√ Permutasi dan Kombinasi – Media Masyarakat

Daftar Isi

Pengertian Permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dlm urutan yg berbeda dr urutan yg semula. Sebagai contoh, kata-kata dlm kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai “yaitu Permutasi suatu urutan yg berbeda urutan yg kumpulan semula objek penyusunan kembali dlm dari.” Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yg baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

Jika terdapat suatu untai huruf abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dgn urutan yg berbeda: acbd, dacb, & seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dlm urutan yg berbeda satu sama lain.

abcd abdc acbd acdb adbc adcb

bacd badc bcad bcda bdac bdca

cabd cadb cbad cbda cdab cdba

dabc dacb dbac dbca dcab dcba

Setiap untai gres yg tertulis mengandung unsur-unsur yg sama dgn untai semula abcd, cuma saja ditulis dgn urutan yg berlainan. Maka setiap untai baru yg mempunyai urutan berbeda dr untai semula ini disebut dgn permutasi dr abcd.

Menghitung Banyaknya Permutasi yg Mungkin

Untuk membuat permutasi dr abcd, mampu diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yg hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yg hendak kita isi dgn masing-masing kartu:

Kartu Kotak kosong

———– —————

a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita mampu mengisi setiap kotak dgn kartu.Tentunya setiap kartu yg telah dipakai tak dapat digunakan di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

Kartu Kotak

———– —————

a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]

^ 4 opsi: a, b, c, d

Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal mempunyai 3 opsi kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

Kartu Kotak

———– —————

a * c d [b] [ ] [ ] [ ]

^ 3 pilihan: a, c, d

Karena dua kartu sudah digunakan, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal mempunyai dua opsi.

Kartu Kotak

———– —————

a * c * [b] [d] [ ] [ ]

^ 2 pilihan: a, c

Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

Kartu Kotak

———– —————

a * * * [b] [d] [c] [ ]

^ 1 opsi: a

Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

Kartu Kotak

———– —————

* * * * [b] [d] [c] [a]

Di setiap langkah, kita mempunyai sejumlah opsi yg kian berkurang.Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dgn cara yg sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dr n unsur ialah sebanyak n!.

Bilangan Inversi

Setiap permutasi dapat kita kaitkan dgn barisan bilangan yg disebut selaku barisan bilangan inversi.Setiap unsur dlm permutasi dikaitkan dgn sebuah bilangan yg menawarkan banyaknya unsur sesudah unsur tersebut, yg posisinya salah.Sebagai acuan, salah satu permutasi dr untai abcdefg yakni dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb mampu dibikin bilangan inversinya:

Posisi	Unsur	Bilangan
0	d	3	Ada 3 huruf sesudah posisi 0, yg semestinya berada sebelum d, yaitu a, b, & c.
1	a	0	Tidak ada huruf setelah posisi 1, yg seharusnya berada sebelum a.
2	c	1	Ada 1 huruf sesudah posisi 2, yg seharusnya berada sebelum c, yaitu b.
3	f	2	Ada 2 huruf sehabis posisi 3, yg seharusnya berada sebelum f, yaitu e, & b.
4	g	2	Ada 2 huruf setelah posisi 4, yg semestinya berada sebelum g, yaitu e, & b.
5	e	1	Ada 1 huruf setelah posisi 5, yg semestinya berada sebelum g, yakni b.
6	b	0	Tidak ada huruf sehabis b.

Maka barisan bilangan inversi dr dacfgeb ialah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

Faktoradik

Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah tata cara bilangan, yg setiap digitnya mempunyai sifat:

dan

Sistem bilangan ini disebut selaku faktoradik.Masing-masing faktoradik mampu diubah maupun dibentuk dr bilangan desimal. Ini berkhasiat untuk mampu menciptakan permutasi ke-k dr sebuah untai.

Membangkitkan Permutasi

Permasalahan umum yg terdapat seputar menghidupkan permutasi yakni:

Diberikan suatu untai S, tentukan:

Semua permutasi dr S

Semua permutasi
n-elemen dr S

Permutasi selanjutnya setelah S

Permutasi ke-k dr s sesuai urutan leksikografik (atau hukum lainnya)

Jenis-Jenis Permutasi

Berikut ini terdapat berbagai jenis-jenis permutasi, terdiri atas:

Permutasi-k dr n benda

Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tak seluruhnya.Permutasi ini disebut permutasi-k dr n benda. Pada pola untai abcd, maka permutasi-2 dr abcd (yang seluruhnya ada 4 unsur) yakni sebanyak 12:

ab ac ad

ba bc bd

ca cb cd

da db dc

Sedangkan permutasi-3 dr untai yg sama adalah sebanyak 24:

abc abd acb acd adb adc

bac bca bad bda bcd bdc

cab cba cad cda cbd cdb

dab dba dac dca dbc dcb

Banyaknya kemungkinan permutasi mirip ini yakni

Permutasi dgn elemen yg identik

Terkadang tak semua unsur dlm permutasi mampu dibedakan. Unsur-unsur ini ialah unsur-unsur yg identik atau sama dengan-cara mutu. Suatu untai aabc terdiri dr 4 macam unsur, yaitu a, b, & c namun unsur a timbul sebanyak dua kali.Kedua a tersebut identik. Permutasi dr aabc yakni berjumlah 12:

aabc aacb abac abca

acab acba baac baca

bcaa caab caba cbaa

Ini mampu dimengerti selaku permutasi biasa dgn kedua unsur a dibedakan, yaitu a₀ & a₁:

a₀a₁bc a₁a₀bc = aabc

a₀a₁cb a₁a₀cb = aacb

a₀ba₁c a₁ba₀c = abac

a₀bca₁ a₁bca₀ = abca

a₀ca₁b a₁ca₀b = acab

a₀cba₁ a₁cba₀ = acba

ba₀a₁c ba₁a₀c = baac

ba₀ca₁ ba₁ca₀ = baca

bca₀a₁ bca₁a₀ = bcaa

ca₀a₁b ca₁a₀b = caab

ca₀ba₁ ca₁ba₀ = caba

cba₀a₁ cba₁a₀ = cbaa

Total permutasi dr untai aabc yakni sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini pula meliputi posisi a₀ & a₁ yg bertukar-tukar, yg jumlahnya ialah 2! (karenaa terdiri dr 2 unsur: a₀ & a₁). Dengan demikian jika dianggap a₀ = a₁ maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dgn 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:

Untuk untai S sepanjang n yg mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

Lebih general lagi, kalau panjang untai yaitu n, mengandung m macam unsur yg masing-masing yakni sebanyak k₁, k₂, …,k_m, maka:

atau

Sebagai pola, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dr 5 a, 2 b, 3 c, & 6 d, maka banyaknya permutasi yg dapat dibentuk:

Dalam permutasi biasa, contohnya abcd, setiap unsur cuma muncul satu kali, sehingga

Unsur yg identik tersebut tak perlu benar-benar identik, namun bisa merupakan unsur yg berlawanan, namun ada kualitas tertentu yg kita anggap sama dr kedua unsur tersebut. Sebagai pola, huruf A & huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.

Permutasi siklis

Permutasi siklis menganggap elemen disusun dengan-cara melingkar.

h a

g b

f c

e d

Pada susunan di atas, kita mampu membaca untai tersebut sebagai salah satu dr untai-untai berikut:

abcdefgh

bcdefgha

cdefghab

defghabc

efghabcd

fghabcde

ghabcdef

habcdefg

Cara membaca untai abcdefgh dlm susunan melingka
r tersebut beragam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dgn menganggap bahwa satu elemen harus ditulis selaku permulaan untai.

abcdefgh

——–

^ kepingan yg dipermutasikan

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) yaitu n, & alasannya adalah elemen awal tak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yg mampu berganti-ubah posisinya yakni n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yg dapat berganti-ubah posisi saja, yakni sebanyak (n − 1)!.

Pengertian Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dr suatu grup tanpa memperhatikan urutan.Di dlm variasi, urutan tak diamati.

1,2,3 yaitu sama dgn 2,3,1 & 3,1,2 .

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dr tiga buah amplop yg ditawarkan yakni amplop A, amplop B & amplop C. Tentukan ada berapa banyak variasi untuk mengambil dua buah amplop dr tiga buah amplop yg ditawarkan?

Solusi: Ada 3 variasi yaitu; A-B, A-C & B-C.

Sedangkan permutasi yakni memadukan beberapa objek dr suatu grup dgn memperhatikan urutan.Di dlm permutasi, urutan diamati.

1,2,3 tak sama dgn 2,3,1 & 3,1,2

Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau & biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola dengan-cara acak & urutan pengambilan diamati, ada berapa permutasi yg terjadi?

Solusi: Ada 6 permutasi yakni; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Salah satu aplikasi kombinasi & permutasi yaitu dipakai untuk mencari probabilitas suatu peristiwa.

Rumus Permutasi & Kombinasi

Berikut ini terdapat beberapa rumus permutasi & kombinasi, terdiri atas:

1. Rumus Permutasi

Terdiri atas:

Permutasi Pengulangan

Jika urutan diamati & suatu objek mampu dipilih lebih dr sekali maka jumlah permutasinya yaitu:

di mana n adalah banyaknya objek yg mampu dipilih & r adalah jumlah yg mesti dipilih.

Sebagai teladan, kalau ananda memiliki huruf A, B, C, & D & ananda ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dlm suatu grup yg berisi tiga angka maka ananda akan memperoleh bahwa ada 4³ atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.

Permutasi Tanpa Pengulangan

Jika urutan diamati & setiap objek yg tersedia cuma bisa dipilih atau digunakan sekali maka jumlah permutasi yg ada yakni:

di mana n yaitu jumlah objek yg mampu ananda pilih, r yakni jumlah yg harus dipilih & !yaitu simbol faktorial.

Sebagai teladan, ada suatu pemungutan bunyi dlm suatu organisasi. Kandidat yg bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang menerima suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yg menerima bunyi ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan bunyi yg mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.

Umpamakan bila n = r (yang mengambarkan bahwa jumlah objek yg bisa dipilih sama dgn jumlah yg mesti dipilih) maka rumusnya menjadi:

Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yg tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yg kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dgn angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.

2. Rumus Kombinasi

Terdiri atas:

Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tak diperhatikan akan namun setiap objek yg ada cuma bisa dipilih sekali maka jumlah variasi yg ada yakni:

Di mana n yakni jumlah objek yg bisa dipilih & r adalah jumlah yg mesti dipilih.

Sebagai teladan, ananda mempunyai 5 pensil warna dgn warna yg berlawanan yakni; merah, kuning, hijau, biru & ungu.Kamu ingin membawanya ke sekolah.Tapi ananda cuma boleh menenteng dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yg ada? Dengan memakai rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 variasi.

Kombinasi Pengulangan

Jika urutan tak diamati & objek mampu dipilih lebih dr sekali, maka jumlah kombinasi yg ada yakni:

Di mana n adalah jumlah objek yg bisa dipilih & r yaitu jumlah yg mesti dipilih.Sebagai pola kalau ananda pergi ke suatu toko donat.Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda.Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yg dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.

Contoh Soal Permutasi & Kombinasi

Berikut ini terdapat beberapa acuan soal permutasi & kombinasi, terdiri atas:

1. Contoh Soal Permutasi

Terdiri atas:

Contoh 1

Ada berapa banyak cara yg mungkin terjadi jikalau si Anak dipersilahkan mengambil 2 bola dengan-cara acak dlm suatu kotak yg mengandung bolah berwarna : merah, hijau & biru. Dalam pengambilan bola, urutan tak diamati artinya tak diizinkan ihwal urutan.

Pembahasan:

Kata kuncil soal diatas (pola.2) ialah tak diperbolehkan urutan pengambilan. Sehingga mesti kita jawab dlm bentuk kombinasi :

Merah Hijau

Merah Biru

Hijau Biru

Dengan demikian hanya terdapat tiga cara, variasi cara lain akan berarti sama atau dianggap satu, mirip : Merah Hijau dgn Hijau Merah akan dianggap satu cara.

Contoh 2

Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan dibuat panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dr ketua & wakil ketua), kandidat panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, & f. Ada berapa pasang calon yg dapat duduk selaku panitia inti tersebut?

Jawaban:

6P2 = 6!/(6-2)!

= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)

= 720/24

= 30 cara

Contoh 3

Sekelompok mahasiswa yg terdiri dr 10 orang akan mengadakan rapat & duduk mengelilingi suatu meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut mampu diatur pada sekeliling meja tersebut?

Jawaban:

P5 = (10-1)!

= 9.8.7.6.5.4.3.2.1

= 362880 cara

Contoh 4

Berapa banyak “kata” yg terbentuk dr kata “STMIK”?

Jawab :

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata

Contoh 5

Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan yaitu 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah ia dapat diterima oleh perusahaan?

Jawaban:

Frekuensi impian insiden A yaitu Fh(A) = n × P(A)

Diketahui P(A) = 0,75 & n = 24. Maka:

Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

2. Contoh Soal Kombinasi

Terdiri atas:

1. Terdapat 10 orang yg lulus seleksi pada suatu perusahaan. Namun keperluan tenaga kerja sebanyak 4 orang. Tentukan berapa banyak cara yg dilaksanakan perusahaan dlm menentukan 4 orang dr 10 orang lulus seleksi ?.

a. 60

b. 240

c. 210

d. 310

Pembahasan:

Diketahui :

n = 10, menyatakan jumlah yg lulus seleksi

k = 4, menyatakan tenaga kerja yg diterima atau dipilih.

C (10,4)= 10!(10-4)!.4! = 10.9.8.7..4.3.2.1 = 504024 =210

Jawaban :c

2. Dalam sebuah sekolah sudah diseleksi 5 orang siswa yg berbakat & mahir dlm badminton. Berapa banyaknya cara pemilihan yg mungkin bila dipilih 3 orang siswa untuk mewakili sekolah dlm turnamen badminton ?

a. 10

b. 16

c. 60

d. 15

Pembahasan

Diketahui :

n = 5, menyatakan jumlah siswa yg sudah diseleksi dlm bidang olahraga bulu tangkis.

k = 3, jumlah siswa yg diutus dlm kompetensi bulu tangkis

C (5,3)= 5!(5-3)!.3! = 5.4.2!. = 202 =10

Jawaban : a

3. Misalkan ada 4 warna cat, yakni : Merah, Kuning, Hijau & Biru. Jika 2 warna cat dicampurkan akan membentuk warna gres. Maka akan ada berapa banyak warna gres yg diperoleh ?

a. 6

b. 12

c. 8

d. 60

Pembahasan

Diketahui :

n = 4, menyatakan jumlah warna cat (Merah, Kuning, Hijau & Biru).

k = 2, menyatakan jumlah warna cat yg dicampurkan

C (4,2)= 4!(4-2)!.2! = 4.3.2!. = 122 =6

Jawaban : a

4. Dalam suatu konferensi terdapat 10 orang yg belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yg terjadi ?

a. 40

b. 45

c. 20

d. 10

Pembahasan

Diketahui:

n = 10, menyatakan jumlah orang dlm suatu pertemuan

k = 2, menyatakan jumlah orang yg saling berjabat tangan

C (10,2)= 10!(10-2)!.2! = 10.9.2! = 902 =45.

Jawaban : b

Demikianlah pembahasan mengenai Permutasi & Kombinasi – Pengertian, Rumus, Jenis & Contoh Soal semoga dgn adanya ulasan tersebut mampu memperbesar pengetahuan & pengetahuan anda semua, terima kasih banyak atas kunjungannya. 🙂 🙂 🙂

Baca Juga Artikel Lainnya:

Rumus Himpunan

Vektor Matematika

Logaritma Adalah

Rumus Persamaan Kuadrat

Persamaan Nilai Mutlak

Rumus Luas Segitiga

Rum
us Standar Deviasi

Rumus Phytagoras

Jenis-Jenis Bilangan Bagian