Penyelesaian SPLTV dengan Invers Matriks?
Invers matrik dapat digunakan untuk mempermudah dalam memilih himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear baik itu dua variabel maupun tiga variabel. Untuk memilih penyelesaian SPLTV dengan invers matriks, terlebih dahulu kita ubah bentuk umum SPLTV menjadi bentuk matriks. Perhatikan penjelasan berikut.
Bentuk lazim metode persamaan linear dua variabel ialah sebagai berikut.
a1x + b1y + c1z = d1 …………… Pers. (1)
a2x + b2y + c2z = d2 …………… Pers. (2)
a3x + b3y + c3z = d3 …………… Pers. (3)
Persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks mirip di bawah ini.
AX = B
Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X menampung variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B menampung konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B ialah selaku berikut.
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
x
|
=
|
d1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
y
|
d2
|
||
|
a3
|
b3
|
c3
|
z
|
d3
|
Tujuan menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ialah untuk menentukan nilai x, y, dan z yang menyanggupi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B mesti kita ubah menjadi bentuk invers mirip berikut.
AX = B
X = A-1B
A-1 merupakan invers matriks A. Dengan memakai rumus invers matriks di atas, maka bentuk matriks dari X = A-1B yakni sebagai berikut.
|
x
|
=
|
1
|
|
K11
|
K21
|
K31
|
|
d1
|
|
y
|
K12
|
K22
|
K32
|
|
d2
|
|||
|
(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
|
||||||||
|
z
|
K13
|
K23
|
K33
|
|
d3
|
Nah, rumus inilah yang digunakan untuk menentukan nilai x, y, dan z dari tata cara persamaan linear tiga variabel.
Contoh Soal:
Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukanlah himpunan solusi dari tata cara persamaan linear tiga variabel berikut ini.
2x + y – z = 1
x + y + z = 6
x – 2y + z = 0
Penyelesaian:
Pertama, kita buat nama yang spesifik dari ketiga metode persamaan linear di atas, ialah sebagai berikut.
2x + y – z = 1 …………… Pers. (1)
x + y + z = 6 …….……… Pers. (2)
x – 2y + z = 0 …………… Pers. (3)
Kemudian, persamaan (1), (2), dan (3) kita susun dalam bentuk matriks berikut.
AX = B
Matriks A menampung koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B yakni sebagai berikut.
|
2
|
1
|
−1
|
|
x
|
=
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
y
|
6
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
z
|
0
|
Untuk menentukan nilai x, y, dan z maka bentuk matriks AX = B mesti kita ubah menjadi bentuk invers mirip berikut.
AX = B
X = A-1B
Matriks dari A-1 dirumuskan sebagai berikut.
A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)
|
A-1
|
=
|
1
|
adj
|
a1
|
b1
|
c1
|
|
a2
|
b2
|
c2
|
||||
|
det A
|
||||||
|
a3
|
b3
|
c3
|
Sampai tahap ini, kita mesti memilih nilai dari determinan matriks A dan juga adjoin matriks A. Penjelasannya ialah sebagai berikut.
Menentukan determinan matriks A
Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi komponen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi komponen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.
|
A
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
2
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
1
|
−2
|
Dari bentuk matrik di atas, nilai determinan dari matriks A adalah selaku berikut.
det A = [(2)(1)(1) + (1)(1)(1) + (−1)(1)(−2)] – [(1)(1)(−1) + (−2)(1)(2) + (1)(1)(1)]
det A = [2 + 1 + 2] – [−1 – 4 + 1]
det A = 5 – (−4)
det A = 9
Adjoin matriks A
Untuk memilih adjoin matriks A dipakai rumus berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Kaprikornus sebelum mampu menentukan adjoin matriks, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose.
Menentukan matriks kofaktor A [kof(A)]
Elemen-elemen matriks kofaktor A ialah sebagai berikut.
|
kof(A)
|
=
|
K11
|
K12
|
K13
|
|
K21
|
K22
|
K23
|
||
|
K31
|
K32
|
K33
|
Kesembilan elemen K tersebut mampu tentukan dengan memakai minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 M11
M11 yakni determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A.
|
M11
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
|
M11
|
=
|
1
|
1
|
=
|
[(1)(1)] – [(−2)(1)]
|
=
|
3
|
|
−2
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K11 yakni sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 (3) = 3
K12 = (−1)1 + 2 M12
M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A.
|
M12
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
|
M12
|
=
|
1
|
1
|
=
|
[(1)(1)] – [(1)(1)]
|
=
|
0
|
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K12 yakni selaku berikut.
K12 = (−1)1 + 2 (0) = 0
K13 = (−1)1 + 3 M13
M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A.
|
M13
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
|
M13
|
=
|
1
|
1
|
=
|
[(1)(−2)] – [(1)(1)]
|
=
|
−3
|
|
1
|
−2
|
Dengan demikian, nilai dari K13 adalah selaku berikut.
K13 = (−1)1 + 3 (−3) = −3
K21 = (−1)2 + 1 M21
M21 ialah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A.
|
M21
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
|
M21
|
=
|
1
|
−1
|
=
|
[(1)(1)] – [(−2)(−1)]
|
=
|
−1
|
|
−2
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K21 yakni sebagai berikut.
K21 = (−1)2 + 1 (−1) = 1
K22 = (−1)2 + 2 M22
M22 ialah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A.
|
M22
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
|
M22
|
=
|
2
|
−1
|
=
|
[(2)(1)] – [(1)(−1)]
|
=
|
3
|
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K22 yaitu sebagai berikut.
K22 = (−1)2 + 2 (3) = 3
K23 = (−1)2 + 3 M23
M23 ialah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.
|
M23
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
|
M23
|
=
|
2
|
1
|
=
|
[(2)(−2)] – [(1)(1)]
|
=
|
−5
|
|
1
|
−2
|
Dengan demikian, nilai dari K23 ialah sebagai berikut.
K23 = (−1)2 + 3 (−5) = 5
K31 = (−1)3+ 1 M31
M31 ialah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.
|
M31
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
|
M31
|
=
|
1
|
−1
|
=
|
[(1)(1)] – [(1)(−1)]
|
=
|
2
|
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K31 ialah sebagai berikut.
K31 = (−1)3 + 1 (2) = 2
K32 = (−1)3+ 2 M32
M32 yakni determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A.
|
M32
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
|
M32
|
=
|
2
|
−1
|
=
|
[(2)(1)] – [(1)(−1)]
|
=
|
3
|
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K32 adalah selaku berikut.
K32 = (−1)3 + 2 (3) = −3
K33 = (−1)3+ 3 M33
M33 yakni determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.
|
M33
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
1
|
1
|
||
|
1
|
−2
|
1
|
|
M33
|
=
|
2
|
1
|
=
|
[(2)(1)] – [(1)(1)]
|
=
|
1
|
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K33 yakni sebagai berikut.
K33 = (−1)3 + 3 (1) = 1
Sekarang kita kumpulkan semua nilai K yang diperoleh dari perhitungan di atas, yaitu selaku berikut.
|
K11 = 3
|
|
K21 = 1
|
|
K31 = 2
|
|
K12 = 0
|
|
K22 = 3
|
|
K32 = −3
|
|
K13 = −3
|
|
K23 = 5
|
|
K33 = 1
|
Dengan demikian, bentuk dari matriks kofaktor A yakni selaku berikut.
|
kof(A)
|
=
|
3
|
0
|
−3
|
|
1
|
3
|
5
|
||
|
2
|
−3
|
1
|
Menentukan matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]
Bentuk matriks transpose diperoleh dengan cara menukar unsur-unsur baris sebuah matriks menjadi elemen-bagian kolom dan menukar bagian-elemen kolom menjadi komponen-bagian baris. Dengan demikian, bentuk matriks transpose dari matriks kofaktor A adalah selaku berikut.
|
[kof(A)]T
|
=
|
3
|
1
|
2
|
|
0
|
3
|
−3
|
||
|
−3
|
5
|
1
|
Bentuk transpose dari matriks kofaktor A ialah matriks adjoin A, sehingga adjoin dari matriks A ialah selaku berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
|
Adj A
|
=
|
3
|
1
|
2
|
|
0
|
3
|
−3
|
||
|
−3
|
5
|
1
|
Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan mengubah bentuk matriks AX = B menjadi bentuk invers mirip berikut.
AX = B
X = A-1B
|
x
|
=
|
1
|
adj
|
2
|
1
|
−1
|
|
1
|
|
y
|
1
|
1
|
1
|
|
6
|
|||
|
det A
|
|
|||||||
|
z
|
1
|
−2
|
1
|
|
0
|
|
x
|
=
|
1
|
|
3
|
1
|
2
|
|
1
|
|
y
|
0
|
3
|
−3
|
|
6
|
|||
|
9
|
||||||||
|
z
|
−3
|
5
|
1
|
|
0
|
|
x
|
=
|
3/9
|
1/9
|
2/9
|
|
1
|
|
y
|
0/9
|
3/9
|
−3/9
|
|
6
|
|
|
z
|
−3/9
|
5/9
|
1/9
|
|
0
|
|
x
|
=
|
(3/9 × 1) + (1/9 × 6) + (2/9 × 0)
|
|
y
|
(0/9 × 1) + (3/9 × 6) + (−3/9 × 0)
|
|
|
z
|
(−3/9 × 1) + (5/9 × 6) + (1/9 × 0)
|
|
x
|
=
|
3/9 + 6/9 + 0
|
|
y
|
0 + 18/9 + 0
|
|
|
z
|
−3/9 + 30/9 + 0
|
|
x
|
=
|
9/9
|
|
y
|
18/9
|
|
|
z
|
27/9
|
|
x
|
=
|
1
|
|
y
|
2
|
|
|
z
|
3
|
Jadi, kita peroleh nilai x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian tata cara persamaan linear di atas adalah (1, 2, 3).
Bagian 2