Kuartil, Desil, Simpangan Baku, Varian, dsb

Daftar Isi

Kuartil (Q)

Kuartil adalah nilai yg membagi data menjadi empat bagian yg sama banyak sehabis data diurutkan dr yg terkecil sampai yg paling besar. Terdapat tiga kuartil, yakni kuartil bawah $(Q_1)$ , kuartil tengah $(Q_2)$ atau median, & kuartil atas $(Q_3)$ . Kuartil didapat dgn cara :

Mengurutkan data dr nilai terkecil sampai paling besar

Menentukan median atau $(Q_2)$

Menentukan $(Q_1)$ (median data kurang dr $(Q_2)$ ) & $(Q_3)$ (median data lebih dr $(Q_2)$ )

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org yang lain:

Persamaan Trigonometri

Mean Median Modus

Contoh, data yg diurutkan:

rumus cara mencari kuartil

$(Q_2) = 4$

$(Q_1) = \frac 1 2 (2+3) = 2.5$

$(Q_3) = \frac 1 2 (6+6) = 6$

Untuk data berkelompok, kuartil dihitung dgn rumus:

$Q_i = t_b + (\frac \frac i 4 n-f_k f )c$

Dengan:

$t_b =$ tepi bawah kelas kuartil

$n =$ banyak data

$f_k =$ frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

$f =$ frekuensi kumulatif kelas kuartil

$c =$ panjang kelas

$i =$ 1,2,3

(Contoh ada di soal 1 di bawah)

Desil

Desil ialah nilai yg membagi data menjadi sepuluh bagian yg sama banyak setelah data diurutkan dr yg terkecil hingga yg terbesar. Letak desil bisa direntukan dgn rumus:

$D_i$ terletak pada nilai ke – $\frac i(n+1) 10$

Contoh, data yg diurutkan:

cara mencari & rumus desil

$D_3$ ada di nilai ke- $\frac i(n+1) 10 = \frac 3(15)+1 10 = 4.8$ , sehingga

$D_3 = x_4 + 0.8(x_5 - x_4) = 6 + 0.8(6 - 6) = 6$

$D_6$ ada di nilai ke- $\frac i(n+1) 10 = \frac 6(15 + 1) 10 = 9.6$ , sehingga

$D_6 = x_9 + 0.6(x_10 - x_9) = 7 + 0.6(8 - 7) = 7.6$

Untuk data berkelompok, desil didapat dgn rumus berikut :

$D_i = t_b + (\frac \frac i 10 n-f_k f )c$

Dengan:

$t_b =$ tepi bawah kelas desil

$n =$ banyak data

$f_k =$ frekuensi kumulatif sebelum kelas desil

$f =$ frekuensi kumulatif kelas desil

$c =$ panjang kelas

$i =$ 1,2,3,…,9

(Contoh ada di soal 1)

Jangkauan (Rentang), Hamparan, & Simpangan Kuartil

Jangkauan data $(J)$ yakni selisih antara data paling besar & data terkecil.

$J = x_ max -x_ min$

Hamparan atau jangkauan antar kuartil $(H)$ yaitu selisih antara kuartil ketiga & pertama

$H = Q_3 - Q_1$

Simpangan kuartil $Q_d$ ialah setengah kali panjang hamparan

$Q_d = \frac 1 2 (Q_3 - Q_1)$

(Contoh di Soal 1 & Soal 2)

Lihat pula bahan Wargamasyarakat.org yang lain:

Medan Magnet

Benzena

Kalimat Efektif

Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata $(SR)$ merupakan jarak rata-rata suatu data terhadap rataannya. Simpangan rata-rata mampu dicari dgn rumus:

$SR = \frac 1 2 \sum \limits^N_ I=1 \mid x_i - \bar x\mid$

Dengan:

$n$ = banyak data

$x_i$ = nilai data ke-i

$\bar x$ = nilai rata-rata

(Contoh di Soal 2)

Sedangkan untuk data berkelompok, rumus simpangan rata-rata $(SR)$ yaitu :

$SR = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_i\mid x_i - \bar x\mid$

Dengan:

$k$ = banyak kelas

$x_i$ = titik tengah kelas ke-i

$\bar x$ = nilai rata-rata

$n$ = $\sum^k_ i=1 f_i$

(Contoh di Soal 3)

Ragam

Ragam atau varian $(S^2)$ menyatakan rata-rata kaudrat jarak suatu data kepada rataannya. Rumus untuk menerima ragam atau varian adalah:

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^n_ i=1 (x_i - \bar x)^2$

Dengan:

$n$ = banyak data

$x_i$ = nilai data ke-i

$\bar x$ = nilai rata-rata

(Contoh di Soal 2)

Sedangkan untuk Ragam atau varian $(S^2)$ untuk data berkelompok mampu ditentukan dgn rumus berikut:

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_i(x_i - \bar x)^2$

Atau

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_ix_i^2 - (\frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_ix_i)^2$

Dengan:

$k$ = banyak kelas

$x_i$ = titik tengah kelas ke-i

$\bar x$ = nilai rata-rata

$n = \sum^k_ i=1 f_i$

(Contoh di Soal 3)

Rumus diatas dapat diubah dgn menggunakan simpangan rataan menjadi

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_id_i^2 - (\frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_id_i)^2$

Simpangan Baku

Simpangan baku atau tolok ukur deviasi $(S)$ yakni rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dr nilai rata-rata data tersebut. Simpangan baku mampu ditentukan dgn rumus :

$S = \sqrt S^2 = \sqrt \frac 1 n \sum \limits^n_ i=1 (x_i - \bar x)^2$

Contoh di Soal 2

Sedangkan untuk data berkelompok, Simpangan baku atau kriteria deviasi dapat ditentukan dgn rumus:

$S = \sqrt S^2 = \sqrt \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_i(x_i - \bar x)^2$

Contoh di Soal 3

Contoh Soal Kuartil, Simpangan Kuartil, Simpangan Baku, dsb & Pembahasan

Contoh Soal Kuartil, Simpangan Kuartil, dsb.

Tentukan nilai kuartil bawah, kuartilatas, desil ke-6, jangkauan antar kuartil, & simpangan kuartil dr data berikut:

contoh soal jangkauan simpangan kuartil

Pembahasan

Panjang kelas: $c = 10$

Banyak data: $n = 40$

Maka letaknya:

Kelas $Q_1$ ada pada $x$ ke $\frac i 4 n = \frac 1 4 (40) = 10$ yaitu di kelas 60 – 69

Kelas $\frac i 4 n = \frac 3 4 (40) = 30$ yakni di kelas 80 – 89

Kelas $D_6$ ada pada x $x$ $\frac i(n+1) 10 = \frac 6(40+1) 10 = 24.6$ yaitu di kelas 70 – 79

Sehingga:

$Q_1 = t_b + (\frac \frac i 4 n-f_k f )c = 59.5 + (\frac \frac 1 4 (40)-8 8 ) 10 = 65.75$

$Q_3 = t_b + (\frac \frac i 4 n-f_k f )c = 79.5 + (\frac \frac 8 4 (40)-27 10 ) 10 = 82.5$

$D_6 = t_b + (\frac \frac 6 10 (40)-13 14 )10 = 77.36$

Jangkauan antar kuartil (H):

$H = Q_3 - Q_1 = 82.5 - 65.75 = 16.75$

Simpangan kuartil $Q_d$ :

$Q_d = \frac 1 2 H = \frac 1 2 (16.75) = 8.375$

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org lainnya:

Metabolisme

Procedure Text

Teori Relativitas

Contoh Soal Simpangan Baku, Ragam, dsb.

Diketahui data 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9. Tentukan nilai dr jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, & simpangan baku data tersebut.

Pembahasan:

contoh soal simpangan baku

Dengan $Q_1 = 4$ , $Q_2 = 6$ , & $Q_3 = 8.5$ , maka

Mean: $\bar x = \frac 3+4+4+5+6+7+8+9+9 9 = \frac 55 9 = 6.11$

Jangkauan: $(J) = x_ max - x_ min = 9 -3 = 6$

Jangkauan antar kuartil: $H= Q_3 - Q_1 = 8.5 - 4 = 4.5$

Simpangn kuartil: $Q_d = \frac 1 2 (Q_3 - Q_1) = \frac 1 2 (Q_3 - Q_1) = \frac 1 2 (8.5 - 4) = 2.25$

Simpang rata-rata:

$SR =\frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 \mid x_i - \bar x\mid$

$SR = \frac 1 9 \sum \limits^k_ i=1 \mid 3 - 6.11\mid$ + $\mid 4 - 6.11\mid$ + $\mid 4 - 6.11\mid$ + $\mid 5 - 6.11\mid$ + $\mid 6 - 6.11\mid$ + $\mid 7 - 6.11\mid$ + $\mid 8 - 6.11\mid$ + $\mid 9 - 6.11\mid$ + $\mid 9 - 6.11\mid$

$SR=\frac 1 9 \sum \limits^k_ i=1 \mid -3.11\mid$ + $\mid -2.11\mid$ + $\mid -2.11\mid + -1.11\mid$ + $\mid -1.11\mid$ + $\mid 0.89\mid$ + $\mid 1.89\mid$ + $\mid 2.89\mid$ + $\mid 2.89\mid$

$SR = \frac 1 9 \times 17 = 1.89$

Ragam:

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 (x_i - \bar x)^2$

$S^2 = \frac 1 9 \sum\limits^k_ i=1 (3 - 6.11)^2$ + $(4 - 6.11)^2$ + $(5 - 6.11)^2 + (6 - 6.11)^2$ + $(7 - 6.11)^2 + (8 - 6.11)^2$ + $(9 - 6.11)^2 + (9 - 6.11)^2$

$SR = \frac 1 9 \sum \limits^k_ i=1 (-3.11)^2$ + $(-2.11)^2$ + $(-2.11)^2$ + $(-1.11)^2$ + $(-1.11)^2$ + $(0.89)^2$ + $(1.89)^2$ + $(2.89)^2$ + $(2.89)^2$

$S^2 = \frac 1 9 \sum \limits^k_ i=1$ 9.6721 + 4.4521 + 4.4521 + 1.2321 + 1.2321 + 0.7921 + 3.5721 + 8.3521 + 8.3521

$S^2 = \frac 1 9 \times 42.1089 = 4.6788$

Simpangan baku:

$S = \sqrt S^2 = \sqrt 4.6788 = 2.163$

Contoh Soal Jangkauan, Simpangan Rata-rata, dsb.

Tentukan jangkauan, hamparan, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, & simpangan baku pada data berikut:

Nilai	Frekuensi
40-49	1
50-59	4
60-69	8
70-79	14
80-81	10
90-99	3
Jumlah	40

Pembahasan:

Nilai	$f_i$	$x_i$	$f_id_i$	$\mid x_i\bar x\mid$	$f_i\mid x_i - \bar x\mid$	$(x_i - \bar x)^2$
40-49	1	44.5	43.5	29.25	29.25	855.56
50-59	4	54.5	214	19.25	77	370.56
60-69	8	64.5	508	9.25	74	85.56
70-79	14	74.5	1029	0.75	10.5	0.56
80-81	10	84.5	835	10.75	107.5	115.56
90-99	3	94.5	280.5	20.75	62.25	430.56
JUMLAH	40		2910		360.5