Peluang, Permutasi, & Kombinasi

Daftar Isi

Kaidah pencacahan

Ada tiga metode dlm kaidah pencacahan:

Aturan Pengisian Tempat yg Tersedia

Untuk mengerti metode ini, kita mampu menjabarkannya menggunakan pasangan terurut. Jika suatu peristiwa pertama mampu terjadi dlm $n_1$ cara yg berbeda, insiden kedua dapat terjadi dlm cara yg berbeda, & seterusnya maka peristiwa-peristiwa itu dengan-cara berurutan mampu terjadi:

$n_1 \times n_2 \times n_3$ … cara yg berlawanan

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org yang lain:

Trigonometri

SPLDV & SPLTV

Sebagai gambaran: misalkan seorang pekerja memiliki 4 buah kemeja & 2 buah dasi yg masing-masing mempunyai warna yg berlawanan. Berapa pasangan warna kemeja & dasi yg mampu dibuat? Jika himpunan kemeja ialah k = ( $k_1, k_2, k_3, k_4$ ) = 4 buah & himpunan dasi yaitu d = ( $d_1, d_2$ ) = 2 buah. Sehingga mampu ditentukan bahwa:

$n_k \times n_d$ = 4 x 2 = 8 cara

Permutasi

Permutasi yaitu susunan berurutan dr semua atau sebagian elemen dr suatu himpunan. Dalam permutasi perlu diketahui apalagi dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan lingkaran dr 1 sampai n ialah n! (dibaca : n faktorial) atau :

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1$

Contoh, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . Untuk menuntaskan soal permutasi terdapat 4 metode yakni:

1. Permutasi dr elemen yg berlawanan

Permutasi elemen dr elemen yg ada (setiap elemen berlainan) ialah susunan elemen itu dlm suatu urutan yg diperhatikan. Jika , ( $r > n” class=”latex” />) permutasinya: <img decoding=$ .

Misalkan x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan x² – 3x – 4 = 0 dan x₁ > x₂.

Sehingga bila $n = r$ , permutasinya: $_nP_r = n!$ .

Sebagai ilustrasi: menyususn 3 elemen dr 3 aksara : a,b,c adalah a,b,c a,c,b b,c,a b,a,c c,a,b c,b,a dgn $_3P_3 = 3! = 6$ . Sedangkan menyusun 2 elemen dr 3 aksara ialah dengan . $_3P_2 = \frac 3! (3 - 2)! = 3! = 6$ .

2. Permutasi dgn Beberapa elemen yg sama

Setiap unsur yg digunakan tak boleh lebih dr satu kali. Banyak permutasi elemen n yg memuat elemen $n_1, n_2, n_3 \cdots, n_r,$ , dengan $n_1 + n_2 + n_3, \cdots n_r \le$ ialah:

$_nP(n_1,n_2,n_3, \cdots, n_r) = \frac n! n_1!,n_2!,\cdots,n_r!$

Sebagai ilustrasi: ada 3 bola basket & 2 bola kasti. Jumlah cara menyusunnya:

$p = \frac n! n_1!,n_2!,\cdots,n_r! = \frac 6! 3! 2! = \frac 6 \times 5 \times 4 \times 3! 3! \times (2 \times 1) = 60$ .

3. Permutasi siklis

Rumus permutasi siklis biasanya dipakai untuk menghitung banyak cara yg mampu dibentuk dr susunan melingkar. Rumusnya yakni

$P_(siklis) = (n - 1)!$

Sebagai gambaran: banyaknya cara 4 orang duduk melingkar dlm 1 meja yaitu

$P = (4 - 1)! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

4. Permutasi berulang

Permutasi berulang yakni permutasi yg dlm penyusunannya urutan diamati & suatu objek dapat diseleksi lebih dr sekali (berulang). Banyaknya permutasi ini ialah

$P_(berulang) = n^r$

Sedangkan untuk rumus permutasi yg tak boleh ditulis berulang ialah

$P_(tidak berulang)= \frac n! (n - r)!$

Yuk belajar materi ini juga:

Kapasitor

Reaksi Adisi Substitusi Eliminasi

Sintesis Protein

Kombinasi

Kombinasi adalah pengelompokan dr semua atau sebagian elemen dr suatu himpunan tanpa mengamati urutan susunan pemilihannya. Banyaknya kombinasi ialah :

$_nC_r = \frac n! r!(n - r)!$

Sebagai ilustrasi : variasi 2 elemen dr 3 abjad a,b,c yaitu ab, ac, bc . Sedangkan ba, ca, cb tak tergolong hitungan karena pada variasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak variasi ialah :

$_3C_2 = \frac 3! 2! (3 - 2)! = \frac 3! 2! = \frac 3 \times 2 \times 1 2 \times 1 = 3$

Binom Newton

Binom Newton berafiliasi dgn bentuk $(a + b)^2$ . Dimana suku ke-r dr bentuk tersebut adalah :

Suku ke – r = $_nC_ r-1 \times a^ n-r+1 \times b^ r-1$

Sebagai gambaran: koefisien $x^ 27$ dr $(x^2 + 2x)^ 15$ yaitu:

$_nC_ r - 1 x a^ n - r + 1 x b^ r - 1 = _ 15 C_ r - 1 x (x^2)^ 15 - r + 1 x (2x)^ r - 1$

$= _ 15 C_ r - 1 x (x^ 30 - 2r + 2 ) x (2x)^ r - 1$

Agar x berpangkat 27 dibentuk:

$27 = (30 - 2r - 2) +(r - 1)\overset maka \rightarrow r = 4$

Sehingga:

suku ke – 4 = $_ 15 C_ r - 1 x (x^ 30 - 2r + 2 ) x (2x)^ r - 1 = _ 15 C_3 x (x^ 30 -8 +2 ) x (2x)^ 4 - 1$ .

$_ 15 C_3 . x^ 24 8x^3 = _ 15 C_3 . 8x^ 27 = \frac 15! 12!3! 8x^ 27 = 3640x^ 27$ .

Koefisiennya: 3640

Peluang Suatu Kejadian

Peluang atau probabilitas yaitu kemungkinan sebuah insiden mampu terjadi. Percobaan merupakan suatu proses yg dilaksanakan untuk kemudian menemukan suatu hasil pengukuran, perhitungan, ataupun observasi. Himpunan dr semua hasil yg mungkin dr suatu percobaan disebut ruang sampel (S). Sehingga kejadian atau kejadian merupakan himpunan pecahan dr ruang sampel atau bagian dr hasil percobaan yg diharapkan.

Nilai probalitas antara 0 – 1. Kejadian yg mempunyai nilai probabilitas 0 ialah insiden yg mustahil terjadi atau tak mungkin terjadi. Sedangkan insiden yg mempunyai nilai probalilitas 1 yakni kejadian yg niscaya terjadi atau insiden yg telah terjadi.

Peluang atau probabilitas suatu kejadian A mampu terjadi dgn k & mungkin hasil terjadi m cara selaku :

$P(A) = \frac k m$

Frekuensi cita-cita suatu kejadian ialah hasil kali banyaknya percobaan dgn kesempatan kejadian yg akan terjadi dlm suatu percobaan atau:

$f_n(E) = n \cdot P(A)$

Yuk mencar ilmu materi ini juga:

Konjungsi Temporal & Kausalitas

Discussion Text

Senyawa Karbon

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang Gabungan Dua Kejadian

Dua buah peristiwa A & B dikatakan gabungan dua insiden jika peristiwa A & B insiden mampu terjadi bersamaan sehingga $A\cap B\neq \O$ dan menghasilkan rumus:

peluang kejadian majemuk

Peluang Gabungan Dua Kejadian yg Saling Lepas

Dua buah kejadian A & B dikatakan adonan dua insiden saling lepas jikalau insiden A & B tak mungkin terjadi bersama-sama. Sehingga $A\cap B$ dan menciptakan rumus:

peluang gabungan saling lepas

Peluang Komplemen suatu Kejadian

Kejadian merupakan embel-embel/ kebalikan A sehingga A danA’ merupakan kejadian saling lepas, maka $A\cap A' = \O$ . Sehingga menghasilkan rumus:

materi permutasi kombinasi komplemen

Peluang Kejadian Bersyarat

Dua kejadian disebut peristiwa bersyarat kalau munculnya kejadian pertama A menghipnotis kesempatan hadirnya insiden kedua B. Maka potensi terjadinya peristiwa B yg dipengaruhi oleh kejadian A ditulis dengan $P(B\mid A)$ . Bila $P(A\cap B)$ yakni kesempatan terjadinya A & B , maka

$P(B\mid A) = \frac P(A\cap B) P(A)$

Contoh Soal Peluang & Pembahasan

Contoh Soal 1

Dalam suatu kotak berisi 7 bola merah & 5 bola putih. Dari kota itu diambil 3 bola sekaligus. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 bola putih ialah

Pembahasan 1:

Karena mesti terambil sekurang-kurangnya 1 bola putih maka kesempatan tak terambilnya bola putih tak tergolong itungan sehingga:

$P = 1 - P(O) = 1 - \frac _7C_3 \times _5C_0 _ 12 C_3$

$P = 1 - \frac \frac 7 \times 6 \times 5 \times 4! 3!(7 - 3)! \times \frac 5! 0!(5 - 0)! \frac 12 \times 11 \times 10 \times 9! 3!(12 - 3)!$

$P = 1 - \frac 35 \times 1 220 = \frac 37 44$

Contoh Soal 2

Tentukanlah nilai n yg memenuhi persamaan

Pembahasan 2:

$3 \cdot \frac (n + 1)! 3!(n + 1 - 3)! = 7 \cdot \frac n! 2!(n - 2)!$

$3 \cdot \frac (n - 1)n (n - 1)(n - 2)! (3.2.1)(n - 2)! = 7 \cdot \frac n(n - 1)(n - 2)! 2 . 1(n -2)!$

$3 \cdot \frac (n + 1)n (n - 1) 3.2.1 = \frac 7 \cdot n(n - 1) 2.1$

$\frac 3 . 2 . 1 (n + 1)n(n - 1) 3 . 2 . 1 n(n - 1) = 7$

$(n + 1) 7\overset sehingga \rightarrow n = 6$

Contoh Soal 3

Berapa banyak urutan yg mampu terjadi jikalau 5 bendera yg berwarna putih, merah, hijau, kuning, & biru dipancang pada tiang-tiang dlm satu baris, dgn bendera putih senantiasa berada di salah satu ujung.

Pembahasan 3:

Karena bendera putih dipancang dlm salah satu ujung maka dgn 2 cara, sisa 4 bendera dapat dikelola dlm $_4P_4$ cara, sehingga: