Untuk menentukan posisi garis pada parabola, hal yang perlu diamati ialah nilai diskriminan (D) = b² – 4ac, yakni:
1. Garis dan parabola berpotongan pada dua titik berlawanan.
Syarat: D > 0
2. Garis dan parabola bersinggungan.
Syarat: D = 0
3. Garis dan parabola tidak berpotongan atau bersentuhan.
Syarat: D < 0
Untuk lebih jelasnya, simak kumpulan soal korelasi parabola dan garis berikut.
Soal dan Pembahasan Hubungan Parabola dan Garis
Soal 1 (SPMB 2006)
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) dan menyinggung garis y = 2x + 1 ialah …..
A. 4y – 2x² + 2x = 0
B. 2y + x² – 3x = 0
C. 4y + x² – 4x = 0
D. 2y – 2x² + 3x = 0
E. 2y – x² + 2x = 0
Pembahasan:
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) : y₁ = a(x – 2)² + 1
Persamaan garis : y₂ = 2x + 1
Karena saling bersentuhan, maka y₁ = y₂.
a(x – 2)² + 1 = 2x + 1
a(x² – 4x + 4) + 1 = 2x + 1
ax² – 4ax + 4a + 1 = 2x + 1
ax² – 4ax -2x + 4a = 1 – 1
ax² – (4a + 2)x + 4a = 0
Syarat bersentuhan, D = 0
b² – 4ac = 0
(4a + 2)² – 4(a)(4a) = 0
16a² + 16a + 4 – 16a² = 0
16a + 4 = 0
16a = -4
a = -4/16
a = -1/4
Dengan demikian, persamaan parabolanya:
y₁ = -¼ (x – 2)² + 1
y₁ = -¼ (x – 2)² + (4/4)
4y = -(x² – 4x + 4) + 4
4y = -x² + 4x – 4 + 4
4y = -x² + 4x + 0
4y + x² – 4x = 0
(Jawaban: C)
Soal 2 (SPMB 2006)
Garis y = x + 8 memotong parabola y = ax² – 5x – 12 di titik P(-2,6) dan titik Q. Koordinat titik Q yaitu …..
A. (5,13)
B. (4,12)
C. (3,11)
D. (2,10)
E. (2,9)
Pembahasan:
Parabola y = ax² – 5x – 12
Karena melalui P(-2,6), maka:
6 = a(-2)² – 5(-2) – 12
⟺ 6 = 4a + 10 – 12
⟺ 6 = 4a – 2
⟺ 4a = 6 + 2
⟺ 4a = 8
⟺ a = 8/4
⟺ a = 2
Kedua kurva berpotogan, maka y₁ = y₂
2x² – 5x – 12 = x + 8
2x² – 5x – 12 – x – 8 = 0
2x² – 6x – 20 = 0
x² – 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2
Untuk x = 5, maka:
y = x + 8
= 5 + 8
= 13
Makara, koordinat titik Q yakni (5,13)
(Jawaban: A)
Soal 3 (SPMB 2005)
Jika garis y = 7x – 3 menyinggung parabola y = 4x² + ax + b di titik (1,4), a dan b konstanta maka (a – b) = …..
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
y = 4x² + ax + b
Karena lewat (1,4), maka:
4 = 4(1)² + a(1) + b
4 = 4 + a + b
a + b = 4 – 4
a + b = 0
a = -b
Kedua kurva bersentuhan, maka y₁ = y₂
4x² + ax + b = 7x – 3
4x² + ax + b – 7x + 3 = 0
4x² + (a – 7)x + (b + 3) = 0
Syarat bersinggungan, D = 0
b² – 4ac = 0
(a – 7)² – 4(4)(b + 3) = 0
Karena a = -b, maka:
(-b – 7)² – 4(4)(b + 3) = 0
⟺ b² + 14b + 49 – 16b – 48 = 0
⟺ b² – 2b + 1 = 0
⟺ (b – 1)² = 0
⟺ b – 1 = 0
⟺ b = 1
Karena a = -b maka a = -1
a – b = -1 – 1
= -2
Kaprikornus (a – b) = -2
(Jawaban: A)
Soal 4 (SPMB 2005)
Parabola y = x² memangkas garis y = x + 2 di titik A dan B. Panjang ruas garis AB yakni…..
A. 2
B. 3
C. 2√3
D. 3√2
E. 4
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan saat y₁ = y₂
x² = x + 2
x² – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Untuk x = 2, y = 2² = 4 ⟹ titik A(2,4)
Untuk x = -1, y = (-1)² = 1 ⟹ titik B(-1,1)
Jarak AB = $\sqrt (x_ A -x_ B )^ 2 +(y_ A -y_ B )^ 2 $
= $\sqrt (2-(-1))^ 2 +(4-1)^ 2 $
= $\sqrt 9+9 $
= $\sqrt 18 $
= 3√2
(Jawaban: D)
Soal 5 (SPMB 2004)
Titik potong parabola y = mx² + x + m, m ≠ 0 dengan garis y = (m + 1)x + 1 ialah (x₁ , y₁) dan (x₂,y₂). Jika x₁² + x₂² = 1 maka nilai m yaitu …..
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
mx² + x + m = (m + 1)x + 1
mx² + x + m = mx + x + 1
mx² – mx + (m – 1) = 0
(x₁ + x₂) = -b/a = -m/m = 1
(x₁ . x₂) = c/a = (m – 1)/m
x₁² + x₂² = 1
⟺ (x₁ + x₂)² – 2(x₁.x₂) = 1
⟺ (1)² – 2$\left[\frac m-1 m \right]$ = 1
⟺ $\frac m-2m+2 m $ = 1
⟺ -m + 2 = 1 x m
⟺ -m + 2 = m
⟺ -m – m = -2
⟺ -2m = -2
⟺ m = -2/-2
⟺ m = 1
(Jawaban: D)
Soal 6 (SPMB 2004)
Agar parabola y = x² – px + 3 dipotong garis y = 2x – 1 di dua titik maka
A. p < -6 atau p > 2
B. p < -4 atau p > 4
C. p < -2 atau p > 6
D. -6 < p < 2
E. -4 < p < 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² – px + 3 = 2x – 1
x² – px + 3 – 2x + 1 = 0
x² – (p + 2)x + 4 = 0
Syarat memotong di dua titik, D > 0
b² – 4ac > 0
(p + 2)² – 4(1)(4) > 0
p² + 4p + 4 – 16 > 0
p² + 4p – 12 > 0
(p + 6)(p – 2) > 0
Nilai p yang menyanggupi: p < -6 atau p > 2
(Jawaban: A)
Soal 7 (UM – UGM 2003)
Parabola y = x² + ax + 6 dan garis y = 2mx + c berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis AB menjadi dua sama panjang maka ordinat titik C ialah …..
A. 4m² + 2ma + c
B. 4m² – 2ma + c
C. 2m² + ma + c
D. 2m² – ma + c
E. 2m² – 2ma + c
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan saat y₁ = y₂
x² + ax + 6 = 2mx + c
x² + ax + 6 – 2mx – c = 0
x² + (a – 2m)x + (6 – c) = 0
Absis C(titik tengah A dan B) adalah:
xc = $\frac x_A+x_B 2 $
= -$\frac b 2a $
= $\frac 2m – a 2 $
Subtitusi nilai xc ke persamaan garis y = 2mx + c
yc = 2m$\left [\frac 2m-a 2 \right ]$ + c
= 2m² – ma + c
(jawaban: D)
Soal 8 (UMPTN 2001)
Syarat agar grafik fungsi linear f(x) = mx – 2 menyinggung grafik fungsi kuadrat g(x) = 4x² + x – 1 ialah …..
A. m = 5
B. m = 3
C. m = 3 atau m = 5
D. m = -3 atau m = 5
E. m = -3 atau m = -5
Jawaban:
Kedua kurva bersinggungan saat y₁ = y₂
4x² + x – 1 = mx – 2
4x² + x – 1 – mx + 2 = 0
4x² + (1 – m)x + 1 = 0
Syarat menyinggung, D = 0
b² – 4ac = 0
(1 – m)² – 4(4)(1) = 0
1 – 2m + m² – 16 = 0
m² – 2m – 15 = 0
(m – 5)(m + 3) = 0
m = 5 atau m = -3
(Jawaban: D)
Demikian artikel “Kumpulan Soal Hubungan Parabola dan Garis” kali ini, mudah-mudahan dari beberapa soal di atas mampu membantu pembaca dalam menuntaskan soal-soal yang berhubungan dengan relasi parabola dan garis.