Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

by

Kali ini kita akan membahas tentang akar-akar suku banyak (polinomial), terutama jumlah & hasil kali akar-akar pada suku banyak (polinomial). Secara umum persamanan suku banyak berderajat n ditulis:
P(x) = 0, atau
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . . + a1x1 + ao = 0.
Misalkan terdapat sebuah suku banyak (polinomial) P(x) dgn bentuk  P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . . + a1x1 + ao, (x – k) yakni aspek dr P(x) kalau k adalah akar  atau penyelesaian dr persamaan P(k) = 0.
Teorema:
Jika suku banyak P(x) berderajat n, maka persamaan polinomial P(x) mempunyai maksimum n buah akar atau solusi.
Seperti pada persamaan kuadrat, pada suku banyak berderajat n pula terdapat permasalahan ihwal jumlah/selisih & hasil kali akar-akar persamaan.
Berikut korelasi antara jumlah & hasil kali akar-akar persamaan pada suku banyak (polinomial).
A. Persamaan Suku Banyak Berderajat Dua
Jika x1 & x2 yaitu akar-akar dr persamaan ax2 + bx + c, maka diperoleh bentuk persamaan:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), atau dgn membagi kedua ruas diperoleh:

Kali ini kita akan membahas tentang akar Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah & Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

B. Persamaan Suku Banyak (Polinomial) Berderajat Tiga
Jika x1 , x2, & x3 ialah akar-akar dr persamaan ax3 + bx2 + cx + d, maka diperoleh bentuk persamaan:
ax3 + bx2 + cx + d  = a(x – x1)(x – x2)(x – x3), atau dgn membagi kedua ruas diperoleh:

Kali ini kita akan membahas tentang akar Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah & Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

  Cara Menentukan Titik Balik Maksimum dan Minimum Grafik Fungsi Trigonometri Menggunakan Turunan Fungsi

C. Persamaan Suku Banyak (Polinomial) Berderajat Empat
Jika x1 , x2, x3, & x4 yaitu akar-akar dr persamaan ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, maka diperoleh bentuk persamaan:
ax3 + bx2 + cx + d  = a(x – x1)(x – x2)(x – x3)(x – x4), atau dgn membagi kedua ruas diperoleh:

Kali ini kita akan membahas tentang akar Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah & Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

Untuk lebih jelasnya menggunakan rumus-rumus di atas, perhatikan beberapa contoh soal berikut.
Contoh Soal 1
Diketahui suku banyak  x3 + 3x2 – 12x + 18 memiliki akar x1, x2, & x3.
Tentukan nilai :

Kali ini kita akan membahas tentang akar Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah & Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

a.   (x1 + x2 + x3)2 =  x12 + x22 + x32 + 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
      x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
    x12 + x22 + x32 = (-3)2 – 2(-12)
                         = 9 + 24
                         = 33
    Jadi, nilai dr x12 + x22 + x32 = 34.

Kali ini kita akan membahas tentang akar Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah & Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

Contoh Soal 2
Diketahui suku banyak  x4 – 3x3 + mx2 + nx – 12 memiliki akar x1, x2, x3, & x4. Jika pasangan dua akar pertama saling bertentangan & akar yg ketiga yakni dua kali akar keempat. Tentukan nilai m & n.
Penyelesaian:
x4 – 3x3 + mx2 + nx – 12 mempunyai akar x1, x2, x3, & x4
Diperoleh nilai a = 1, b = -3, c = m, d = n, & e = -12.
Diketahui :
Pasangan dua akar pertama saling bertentangan, berarti x1 = – x2. Dengan demikian x1 + x2 = 0.
Akar yg ketiga ialah dua kali akar keempat, mempunyai arti x3 = 2x4.
Gunakan hasil penjumlahan akar.

Kali ini kita akan membahas tentang akar Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah & Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

  Cara Menentukan Nilai Diskriminan Pada Persamaan Kuadrat

Gunakan akar-akar ini untuk memilih nilai m & n.
P(x) = x4 – 3x3 + mx2 + nx – 12
x = 1 & x = 2 merupakan akar-akar, sehingga P(1) = 0 & P(2) = 0.
P(1) = 0
(1)4 – 3(1)3 + m(1)2 + n(1) – 12 = 0
                  1 – 3 + m + n – 12 = 0
                                   m + n = 14    …(1)
P(2) = 0
(2)4 – 3(2)3 + m(2)2 + n(2) – 12 = 0
            16 – 24 + 4m + 2n – 12 = 0
                         4m + 2n – 20 = 0
                                4m + 2n = 20
                                  2m + n = 10    …(2)
Gunakan substitusi
  m + n = 14
2m + n = 10 –
-m = 4, sehingga nilai m = -4.
Akhirnya diperoleh nilai n = 18.
Jadi, nilai m & n berturut-turut -4 & 18.
Demikianlah bahan wacana permasalahan jumlah & hasil kali akar-akar pada suku banyak. 
Semoga berguna.

Artikel Terkait

Menggunakan Teorema Sisa Dalam Pembagian Suku Banyak

Menentukan Hasil Bagi & Sisa Pembagian pada Suku Banyak dgn Cara Horner

Teorema Sisa : Pembagian Suku Banyak oleh Suku Berderajat Dua (Kuadrat)