pembagian pecahan dgn pecahan kita gunakan hukum invers perkalian selaku berikut.
Contoh:
|
a.
|
1
|
:
|
2
|
=
|
1
|
×
|
3
|
=
|
3
|
=
|
1
|
|
3
|
3
|
3
|
2
|
6
|
2
|
|
b.
|
2
|
:
|
3
|
=
|
2
|
×
|
5
|
=
|
10
|
=
|
2
|
|
5
|
5
|
5
|
3
|
15
|
3
|
Dari dua acuan di atas, maka bentuk biasa pembagian pecahan dgn pecahan dinyatakan selaku berikut.
|
a
|
:
|
c
|
=
|
a
|
×
|
d
|
=
|
a × d
|
|
b
|
d
|
b
|
c
|
b × c
|
Dengan a, b, c, & d bilangan bulat & b ≠ 0, c ≠0, d ≠ 0.
Contoh Soal:
Hitunglah hasil dr pembagian pecahan dgn pecahan berikut ini.
|
a.
|
3
|
:
|
4
|
|
5
|
15
|
|
b.
|
3
|
2
|
:
|
2
|
1
|
|
3
|
3
|
Jawab:
|
a.
|
3
|
:
|
4
|
=
|
3
|
×
|
15
|
=
|
3 × 3
|
=
|
9
|
|
5
|
15
|
5
|
4
|
1 × 4
|
4
|
|
b.
|
3
|
2
|
:
|
2
|
1
|
=
|
11
|
:
|
7
|
=
|
11
|
×
|
3
|
=
|
11
|
|
3
|
3
|
3
|
3
|
3
|
7
|
7
|
Soal Cerita:
Hasil kali dua bilangan sama dgn 39. Salah satu bilangan itu bernilai 41/3. Tentukanlah bilangan yang lain!
Penyelesaian:
Misalkan bilangan yg lainya ialah p.
Jadi 41/3 × p = 39
⇒ p = 39 : 41/3
⇒ p = 39 : 13/3
⇒ p = 39 × 3/13
⇒ p = 9
Jadi, bilangan yg kedua yakni 9.