4. Penyelesaian SPLTV Metode Determinan
Langkah-langkah untuk menentukan himpunan solusi SPLTV dengan sistem determinan ialah sebagai berikut.
■ Langkah Pertama, ubahlah metode persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.
Misalkan terdapat metode persamaan berikut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut
A . X = B …………… Pers. (1)
Dengan:
|
A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
X
|
=
|
x
|
|
y
|
||
|
z
|
|
B
|
=
|
d1
|
|
d2
|
||
|
d3
|
Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
x
|
=
|
d1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
y
|
d2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
z
|
d3
|
■ Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx) determinan y (Dy) dan determinan z (Dz) dengan persamaan berikut.
|
D
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a1
|
b1
|
=
|
(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
a2
|
b2
|
||||
|
a3
|
b3
|
c3
|
a3
|
b3
|
D adalah determinan dari matriks A.
|
Dx
|
=
|
d1
|
b1
|
c1
|
d1
|
b1
|
=
|
(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)
|
|
d2
|
b2
|
c2
|
d2
|
b2
|
||||
|
d3
|
b3
|
c3
|
d3
|
b3
|
Dx ialah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan unsur-unsur matriks B.
|
Dy
|
=
|
a1
|
d1
|
c1
|
a1
|
d1
|
=
|
(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)
|
|
a2
|
d2
|
c2
|
a2
|
d2
|
||||
|
a3
|
d3
|
c3
|
a3
|
d3
|
Dy yakni determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan bagian-bagian matriks B.
|
Dz
|
=
|
a1
|
b1
|
d1
|
a1
|
b1
|
=
|
(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)
|
|
a2
|
b2
|
d2
|
a2
|
b2
|
||||
|
a3
|
b3
|
d3
|
a3
|
b3
|
Dz yakni determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan unsur-elemen matriks B.
■ Langkah Ketiga, pastikan nilai x dan y dengan persamaan berikut.
|
x
|
=
|
Dx
|
|
D
|
|
y
|
=
|
Dy
|
|
D
|
|
z
|
=
|
Dz
|
|
D
|
Contoh Soal:
Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan solusi dari tata cara persamaan berikut ini.
2x + y + z = 12
x + 2y – z = 3
3x – y + z = 11
Jawab:
■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks
Pertama, kita ubah metode persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.
|
2
|
1
|
1
|
|
x
|
=
|
12
|
|
1
|
2
|
−1
|
y
|
3
|
||
|
3
|
−1
|
1
|
z
|
11
|
Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.
■ Menentukan nilai D
|
D
|
=
|
2
|
1
|
1
|
2
|
1
|
|
1
|
2
|
−1
|
1
|
2
|
||
|
3
|
−1
|
1
|
3
|
−1
|
D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]
D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]
D = 0 − 9
D = −9
■ Menentukan nilai Dx
|
Dx
|
=
|
12
|
1
|
1
|
12
|
1
|
|
3
|
2
|
−1
|
3
|
2
|
||
|
11
|
−1
|
1
|
11
|
−1
|
Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]
Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]
Dx = 10 − 37
Dx = −27
■ Menentukan nilai Dy
|
Dy
|
=
|
2
|
12
|
1
|
2
|
12
|
|
1
|
3
|
−1
|
1
|
3
|
||
|
3
|
11
|
1
|
3
|
11
|
Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]
Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]
Dy = −19 – (–1)
Dy = −18
■ Menentukan nilai Dz
|
Dz
|
=
|
2
|
1
|
12
|
2
|
1
|
|
1
|
2
|
3
|
1
|
2
|
||
|
3
|
−1
|
11
|
3
|
−1
|
Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]
Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]
Dz = 41 − 77
Dz = −36
■ Menentukan nilai x, y, z
Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir yaitu memilih nilai x, y, dan z memakai rumus berikut ini.
|
x
|
=
|
Dx
|
=
|
−27
|
=
|
3
|
|
D
|
−9
|
|
y
|
=
|
Dy
|
=
|
−18
|
=
|
2
|
|
D
|
−9
|
|
z
|
=
|
Dz
|
=
|
−36
|
=
|
4
|
|
D
|
−9
|
Dengan demikian, himpunan solusi dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas yakni HP = (3, 2, 4).
5. Penyelesaian SPLTV Metode Invers Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi dan berlaku A . B = B . A = 1, maka dibilang matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A atau ditulis B = A-1. Matriks yang memiliki invers disebut invertible atau matriks non singular. Sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Untuk mencari invers matriks persegi berordo 3×3, coba kalian perhatikan teladan berikut ini.
|
Jika A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
Dengan det A ≠ 0
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
|||
|
a3
|
b3
|
c3
|
Maka invers dari matriks A (ditulis A-1) dirumuskan selaku berikut.
A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)
|
A-1
|
=
|
1
|
adj
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||||
|
det A
|
||||||
|
a3
|
b3
|
c3
|
Jika det A = 0, maka matriks tersebut tidak memiliki invers atau disebut matriks singular. Untuk menentukan nilai determinan dan adjoin dari matriks A dapat digunakan cara berikut.
Determinan matriks A
■ Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi unsur dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi unsur dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.
|
A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a1
|
b1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
a2
|
b2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
a3
|
b3
|
■ Kemudian kalikan elemennya secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar dengan diagonal utama. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a1b2c3, b1c2a3, dan c1a2b3. Ketiga hasil perkalian elemen matriks tersebut bertanda konkret. Perhatika diagram perkalian matriks berikut ini.
|
|
+
|
+
|
+
|
|
|
|
|
A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a1
|
b1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
a2
|
b2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
a3
|
b3
|
■ Setelah itu, kalian searah dengan sejajar diagonal samping. Ada tiga hasil perkaliannya, ialah a3b2c1, b3c2a1, dan c3a2b1. Ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda negatif. Perhatikan diagram perkalian matriks berikut.
|
|
|
|
|
|
−
|
−
|
−
|
|
A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a1
|
b1
|
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
a2
|
b2
|
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
a3
|
b3
|
|
■ Determinan dari matriks A adalah jumlah semua hasil perkalian bertandanya yakni:
det A = (a1b2c3) + (b1c2a3) + (c1a2b3) + (−a3b2c1) + (−b3c2a1) + (−c3a2b1)
det A = (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
Adjoin matriks A
Untuk menentukan nilai adjoin matriks A digunakan rumus berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Makara sebelum mampu memilih nilai adjoin, kita mesti menentukan dulu matriks kofaktor A yang ditranspose.
Matriks Kofaktor A [kof(A)]
Elemen-bagian matriks kofaktor A ialah sebagai berikut.
|
kof(A)
|
=
|
K11
|
K12
|
K13
|
|
K21
|
K22
|
K23
|
||
|
K31
|
K32
|
K33
|
Kesembilan elemen K tersebut dapat pastikan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan selaku berikut.
K11 = (−1)1 + 1 M11
M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A.
|
M11
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
M11
|
=
|
b2
|
c2
|
=
|
(b2c3) – (b3c2)
|
|
b3
|
c3
|
Dengan demikian, nilai dari K11 ialah sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 [(b2c3) – (b3c2)]
K12 = (−1)1 + 2 M12
M12 yakni determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A.
|
M12
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
M12
|
=
|
a2
|
c2
|
=
|
(a2c3) – (a3c2)
|
|
a3
|
c3
|
Dengan demikian, nilai dari K12 adalah selaku berikut.
K12 = (−1)1 + 2 [(a2c3) – (a3c2)]
K13 = (−1)1 + 3 M13
M13 ialah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A.
|
M13
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
M13
|
=
|
a2
|
b2
|
=
|
(a2b3) – (a3b2)
|
|
a3
|
b3
|
Dengan demikian, nilai dari K13 yaitu selaku berikut.
K13 = (−1)1 + 3 [(a2b3) – (a3b2)]
K21 = (−1)2 + 1 M21
M21 yaitu determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A.
|
M21
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
M21
|
=
|
b1
|
c1
|
=
|
(b1c3) – (b3c1)
|
|
b3
|
c3
|
Dengan demikian, nilai dari K21 ialah sebagai berikut.
K21 = (−1)2 + 1 [(b1c3) – (b3c1)]
K22 = (−1)2 + 2 M22
M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A.
|
M22
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
M22
|
=
|
a1
|
c1
|
=
|
(a1c3) – (a3c1)
|
|
a3
|
c3
|
Dengan demikian, nilai dari K22 ialah selaku berikut.
K22 = (−1)2 + 2 [(a1c3) – (a3c1)]
K23 = (−1)2 + 3 M23
M23 yakni determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.
|
M23
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
M23
|
=
|
a1
|
b1
|
=
|
(a1b3) – (a3b1)
|
|
a3
|
b3
|
Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut.
K23 = (−1)2 + 3 [(a1b3) – (a3b1)]
K31 = (−1)3+ 1 M31
M31 ialah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.
|
M31
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
M31
|
=
|
b1
|
c1
|
=
|
(b1c2) – (b2c1)
|
|
b2
|
c2
|
Dengan demikian, nilai dari K31 yaitu selaku berikut.
K31 = (−1)3 + 1 [(b1c2) – (b2c1)]
K32 = (−1)3+ 2 M32
M32 yakni determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A.
|
M32
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
M32
|
=
|
a1
|
c1
|
=
|
(a1c2) – (a2c1)
|
|
a2
|
c2
|
Dengan demikian, nilai dari K32 adalah selaku berikut.
K32 = (−1)3 + 2 [(a1c2) – (a2c1)]
K33 = (−1)3+ 3 M33
M33 yakni determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.
|
M33
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
|
M33
|
=
|
a1
|
b1
|
=
|
(a1b2) – (a2b1)
|
|
a2
|
b2
|
Dengan demikian, nilai dari K33 adalah selaku berikut.
K33 = (−1)3 + 3 [(a1b2) – (a2b1)]
Matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]
Transpose dari matriks kofaktor A diperoleh dengan cara mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Perhatikan cara berikut.
|
kof(A)
|
=
|
K11
|
K12
|
K13
|
|
K21
|
K22
|
K23
|
||
|
K31
|
K32
|
K33
|
|
[kof(A)]T
|
=
|
K11
|
K21
|
K31
|
|
K12
|
K22
|
K32
|
||
|
K13
|
K23
|
K33
|
Dengan demikian, nilai adjoin dari matriks A ialah sebagai berikut
Adj A = (matriks kofaktor A)T
|
Adj A
|
=
|
K11
|
K21
|
K31
|
|
K12
|
K22
|
K32
|
||
|
K13
|
K23
|
K33
|