Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membicarakan perpangkatan pada kepingan dgn pangkat bilangan lingkaran kasatmata. Di kelas IX nanti kalian akan mempelajari perpangkatan pada cuilan dgn pangkat bilangan lingkaran negatif & nol. Dalam postingan sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa pada bilangan bulat berpangkat bilangan lingkaran positif berlaku:
|
an
|
=
|
a × a × a × … × a,
|
untuk setiap bilangan lingkaran a
|
|
n faktor
|
|
Dengan kata lain, perpangkatan merupakan perkalian berulang dgn bilangan yg sama. Definisi tersebut pula berlaku pada bilanga bagian berpangkat. Perhatikanlah uraian berikut ini.
|
|
1
|
|
1
|
=
|
1
|
|
2
|
2
|
|
|
1
|
|
2
|
=
|
1
|
×
|
1
|
=
|
1
|
=
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
22
|
4
|
|
|
1
|
|
3
|
=
|
1
|
×
|
1
|
×
|
1
|
=
|
1
|
=
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
2
|
23
|
8
|
|
|
1
|
|
n
|
=
|
1
|
×
|
1
|
×
|
…
|
×
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
2
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n faktor
|
||||||
Dari uraian di atas, dengan-cara umum mampu dituliskan sebagai berikut.
Untuk sebarang bilangan bundar p & q dgn q ≠ 0 & m bilangan bundar faktual berlaku:
|
|
|
p
|
|
m
|
=
|
p
|
×
|
p
|
×
|
…
|
×
|
p
|
|
|
|
q
|
q
|
q
|
q
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m aspek
|
|||||||
Dalam hal ini, bilangan serpihan p/q disebut bilangan pokok.
Contoh 1:
Tentukan hasil operasi hitung cuilan berikut.
|
−
|
2
|
|
2
|
|
3
|
Jawab:
|
−
|
2
|
|
2
|
=
|
−
|
2
|
×
|
−
|
2
|
=
|
(−2) × (−2)
|
=
|
4
|
|
3
|
3
|
3
|
3 × 3
|
9
|
Contoh 2:
Tentukan hasil operasi hitung penggalan berikut.
|
|
3
|
|
3
|
|
4
|
Jawab:
|
|
3
|
|
3
|
=
|
3
|
×
|
3
|
×
|
3
|
=
|
3 × 3 × 3
|
=
|
27
|
|
4
|
4
|
4
|
4
|
4 × 4 × 4
|
64
|
Sifat-Sifat Bilangan Pecahan Berpangkat
Coba kalian ingat kembali sifat-sifat pada bilangan lingkaran berpangkat bilangan bulat faktual. Sifat-sifat tersebut pula berlaku pada bilangan belahan berpangkat sebagai berikut.
Untuk sebarang bilangan bulat p, q dgn q ≠ 0 & m, n bilangan bundar konkret berlaku sifat-sifat berikut.
|
|
P
|
|
m
|
=
|
pm
|
|
q
|
qm
|
|
|
P
|
|
m
|
×
|
|
|
P
|
|
n
|
=
|
|
|
P
|
|
m + n
|
|
q
|
q
|
q
|
|
|
P
|
|
m
|
:
|
|
|
P
|
|
n
|
=
|
|
|
P
|
|
m − n
|
|
q
|
q
|
q
|
|
|
|
|
|
|
n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P
|
|
m
|
=
|
|
P
|
|
m × n
|
||
|
|
q
|
q
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Contoh 3:
Tentukan nilai perpangkatan berikut.
|
|
2
|
|
5
|
:
|
|
|
2
|
|
2
|
|
3
|
3
|
Jawab:
|
|
2
|
|
5
|
:
|
|
|
2
|
|
2
|
=
|
|
|
2
|
|
5 − 2
|
|
3
|
3
|
3
|
|
|
2
|
|
3
|
=
|
2
|
×
|
2
|
×
|
2
|
=
|
8
|
|
3
|
3
|
3
|
3
|
27
|
Contoh 4:
Tentukan nilai perpangkatan berikut.
|
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
3
|
|
2
|
|
|
|
5
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
|
2
|
=
|
|
3
|
|
2 × 3
|
||
|
|
5
|
5
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
|
6
|
=
|
729
|
|
5
|
15.625
|
Contoh Soal & Pembahasan
1) Tentukanlah hasil perpangkatan pecahan berikut ini.
|
2
|
1
|
|
3
|
|
2
|
Jawab:
Untuk perpangkatan serpihan gabungan, terlebih bentuk potongan adonan diubah menjadi bentuk cuilan biasa.
|
2
|
1
|
|
3
|
=
|
|
|
5
|
|
3
|
|
2
|
2
|
|
|
5
|
|
3
|
=
|
53
|
=
|
125
|
=
|
15
|
5
|
|
2
|
23
|
8
|
8
|
2) Tentukanlah nilai pemangkatan berikut ini.
|
|
2
|
|
3
|
×
|
|
|
2
|
|
2
|
|
5
|
5
|
Jawab:
|
|
2
|
|
3
|
×
|
|
|
2
|
|
2
|
=
|
|
|
2
|
|
5 + 2
|
|
5
|
5
|
5
|
|
|
2
|
|
7
|
=
|
27
|
=
|
128
|
|
5
|
57
|
78.125
|
3) Hitunglah!
|
|
1
|
|
3
|
+
|
|
|
3
|
|
2
|
|
2
|
4
|
Jawab:
Sebelum dijumlahkan, masing-masing bagian dipangkatkan terlebih dahulu, yakni selaku berikut.
|
|
1
|
|
3
|
=
|
13
|
=
|
1
|
|
2
|
23
|
8
|
|
|
3
|
|
2
|
=
|
32
|
=
|
9
|
|
4
|
42
|
16
|
Maka, hasil penjumlahannya adalah sebagai berikut.
|
|
1
|
+
|
9
|
=
|
2 + 9
|
=
|
11
|
|
8
|
16
|
16
|
16
|
4) Hitunglah nilai n dari:
|
|
2
|
|
n
|
=
|
16
|
|
3
|
81
|
Jawab:
|
|
2
|
|
n
|
=
|
24
|
|
3
|
34
|
|
|
2
|
|
n
|
+
|
|
|
2
|
|
4
|
|
3
|
3
|
Makara nilai n = 4.
5) Sebuah bola dipantulkan dr lantai. Pantulan pertama 21/2 m. Tinggi pantulan selanjutnya ditetapkan 2/3 kali pantulan sebelumnya. Hitunglah berapa meter panjangnya dr pantulan pertama sampai pantulan keempat.
Jawab:
Pantulan pertama: 21/2
Pantulan pertama: 21/2
Pantulan kedua: 2/3 × pantulan pertama = 2/3 × 21/2
Pantulan ketiga: 2/3 × pantulan kedua = 2/3 × (2/3 × 21/2)
Pantulan keempat: 2/3 × pantulan ketiga = 2/3 × (2/3 × 2/3 × 21/2)
Maka panjang pantulan pertama hingga pantulan keempat adalah selaku berikut.
Jumlah pantulan = pantulan pertama + kedua + ketiga + keempat
Jumlah pantulan = (21/2) + (2/3 × 21/2) + (2/3 × 2/3 × 21/2) + (2/3 × 2/3 × 2/3 × 21/2)
Jumlah pantulan = (21/2) + (2/3 × 21/2) + (2/3)2 × 21/2) + (2/3)3 × 21/2)
Jumlah pantulan = 21/2 1 + 2/3 + (2/3)2 + (2/3)3
Jumlah pantulan = 21/2 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27
Jumlah pantulan = 21/2 27/27 + 18/27 + 12/27 + 8/27
Jumlah pantulan = 21/2(65/27)
Jumlah pantulan = 5/2 × 65/27
Jumlah pantulan = 325/54
Jumlah pantulan = 61/54
Makara, panjang pantulan dr pantulan pertama hingga pantulan keempat ialah 61/54 meter.