Teorema Sisa Acuan Soal Dan Pembahasan

by

Teorema Sisa  Matematika Kelas 11 SMA


Teorema sisa merupakan bahan lanjutan dari suku banyak yang sudah dibahas sebelumnya, yang membahas ihwal pembagian suku banyak dengan sistem horner dan tata cara bersusun, dan juga kesamaan suku banyak. 

Pada pembahasan kali ini yakni bahan perihal teorema sisa.
Sisa pembagian sebuah suku banyak mampu diputuskan dengan teorema sisa ialah:

Jika suku banyak f(x) dibagi x – k , maka sisanya yaitu f(k)


Pembagi berbentuk (x – b)

Contoh 1:

1).Tentukan sisa pada pembagian  f(x) = 2x3 + x2 – 5x + 2  dibagi dengan x + 1

[Penyelesaian]
Dengan memakai teorema sisa, maka sisanya adalah f(–1)
Dengan tata cara subtitusi:

merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Jadi, sisa pembagian S = 6

 Dengan metode Horner:
Buat apalagi dulu bagan atau bagan mirip dibawah ini, 
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan

Dari bagan diatas diperoleh hasil bagi:  2x2  – x  –  4  sisa = 6

Jelas dari dua metode ini teorema sisa tata cara horner lebih baik dari pada sistem subtitusi alasannya adalah dengan sistem horner tidak hanya sisa yang didapat tetapi juga hasil bagi, sedangkan dengan tata cara subtitusi cuma diperoleh sisa pembagian saja.

Teorema sisa – Pembagi berbentuk (ax + b)


2). Jika f(x) = 3x3 –8x2 + ax  –4 dibagi 3x-2  sisanya – 2, tentukanlah nilai a

[Penyelesaian]
Untuk soal ini lebih gampang dengan teorema sisa tata cara subtitusi,

merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
3). Suku banyak  a6 + 6b6  dibagi dengan  a2 + b2   tentukan sisanya.

[Penyelesaian]
Suku banyak ini dipandang suku banyak variabel dalam a dan b dipandang selaku konstanta, maka:
Dengan mensubtitusi  a2 = – b2  , maka
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Jadi, sisanya yaitu : 5b6

4). Jika f(x) dibagi x – 3 sisanya 3, sedangkan kalau dibagi x + 4 sisanya –4
Tentukanlah sisanya jikalau f(x) dibagi (x – 3)( x + 4), dengan memakai teorema sisa.

[Penyelesaian]
Misalkan hasil baginya H(x) dan sisanya (ax + b), maka dengan menggunakan teorema sisa:
f(x) =(x – 3)( x + 4).H(x) + (ax + b)
f(3) = 3a + b = 3 …..(1)
f(–4) = –4a + b = – 4 ……(2)
Dari (2) – (1), a = 1 dan b = 0
Kaprikornus, sisa = ax + b = x

Pembagian suku banyak Pembagi berupa kuadrat


Contoh 2 :

1). Jika f(x) dibagi x + 1, x + 2 dan x + 3 maka sisanya berturut-turut ialah 2, 3 dan 6. Tentukanlah sisanya jikalau f(x) dibagi  (x + 1)( x + 2) ( x + 3)

[penyelesaian]
Pembagi (x + 1)( x + 2) ( x + 3) berderajat tiga, maka sisanya maksimum berderajat 2. Misalkan sisanya  ax2  + bx  + c  dan hasil bagi H(x), maka
F(x) =(x + 1)( x + 2) ( x + 3). H(x) + ax2  + bx  + c
F(-1) = a-b+c = 2 ……(1)
F(-2) = 4a-2b+c = 3 ……(2)
F(-3) = 9a-3b+c= 6 ….(3)

Dari persamaan (2) – persamaan (1)  diperoleh:
3a – b = 1  …..(4)
Dari (3) – (2), diperoleh 5a – b = 3 …….(5)
Dari (5) – (4), diperoleh a = 1
subtitusikan a = 1 ke (4) di peroleh b = 2
subtitusikan  a = 1 dan b = 2 ke pers (1) di peroleh  c = 3
Kaprikornus, sisa = ax2  + bx  + c = x2 + 2x + 3


2). Dengan memakai teorema sisa tentukanlah sisa jikalau f(x) = x5  –4x3  + 3 dibagi dengan x2 – 2x – 3

[Penyelesaian]
Misalkan hasil baginya H(x) dan sisanya S = (ax + b) alasannya adalah pembagi berderajat dua, maka diperoleh kekerabatan:
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Faktor-aspek linier pembagi x = 3 dan x = – 1 , maka
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Dengan eliminasi persamaan (1) – (2):
Diperoleh  a = 33 
Subtitusikan a = 33  ke persamaan (2) diperoleh b = 39 .
Makara, Sisa = ax + b = 33x + 39

3). Jika x5  + ax3  + b dibagi dengan  x2 – 1 sisanya yaitu 2x+1
Tentukanlah nilai a dan b dengan teorema sisa.

[Penyelesaian]
Misalkan hasil baginya H(x) dan sisanya S = (2x + 1) karena pembagi berderajat dua, maka:
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Dengan memfaktorkan diperoleh faktor-faktor linier pembagi x = 1 dan x = – 1 , maka

merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Dengan eliminasi persamaan (1) – persamaan (2):
diperoleh a = 1 dan b = 1

4). Tentukanlah nilai dari x4  – x2  + 6x –4  
jika diketahui   merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan

[Penyelesaian]
Untuk menuntaskan soal ini kita gunakan teorema sisa,  karena tata cara subtitusi nyaris mustahil dikerjakan.
Ubah apalagi dahulu bentuk pembagi nya dengan manipulasi aljabar,
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Ruas kiri dan ruas kanan di kali 2 ,
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Kuadratkan kedua ruas,
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Persamaan (1) adalah pembagi dari f(x) = x4  – x2  + 6x –4 dan sisanya misalkan ax + b, dicari terlebih dahulu sisanya dengan metode bersusun,
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan

Diperoleh sisa = 4x – 3, sehingga diperoleh relasi:
merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Subtitusikan  merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan   ke persamaan (3):

merupakan materi lanjutan dari suku banyak Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan
Semoga postingan ihwal teorema sisa ini berfaedah!

Artikel Terkait:
□ Suku Banyak
□ Teorema Faktor

  Teorema Sisa Contoh Soal Dan Pembahasan