Teorema Aspek

by


Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor


Teorema aspek yaitu sebuah pernyataan biimplikasi atau implikasi dua arah (Sartono W, 2007). 

Teorema aspek yaitu sebagai berikut:

(x – k ) ialah faktor dari f(x) jikalau dan cuma bila f(k) = 0

Bukti teorema aspek:


Misalkan (x – k ) merupakan faktor dari f(x), maka
f(x) = (x – k ) . H(x) …..(1)
H(x) ialah hasil bagi, subtitusikan nilai x = k kepersamaan (1),
f(k) = (k – k ) . H(k) …..(1)
f(k) = 0
Jadi terbukti jika (x – k ) yaitu aspek dari f(x) maka f(k) = 0.

Soal Teorema Faktor dan Pembahasannya


Agar lebih terperinci wacana aplikasi teorema faktor amati soal-soal dibawah ini!

1). Tentukan nilai m bila  x3 + mx2 – 11x + 30  mempunyai aspek (x + 3)
 
[Penyelesaian]
Sesuai dengan teorema aspek, maka:
Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor
2). Jika salah satu akar dari x3 + ax2 + 6x – 2 yaitu 1. Tentukanlah nilai a dan akar yang lainnya.

[Penyelesaian]
Soal semacam ini mampu diatasi dengan teorema faktor,
Misalkan f(x) = x3 + ax2 + 6x – 2  , maka,
Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor
Kaprikornus , suku banyak semula menjadi:
Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor

Nilai x2 dapat dihitung dengan memakai rumus abc dan bentuk pada (1) dapat diputuskan dengan sistem horner yang telah dibahas sebelumnya.

Kaprikornus , nilai a = – 5 dan akar lainnya yakni 2± √2

3). Jika 3 dan – 2 adalah akar-akar dari Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor
Tentukanlah nilai a dan b.

[Penyelesaian]
Misalkan  f(x) = x4 + ax3 + ax2 + 11x + b = 0 , maka menggunakan teorema faktor:
Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor
lalu,
Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor
Dengan eliminasi persamaan  (1) + (2), maka diperoleh:
a = – 3, dan b = – 6

4). Dengan memakai teorema aspek tunjukkan bahwa (x + y) yaitu faktor dari Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor

[Penyelesaian]
Hanya perlu dibuktikan bahwa f( – y) = 0, maka:
Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor
Karena f(–y)=0 jadi (x+y) yakni aspek dari Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor

Menentukan Faktor-faktor Suatu Suku Banyak


Setelah mengetahui teorema faktor, barulah akan dipelajari bagaimana cara memilih aspek-aspek dari sebuah suku banyak. Adapun tindakan atau algoritma nya yaitu:

Langkah I
Tentukan apalagi dulu (x – k) konstanta a0  suku banyak Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor  , maka nilai k yang mungkin adalah aspek-faktor bulat dari a0.

 Langkah II
Dengan menjajal -coba semua faktor bulat a0 hingga diperoleh f(aspek bulat a0) = 0

Langkah III
Jika sudah didapat suatu faktor lingkaran a0 misalkan k maka untuk memilih aspek yang lain bagilah suku banyak f(x) dengan (x – k)

Seperti itulah tindakan atau algoritma memilih faktor-faktor suku banyak dengan teorema aspek. Agar lebih terang perhatikan setiap pola soal dibawah ini!

1).Tentukan faktor-aspek dari setiap suku banyak dibawah ini!
a.  f(x) = x3 + 3x2 – 18x – 40
b. f(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13 x +6

  Teorema Faktor

 [Penyelesaian]
 (a) f(x) = x3 + 3x2 – 18x – 40 

Langkah I:
Nilai konstanta dari suku banyak diatas adalah – 40, maka semua aspek bundar dari – 40 yakni ±1, ±2, ±4, ±5, ±8 , ± 10, ±20, ±40

Langkah II:
Dengan mencoba-coba aspek-faktor bundar dari – 40 diperoleh  x = –2 sehingga f(–2) = 0, adalah:
Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor
Langkah III:
Nilai f(x) = 0 telah diperoleh yaitu x = –2 jadi f(x) akan habis dibagi     (x + 2), maka aspek-aspek yang lain mampu dicari dengan metode horner

Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor
Dari sketsa diatas hasil baginya adalah  x2 + x – 20 sehingga,
Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor
Kaprikornus faktor-aspek linier dari f(x) = x3 + 3x2 – 18x – 40 yakni (x+2)(x-4)(x+5).

(b) f(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13 x +6
seperti pada acuan a konstanta dari f(x) yakni 6, dan semua faktor bundar dari 6 ialah ±1, ±2, ±3, ±6. Setelah menjajal -coba mensubtitusikan faktor-aspek tersebut pada f(x) diperoleh f(-1) = 0   maka aspek f(x) adalah (x +1 ) dan faktor lainnya dapat ditentukan dengan tata cara horner ialah,

Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor


dari skema tersebut hasil bagi nya 2x3  – 9x2 + 7x + 6 ,  jadi:
Untuk bab yang warna merah diperoleh juga dari cara horner, yang langkah-langkahnya tidak saya buat disini! coba buat sendiri ya, sebagai latihan!

2.Selesaikanlah persamaan  3x3  + 5x2 –  4x – 4 = 0
 
[Penyelesaian]
Misalkan f(x) = 3x3  + 5x2 –  4x – 4 = 0 dengan memakai teorema aspek dapat diputuskan aspek-faktor linier dari persamaan diatas. Faktor-aspek lingkaran dari konstanta –4 adalah ±1, ±2, ±4, setelah menjajal -coba aspek-aspek tersebut diperoleh  f(1) = 0, maka :


Hasil baginya ialah 3x2  + 8x + 4 , jadi:
Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor Teorema Faktor

Makara sehabis kita menguasai teorema faktor, maka memfaktorkan suku-suku banyak sungguh gampang.

Materi Terkait :
□ SukuBanyak (Pembagian suku banyak, sistem bersusun, metode horner)
□ Teoremasisa

  Teorema Faktor