Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Sinus, Kosinus dan Tangen)

Dalam kesempatan ini akan dibahas ihwal persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri merupakan bentuk-bentuk trigonometri yg mengandung variabel di dalamnya & menampung tanda sama dengan. Tujuan dr persamaan trigonometri yakni memilih penyelesaian (mencari nilai variabel) sehingga dgn nilai tersebut maka persamaan trigonometri menjadi benar.

Perhatikan bentuk-bentuk persamaan trigonometri berikut.

Misalkan variabelnya ialah x.

1. sin 2x = sin 60^o

2. cos (3x + 45^o)= cos 60^o

3. sin (2x + 30^o) = 0,5

4. tan (0,5x + 20^o) = tan 120^o

5. cos (4x + 60^o)= 1/2 V3

6. tan (3x – 30) – 1/2 = 0

7. sin² x + 2 sin x – 3 = 0

8. (1 – cos 2x) + sin x – 1 = 0

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang persamaan trigonometri Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Sinus, Kosinus & Tangen)

1. Bentuk sin x = sin a & sin x = p

Jika dipunyai persamaan sin x = sin a, maka penyelesaiannya yakni:

(i) x = a + k.360^o

(ii) x = (180^o – a) + k.360^o

dengan k bilangan bulat

Perhatikan pola berikut.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri sin 2x = sin 60^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

Jawaban:

sin 2x = sin 60^o

(i) 2x = 60^o + k.360^o

x = 30^o + k.180^o

Untuk k = 0, maka x = 30^o

k = 1, maka x = 210^o

(ii) 2x = (180^o – 60^o) + k.360^o

x = 120^o + k.360^o

x = 60^o + k.180^o

Untuk k = 0, maka x = 60^o

k = 1, maka x = 240^o

Kaprikornus, himpunan penyelesaiannya yakni 30^o, 60^o, 210^o, 240^o

2. Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri sin (2x + 40^o) = sin 50^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

Jawaban:

sin (2x + 40^o) = sin 50^o

(i) 2x + 40^o = 50^o + k.360^o

2x = (50^o – 40^o) + k.360^o

2x = 10^o + k.360^o

x = 5^o + k.180^o

Untuk k = 0, maka x = 5^o

k = 1, maka x = 185^o

(ii) 2x + 40^o = (180^o – 50^o) + k.360^o

2x = (30^o – 40^o) + k.360^o

2x = -10^o + k.360^o

x = -5^o + k.180^o

Untuk k = 0, maka x = -5^o

k = 1, maka x = 175^o

k = 2, maka x = 355^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu 5^o, 175^o, 185^o, 355^o .

3. Tentukan himpunan solusi dr persamaan trigonometri sin (3x + 45^o) = 1, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

Jawaban:

sin (3x + 45^o) = 1

sin (3x + 45^o) = sin 90

(i) 3x + 45^o = 90^o + k.360^o

3x = (90^o – 45^o) + k.360^o

3x = 45^o + k.360^o

x = 15^o + k.120^o

Untuk k = 0, maka x = 15^o

k = 1, maka x = 135^o

k = 2, maka x = 255^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu 15^o, 135^o, 255^o .

2. Bentuk cos x = cos a & cos x = p

Jika dipunyai persamaan cos x = cos a, maka penyelesaiannya yaitu:

(i) x = a + k.360^o

(ii) x = –a + k.360^o

dengan k bilangan bulat

Perhatikan teladan berikut.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri cos 3x = cos 60^o , untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

Jawaban:

cos 3x = cos 60^o

(i) 3x = 60^o + k.360^o

x = 20^o + k.120^o

Untuk k = 0, maka x = 20^o

k = 1, maka x = 140^o

k = 2, maka x = 260^o

(ii) 3x = -60^o + k.360^o

x = -20^o + k.120^o

Untuk k = 0, maka x = -20^o

k = 1, maka x = 100^o

k = 2, maka x = 220^o

k = 3, maka x = 340^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni 20^o, 100^o, 140^o, 220^o, 260^o, 340^o

2. Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri cos (2x – 30^o) = cos 80^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

Jawaban:

cos (2x – 30^o) = cos 80^o

(i) 2x – 30^o = 80^o + k.360^o

2x = (80^o + 30^o) + k.360^o

2x = 110^o + k.360^o

x = 55^o + k.180^o

Untuk k = 0, maka x = 55^o

k = 1, maka x = 235^o

(ii) 2x – 30^o = -80^o + k.360^o

2x = (-80^o + 30^o) + k.360^o

2x = -50^o + k.360^o

x = -25^o + k.180^o

Untuk k = 0, maka x = -25^o

k = 1, maka x = 155^o

k = 2, maka x = 335^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah 55^o, 155^o, 235^o, 335^o .

Teorema Sisa : Pembagian Suku Banyak oleh Suku Berderajat Dua (Kuadrat)

3. Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri cos (3x – 45^o) = 1/2, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

Jawaban:

cos (3x – 45^o) = 1/2

cos (3x – 45^o) = cos 60^o

(i) 3x – 45^o = 60^o + k.360^o

3x = (60^o + 45^o) + k.360^o

3x = 105^o + k.360^o

x = 35^o + k.120^o

Untuk k = 0, maka x = 35^o

k = 1, maka x = 155^o

k = 2, maka x = 275^o

(ii) 3x – 45^o = -60^o + k.360^o

3x = (-60^o + 45^o) + k.360^o

3x = -15^o + k.360^o

x = -5^o + k.120^o

Untuk k = 0, maka x = -5^o

k = 1, maka x = 115^o

k = 2, maka x = 235^o

k = 3, maka x = 355^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni 35^o, 115^o, 135^o, 235^o, 275^o, 355^o .

3. Bentuk tan x = tan a & tan x = p

Jika dipunyai persamaan tan x = tan a, maka penyelesaiannya adalah:

(i) x = a + k.180^o

dengan k bilangan bundar

Perhatikan acuan berikut.

1. Tentukan himpunan solusi dr persamaan trigonometri tan 3x = tan 48^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

Jawaban:

tan 3x = tan 48^o

(i) 3x = 48^o + k.180^o

x = 16^o + k.60^o

Untuk k = 0, maka x = 16^o

k = 1, maka x = 76^o

k = 2, maka x = 136^o

k = 3, maka x = 196^o

k = 4, maka x = 256^o

k = 5, maka x = 316^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah 16^o, 76^o, 136^o, 196^o, 256^o, 316^o .

2. Tentukan himpunan solusi dr persamaan trigonometri tan (2x – 40^o)= tan 60^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

Jawaban:

tan (2x – 40^o)= tan 60^o

(i) 2x – 40^o = 60^o + k.180^o

2x = (60^o + 40^o)+ k.180^o

2x = 100^o + k.180^o

x = 50^o + k.90^o

Untuk k = 0, maka x = 50^o

k = 1, maka x = 140^o

k = 2, maka x = 230^o

k = 3, maka x = 320^o

Kaprikornus, himpunan penyelesaiannya ialah 50^o, 140^o, 230^o, 320^o .

3. Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri tan (3x + 15^o) = 1, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

Jawaban:

tan (3x + 15^o) = 1

tan (3x + 15^o) = tan 45^o

(i) 3x + 15^o = 45^o + k.180^o

3x = (45^o – 15^o)+ k.180^o

3x = 30^o + k.180^o

x = 10^o + k.60^o

Untuk k = 0, maka x = 10^o

k = 1, maka x = 70^o

k = 2, maka x = 130^o

k = 3, maka x = 190^o

k = 4, maka x = 250^o

k = 5, maka x = 310^o

Makara, himpunan penyelesaiannya yakni 10^o, 70^o, 130^o, 190^o, 250^o, 310^o .

Langkah-langkah penyelesaian di atas merupakan dasar-dasar dlm menyelesaikan persamaan trigonometri. Perlu diketahui bahwa persamaan trigonometri bukan cuma berupa seperti di atas, melainkan masih banyak bentuk yg yang lain. Baik itu yg berbentuk kuadrat, atau bentuk penggalan.

Untuk itu, tanamkan pemahaman langkah-langkah menyelesaikan persamaan trigonometri di atas. Jika ananda menguasai cara tersebut, maka solusi persamaan trigonometri bentuk lain akan gampang dituntaskan.

Cara Menentukan atau Menemukan Rumus Barisan Bilangan Bertingkat

Materi Terkait
Menyelesaikan Trigonometri Sudut Ganda & Trigonoometri Setengah Sudut