Matriks Dasar – Pengertian, Jenis, Transpose, dsb

Pengertian Matriks

Matriks yaitu kumpulan bilangan yg disusun dengan-cara baris atau kolom atau kedua-duanya & di dlm suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yg membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks dipakai untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk dimasak.

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org yang lain:

Vektor

Transformasi Geometri

Sebagai pola:

Diketahui jumlah pemasaran kendaraan beroda empat jenis A, B, & C, dgn harga jual masing-masing 146, 275, & 528 (dalam juta) pada kota-kota P, Q, R, yakni :

JENIS MOBIL HARGA MOBIL (JUTA) JUMLAH PENJUALAN TIAP KOTA (UNIT)
KOTA P KOTA Q KOTA R
A 146 34 56 41
B 275 45 36 37
C 528 51 32 46

Data penjualan mobil tersebut dapat dibuat dlm bentuk matriks selaku berikut :

  • Matriks harga mobil yakni \begin pmatrix  146 \\ 275 \\ 528 \end pmatrix
  • Matriks jumlah penjualan yaitu \begin pmatrix  34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end pmatrix

Lebih sederhana bukan?

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dr bagian-bagian yg tersusun dengan-cara baris & kolom. Jika banyak baris suatu matriks yakni m, & banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut mempunyai ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu dikenang bahwa m & n cuma suatu notasi, sehingga tak boleh dijalankan sebuah perkiraan (penjumlahan, perkalian). Pada teladan matriks jumlah penjualan mobil diatas dikenali bahwa:

pengertian & ordo matriks

  • Banyak baris, m = 3
  • Banyak kolom, n = 3
  • Ordo matriks,  m x n = 3 x 3

Penamaan/notasi matriks menggunakan karakter kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dgn aksara kecil sesuai dgn penamaan matriks & diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yakni pada baris i & kolom j. Sebagai acuan, matriks sebelumnya untuk pemasaran kendaraan beroda empat:

E = \begin pmatrix  e_ 11  & e_ 12  & e_ 13  \\ e_ 21  & e_ 22  & e_ 23  \\ e_ 31  & e_ 32  & e_ 33  \end pmatrix  = \begin pmatrix  34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end pmatrix

Dimana, e_ 12  = 56 adalah elemen matriks yg berada pada baris ke-1 (i = 1) & kolom ke-2 (j = 2). Begitu pula dgn elemen matriks yg lainnya.

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama & diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dgn  yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dr garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut:

E = \begin pmatrix  34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end pmatrix

Diagonal utama yaitu elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

Matriks diagonal dgn elemen-elemen diagonal terutama bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada biasanya matriks identitas dinotasikan dgn “I”. Contoh:

A = \begin pmatrix  1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end pmatrix  atau B = \begin pmatrix  1 & 0 \\ 0 & 1 \end pmatrix

Jenis-jenis Matriks

Matriks mampu dikelompokan ke berbagai jenis menurut pada jumalah baris & kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris & Matriks Kolom

Matriks baris yaitu suatu matriks yg hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom yakni suatu matriks yg cuma mempunyai satu kolom saja. Contoh:

A = (1  4) atau B = (3  7  9) yakni matriks baris

\begin pmatrix  146 \\ 275 \\ 528 \end pmatrix  atau D = \begin pmatrix  p \\ q \end pmatrix  adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yg memiliki jumlah kolom & baris yg sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

A = \begin pmatrix  34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end pmatrix  adalah matriks persegi berordo 3, atau

B = \begin pmatrix  1 & 2 \\ 3 & 4 \end pmatrix  adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas & Segitiga Bawah

Matriks persegi A yg memiliki elemen matriks a_ ij  = 0 untuk i > j” class=”latex” /> atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yg mempunyai elemen matiks <img decoding= untuk i < j atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

A = \begin pmatrix  1 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end pmatrix  ialah matriks segitiga atas,

B = \begin pmatrix  1 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \\ 4 & 6 & 4 \end pmatrix  yakni matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yg mempunyai elemen matiks a_ ij  = 0 untuk i \neq j atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

A = \begin pmatrix  1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end pmatrix atau B = \begin pmatrix  1 & 0 \\ 0 & 4 \end pmatrix

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yg memiliki elemen-elemen pada diagonal terutama bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

A = \begin pmatrix  3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end pmatrix  atau B = \begin pmatrix  4 & 0 \\ 0 & 4 \end pmatrix

6. Matriks Indentitas

Sudah diterangkan di atas.

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yg memiliki elemen matiks baris ke-I sama dgn elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dibilang elemen a_ ij  sama dgn elemen a_ ji .

Contoh:

\begin pmatrix  1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 7 \end pmatrix

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dgn kolom ke-1, baris ke-2 sama dgn kolom ke-2, & baris ke-3 sama dgn kolom ke-3.

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom & sebaliknya. Transpose matriks dr A_ m x n adalah suatu matriks dgn ukuran (n x m) & bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, & begitu seterusnya.

Contoh:

\begin pmatrix  1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end pmatrix ditranspose menjadi \begin pmatrix  1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end pmatrix .

Sifat dr transpose matriks: (A^T)^T = A.

Contoh Soal & Pembahasan

Jika A = \begin pmatrix  \frac 1  2 a & 2 \\ b & \frac 3  2 c \end pmatrix & Jika B = \begin pmatrix  2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end pmatrix , maka biar A = B^T, berapakah nilai c?

Pembahasan:

Diketahui bahwa A = B^T

\begin pmatrix  \frac 1  2 a & 2 \\ b & \frac 3  2 c \end pmatrix  = \begin pmatrix  2c-3b & 2 \\ a & b+7 \end pmatrix ^T

\begin pmatrix  \frac 1  2 a & 2 \\ b & \frac 3  2 c \end pmatrix  = \begin pmatrix  2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end pmatrix

Sehingga didapat 4 persamaan gres dr elemen-elemen matriksnya, yaitu:

  • \frac 1  2 a = 2c - 3b     (persamaan ke-1)
  • 2 = a     (persamaan ke-2)
  • b = 2a + 1     (persamaan ke-3)
  • \frac 3  2 c = b + 7     (persamaan ke-4)

Dari persamaan tersebut dapat dilakukan substitusi persamaan untuk menemukan nilai c, yakni:

a = 2, maka:

b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5

dan

\frac 3  2 c = b + 7

c = \frac 2  3 (b + 7) = \frac 2  3 (5 + 7) = 8.

Artikel: Pengertian Matriks, Ordo, Jenis, & Transpose Matriks

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi Wargamasyarakat.org lainnya:

  1. Permutasi & Kombinasi
  2. Program Linear
  3. Sistem Persamaan Linear

  Soal Cobaan Nasional Sma Matematika Matriks Dan Deret Beserta Penyelesaiannya