Tranformasi Geometri - Blog Ilmu Pengetahuan

Transformasi Geometri yakni proses pemindahan atau pembentukan hasil atau bayangan dari suatu titik atau kurva.

Jenis Jenis transformasi
1. Translasi
2. Dilatasi
3. Refleksi
4. Rotasi
5. Matriks/ transformasi bebas
Oke kita pribadi saja terhadap materi yang pertama yakni translasi

TRANSLASI (PERGESERAN)
Translasi terbagi menjadi 2, yakni translasi titik dan translasi garis
Translasi Titik
Jika titik A(x,y) ditranslasikan dengan $T=\binomab$ , bayangan titik tersebut adalah titik A’ yang dirumuskan selaku berikut.

$A(x,y)\rightarrow T=\binomab\rightarrow A'(x+a,y+b)$

Contoh
1. Diketahui $A\binom34$ kemudian di Translasikan dengan $T\binom54$ . Maka carilah hasil dari translasi titik tersebut !
Penyelesaian
$A + T =A^'$
$A\binom34$ ditranslasikan $T\binom54$ = $A^'\binom3+54+4$

maka akibatnya menjadi $A^'\binom88$
mudah sekali bukan ??

Translasi garis
1. Diketahui $g = 2x + y$ ditranslasikan dengan $T\binom12$ . Maka carilah hasil dari transalasi garis tersebut !
Penyelesaian

$\binomx^'y^'= T + \binomxy$
$\binomx^'y^'= \binom12 + \binomxy$
$\binomx^'y^'= \binom1+x2+y$

$x^'= 1+x$ dan $y^'= 2+y$
$x^'-1= x$ $y^'-2= y$
maka sehabis ini, tinggal menggnti nilai x dan y dengan persamaan diatas
$g = 2x + y$

$2(x^'-1)+(y^'-2)= 6$

$2x^'-2+y^'-2= 6$

$2x^'+y^'-4= 6$

$2x^'+y^'= 6+4$

$2x^'+y^'= 10$

DILATASI (PERKALIAN)
⏩ Pusat (0.0)

$B^' = K . B$

⏩ Pusat (a,b)
Contoh Soal
Dilatasi titik
1. Sebuah titik $C(2,3)$ didilatasikan dengan pusat (0,0) dengan skala 3. Bayangan titik C ialah ….
Penyelesaian
$C^' = K .C$

$C^' = 3 .(2,3)$

$C^' = (6,9)$

Dilatasi garis
2. Suatu garis g adalah $x + 2y = 4$ di dilatasikan dengan sentra (0,0) dengan skala 2. Bayangan garis g tersebut ialah ….
Penyelesaian
$g^'= k . g$

$\binomx^'y^'= 2 \binomxy$

$\binomx^'y^'= \binom2x2y$
di uraikan menjadi

$x^'= 2x$ dan $y^'= 2y$

$\frac1x^'2= x$ $\frac1y^'2= y$ (suatu persamaan )

kalau sudah mirip ini, kita sudah mengenali nilai x dan y nya maka kita tinggal mengganti nilai x dan y yang ada disoal $x + 2y = 4$ dengan x dan y yang menjadi persamaan

$x + 2y = 4$

$\frac1x^'2+ 2 (\frac1y^'2)= 4$

$\frac1x^'2+ 1y^'= 4$
mudah bukan ??

$x^'-1= x$

REFLEKSI Refleksi (Pencerminan)
a. Pencerminan terhadap sumbu X
Jika titik A(x,y) dicerminkan kepada sumbu X, maka bayangan titiknya dirumuskan selaku berikut.

$A(x,y)\rightarrow sumbu X\rightarrow A'(x,-y)$

b. Pencerminan terhadap sumbu Y

Kumpulan Soal dan Pembahasan Translasi (Pergeseran)

Jika titik A(x,y) dicerminkan kepada sumbu Y, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow sumbu Y\rightarrow A'(-x,y)$

c. Pencerminan terhadap garis x = h
Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis x = h, maka bayangan titiknya dirumuskan selaku berikut.

$A(x,y)\rightarrow x=h\rightarrow A'(2h-x,y)$

d. Pencerminan kepada garis y = k
Jika titik A(x,y) dicerminkan kepada garis y = k, maka bayangan titiknya dirumuskan selaku berikut.

$A(x,y)\rightarrow y=k\rightarrow A'(x, 2k-y)$

e. Pencerminan terhadap garis y = x
Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangan titiknya dirumuskan selaku berikut.

$A(x,y)\rightarrow y=x\rightarrow A'(y,x)$

f. Pencerminan terhadap garis y = -x
Jika titik A(x,y) dicerminkan kepada garis y = -x, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow y=-x\rightarrow A'(-y,-x)$

ROTASI
Rotasi (Perputaran)
Bayangan titik A(x,y) yang dirotasikan kepada titik pusat O(0,0) sejauh $\alpha$ bertentangan arah putaran jarum jam mampu ditulis ke dalam matriks sebagai berikut.

$A'=\binomx'y'=\beginpmatrix cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \endpmatrix\binomxy$

Bayangan titik (x,y) yang dirotasikan kepada titik sentra P(a,b) sejauh $\alpha$ berlawanan arah putaran jarum jam mampu ditulis ke dalam matriks sebagai berikut.

$A'=\binomx'y'=\beginpmatrix cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \endpmatrix\binomx-ay-b+\binomab$

a. Perputaran kepada titik sentra O(0,0) sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam
Jika titik A(x,y) dirotasi kepada titik sentra O(0,0) sajauh $90^0$ searah putaran jarum jam, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow \left [ 0,90 \right ]\rightarrow A'(y,-x)$

b. Perputaran terhadap titik pusat O(0,0) sejauh $90^0$ berlawanan arah putaran jarum jam
Jika titik A(x,y) dirotasi terhadap titik pusat O(0,0) sajauh $90^0$ bertentangan arah putaran jarum jam, maka bayangan titiknya dirumuskan selaku berikut.

$A(x,y)\rightarrow \left [ 0,90 \right ]\rightarrow A'(-y,x)$

c. Perputaran kepada titik sentra O(0,0) sejauh $180^0$ searah putaran jarum jam
Jika titik A(x,y) dirotasi kepada titik sentra O(0,0) sajauh $180^0$ searah putaran jarum jam, maka bayangan titiknya dirumuskan selaku berikut.

$[A(x,y)\rightarrow \left [ 0,-180 \right ]\rightarrow A'(-x,-y)]$

d. Perputaran terhadap titik sentra O(0,0) sejauh $180^0$ bertentangan arah putaran jarum jam
Jika titik A(x,y) dirotasi terhadap titik pusat O(0,0) sajauh $180^0$ bertentangan arah putaran jarum jam, maka bayangan titiknya dirumuskan selaku berikut.

$[A(x,y)\rightarrow \left [ 0,180 \right ]\rightarrow A'(-x,-y)]$

Telaah Soal Tipe UN
1. Bayangan dari titik A(6, -5) selaku hasil refleksi kepada sumbu Y, kemudian dilanjutkan dilatasi dengan sentra O(0,0) dan faktor skala 2 ialah ….
A. A”(-12,-12)
B. A”(-12,-10)
C. A”(10,-12)
D. A”(10,12)
E. A”(12,10)
Jawaban B
Pembahasan
Bayangan titik A(6,-5) oleh refleksi kepada sumbu Y $(x,y)\rightarrow sumbuY\rightarrow (-x,y)$

$A(6,-5)\rightarrow sumbuY\rightarrow (-6,-5)$
Bayangan titik A'(-6,-5) oleh dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor K=2

$\colorDarkBlue [(x,y)\rightarrow \left [ O,k \right ]\rightarrow (kx,ky)]$

$A(-6,-5)\rightarrow \left [ O,2 \right ]\rightarrow A$
A”(-12,-10)

2. Diketahui $\Delta ABC$ dengan koordinat titik A(-4,1), L(2,1) dan M(3,5). Koordinat bayangan jikalau segitiga didilatasi dengan faktor skala -3 dan berpusat di (1,-2) yaitu …
A. A'(16,-11), B'(-2,11) dan C'(5,-23)
B. A'(16,-11), B'(-2,11) dan C'(-5,-23)
C. A'(16,-11), B'(-2,-11) dan C'(-5,-23)
D. A'(15,-11), B'(2,11) dan C'(-5,-23)
E. A'(15,-11), B'(-2,-11) dan C'(5,-23)
Jawaban C
Pembahasan
Ingat Rumus

$\colorDarkBlue [(x,y)\rightarrow \left [ P(a,b),k \right ]\rightarrow (k(x-a))+a), (k(y-b)+b)]$
Penjabarannya

$A(-4,1)\rightarrow \left [ P(1,-2),-3 \right ]\rightarrow (-3(-4-1))+1), (-3(1-(-2))-2)$

$=A'(16,-11)$

$B(2,1)\rightarrow \left [ P(1,-2),-3 \right ]\rightarrow (-3(2-1))+1), (-3(1-(-2))-2)]$

$=B'(-2,-11)$

$C(3,5)\rightarrow \left [ P(1,-2),-3 \right ]\rightarrow (-3(3-1))+1), (-3(5-(-2))-2)$
$=C'(-5,-23)$
3. Bayangan titik A(6,-3) oleh translasi $T=\binom4-1$ , lalu dilanjutkan rotasi sejauh $90^0$ searah jarum jam dengan pusat O(0,0) yakni ….
A. A”(-2,-4)
B. A”(-4,-10)
C. A”(-4,10)
D. A”(-10, 4)
E. A”(10,-4)
Jawaban B
Pembahasan:
Bayangan titik A(6,-3) oleh translasi $T=\binom4-1$

$\colorDarkBlue (x,y)\rightarrow T=\binomab\rightarrow (x+a,y+b)$
$A(6,-3)\rightarrow T=\binom4-1\rightarrow A'(6+4,-3+(-1))$
$=A'(10,-4)$
Bayangan A'(10,-4) olrh rotasi sejauh $90^0$ searah jarum jam dengan sentra O(0,0).

$\colorDarkBlue A(x,y)\rightarrow \left [ 0,90 \right ]\rightarrow A'(y,-x)$

$A'(10,-4)\rightarrow \left [ 0,-90 \right ]\rightarrow A$ “(-4,-10)

4. Bayangan titik B(4,-3) yang didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan aspek skala 4, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = 2 ialah …
A. B”(-8,-16)
B. B”(-8,16)
C. B”(8,16)
D. B”(16,-8)
E. B”(16,8)
Jawaban E
Pembahasan
Bayangan titik B(4,-3) oleh didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala 4

$\colorDarkBlue [(x,y)\rightarrow \left [ O,k \right ]\rightarrow (kx,ky)]$

$B(4,-3)\rightarrow \left [ O,4 \right ]\rightarrow '$ B'(4(4), 4(-3))
=B'(16, -12)
Bayangan B'(16,-12) oleh pencerminan kepada garis y = -2

$\colorDarkBlue (x,y)\rightarrow y=k\rightarrow (x, 2k-y)$

$B'(16,-12)\rightarrow y=-2\rightarrow B$ “(16 ,2(-2)-(-2))
= B”(16,8)

Semoga Bermanfaat

Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks