Sewaktu di SD, kalian tentunya telah mengenal operasi penjumlahan pada bilangan bundar bukan? Untuk menyelesaikan operasi penjumlahan bilangan bulat dapat dikerjakan dgn dua cara, yakni dgn menggunakan dukungan garis bilangan & dgn cara langsung tanpa alat bantu. Untuk lebih jelasnya amati acuan berikut.
Contoh 1:
Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah 6 + (-8)!
Jawab:
Bilangan 6 & -8 kita gambarkan dlm bentuk anak panah pada garis bilangan mirip yg diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Untuk menjumlah 6 + (-8), langkah-langkahnya adalah selaku berikut.
(a) Gambarlah anak panah dr angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan hingga pada angka 6.
(b) Gambarlah anak panah kedua dimulai dr angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.
(c) Gambarlah anak panah ketiga dimulai dr pangkal anak panah pertama menuju ujung anak panah kedua. Nilai yg ditunjuk oleh anak panah ketiga merupakan hasil dr 6 + (-8) = -2.
Contoh 2:
Tanpa menggunakan perlindungan garis bilangan, hitunglah penjumlahan bilangan bulat berikut ini.
a) 125 + 234
b) -58 + (-72)
c) 75 + (-90)
d) (-63) + 125
Jawab:
a) 125 + 234 = 359
b) -58 + (-72) = -(58 + 72) = -130
c) 75 + (-90) = -(90 – 75) = -15
d) (-63) + 125 = 125 – 63 = 62
Apabila kalian sudah paham mengenai rancangan penjumlahan pada bilangan lingkaran, sekarang kita saatnya berguru mengenai sifat-sifat operasi hitung penjumlahan bilangan lingkaran. Sifat-sifat penjumlahan ini tentu akan memudahkan dlm menjumlah hasil penjumlahan bilangan bundar. Ada 5 sifat yg berlaku pada operasi penjumlahan bilangan bulat, yaitu tertutup, komutatif, asosiatif, unsur identitas & invers. Berikut ini penjelasan & pola masing-masing sifat tersebut.
#1 Sifat Tertutup
Untuk mengetahui sifat tertutup pada penjumlahan bilangan bundar, perhatikan acuan-acuan di bawah ini.
a) 2 + 9 = 11
■ 2 & 9 yaitu bilangan bundar
■ Hasil penjumlahannya 11 pula merupakan bilangan bundar
b) (-11) + (-9) = -20
■ (-11) & (-9) yakni bilangan bulat
■ Hasil penjumlahannya -20 pula merupakan bilangan lingkaran
c) -12 + 25 = 13
■ -12 & 25 adalah bilangan bulat
■ Hasil penjumlahannya 13 pula merupakan bilangan bulat
Berdasarkan teladan-acuan di atas, maka mampu ditarik kesimpulan bahwa:
|
Penjumlahan bilangan bulat akan senantiasa menciptakan bilangan lingkaran pula atau dapat ditulis jikalau a & b ∈ B, maka a + b ∈ B. Sifat tertutupbilangan bulat mampu dinyatakan sebagai berikut:
a + b = c dgn a, b, & c ∈ B.
|
#2 Sifat Komutatif (Pertukaran)
Untuk mengetahui sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan teladan-acuan berikut ini.
a) Penjumlahan bilangan positif dgn positif
5 + 7 = 12
7 + 5 = 12
Makara, 5 + 7 = 7 + 5
b) Penjumlahan bilangan positif dgn negatif
10 + (-5) = 5
(-5) + 10 = 5
Jadi, 10 + (-5) = (-5) + 10
c) Penjumlahan bilangan negatif dgn negatif
-4 + (-5) = -9
(-5) + (-4) = 9
Kaprikornus, -4 + (-5) = -5 + (-4)
Dari pola-pola di atas, maka mampu disimpulkan bahwa:
|
Hasil penjumlahan bilangan lingkaran selalu sama meskipun letak bilangan ditukar. Sifat penjumlahan mirip ini disebut sifat komutatif dan ditulis selaku berikut:
a + b = b + a
|
#3 Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)
Untuk mengerti sifat asosiatif pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan teladan-pola di bawah ini.
a) Penjumlahan bilangan positif dgn positif
(5 + 7) + 8 = 12 + 8 = 20
5 + (7 + 8) = 5 + 15 = 20
Makara, (5 + 7) + 8 = 5 + (7 + 8)
b) Penjumlahan bilangan positif dgn negatif
7 + (-2) + 6 = 5 + 6 = 11
7 + (-2) + 6 = 7 + 4 = 11
Jadi, 7 + (-2) + 6 = 7 + (-2) + 6
c) Penjumlahan bilangan negatif dgn negatif
-3 + (-6) + (-5) = -9 + (-5) = -14
-3 + -6 + (-5) = -3 + (-11) = -14
Jadi, -3 + (-6) + (-5) = -3 + -6 + (-5)
Berdasarkan contoh-pola di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:
|
Pada operasi penjumlahan bilangan lingkaran, bilangan-bilangan tersebut mampu dikelompokkan & ditulis dlm bentuk:
(a + b) + c = a + (b + c)
|
#4 Unsur Identitas (Netral)
Untuk mengerti bagian identitas pada penjumlahan bilangan bundar, perhatikan teladan-pola berikut ini.
a) 2 + 0 = 2
b) 5 + 0 = 5
c) -10 + 0 = -10
d) 0 + 3 = 3
Dari pola-teladan di atas, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa:
|
Bilangan 0 (nol) merupakan komponen identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bundar apabila ditambah 0 (nol), alhasil ialah bilangan itu sendiri. Dengan demikian, untuk sebarang bilangan bulat a, senantiasa berlaku sifat berikut.
a + 0 = 0 + a = a
|
#5 Sifat Invers (Lawan)
Setiap bilangan lingkaran mempunyai invers atau lawan. Lawan dr suatu bilangan bundar yakni bilangan lingkaran lain yg letakknya pada garis bilangan berjarak sama dr titik nol, tetapi arahnya berlawanan dgn bilangan bundar semula. Agar lebih terang, amati gambar garis bilangan bulat berikut ini.
Tampak pada garis bilangan di atas selaku berikut.
a) Bilangan-bilangan di sebelah kanan & kiri dr 0, yg berjarak sama kepada 0 dapat dipasangkan, yaitu:
■ -1 dgn 1
■ -2 dgn 2
■ -3 dgn 3
■ -4 dgn 4
b) Jumlah dua bilangan dlm setiap pasangan karenanya selalu nol, yakni:
■ -1 + 1 = 0
■ -2 + 2 = 0
■ -3 + 3 = 0
■ -4 + 4 = 0
Kedua bilangan dlm setiap pasangan itu dibilang saling berlawanan yakni:
■ Lawan dr 1 yaitu -1 atau lawan dr -1 ialah 1
■ Lawan dr 2 yaitu -2 atau musuh dr -2 ialah 2 & seterusnya.
Dari contoh-contoh di atas, maka mampu disimpulkan bahwa:
|
Invers sebuah bilangan artinya musuh dr bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan memiliki invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dgn inversnya (lawannya) merupakan bagian identitas (0). Untuk sebarang bilangan bulat a, maka:
■ Lawan dr a yakni –a, sedangkan musuh dari –a adalah a
Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol niscaya mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku
a + (-a) = (-a) + a = 0
|
Contoh Soal & Pembahasan
Agar kalian dapat memakai sifat-sifat operasi penjumlahan di atas, silahkan pelajari beberapa contoh soal & penyelesaiannya berikut ini.
Contoh Soal #1
Hitunglah penjumlahan bilangan berikut ini.
a) 42 + 34
b) 28 + (-34)
c) -64 + 33
d) -13 + (-18)
Jawab:
a) 42 + 34 = 76
b) 28 + (-34) = -6
c) -64 + 33 = -31
d) -13 + (-18) = -31
Contoh Soal #2
Dengan menggunakan sifat asosiatif, hitunglah penjumlahan berikut.
a) 27 + 32 + 68
b) 34 + 64 + 34 + 66
c) 373 + 127 + 234 + 166
Jawab:
a) 27 + (32 + 68) = 27 + 100 = 127
b) (34 + 64) + (34 + 66) = 98 + 100 = 198
c) 373 + 127 + (234 + 166) = 373 + (127 + 400) = 373 + 527 = 900
Contoh Soal #3
Dengan memakai sifat asosiatif & komutatif, hitunglah penjumlahan berikut ini.
a) 73 + 91 + 27
b) 84 + 83 + 16 + 17
c) 124 + 123 + 176 + 177
d) 139 + 164 + 161 + 136
Jawab:
a) 73 + 91 + 27 = (73 + 27) + 91 = 100 + 91= 191
b) 84 + 83 + 16 + 17 = (84 + 16) + ( 83 + 17) = 100 + 100 = 200
c) 124 + 123 + 176 + 177 = (124 + 176) + (123 + 177) = 300 + 300 = 600
d) 139 + 164 + 161 + 136 = (139 + 161) + (164 + 136) = 300 + 300 = 600