Teladan Soal Turunan Fungsi Aljabar Dan Pembahasannya

by

Materi bimbingan mata pelajaran matematika kita kali ini akan membicarakan wacana “Turunan” atau yang diketahui dengan nama lain “Differensiasi“.

Dalam penelitian fisika, seperti bandul memakai turunan, pergerakannya mempunyai nilai yang dapat di gunakan sebagai turunan. Seperti halnya dengan lempar lembing,lempar cakram, menembak, dan lain – lain. Setiap waktu dan percepatannya memiliki nilai yang mampu mengetahui penurunan. Begitu juga penurunan di gunakan dalam astronomi,geografi,dan ekonomi.

Definisi Turunan

Turunan fungsi aljabar merupakan ekspansi dari materi limit fungsi. Turunan fungsi dinotasikan f'(x), dengan rumus :

f'(x) =

lim x→0
f(x + h) – f(x)/h

Bentuk limit di atas disebut dengan derivatif atau turunan pertama fungsi f(x) dan ditulis f'(x). Proses mencari derivatif disebut dengan differensial.

Jenis-Jenis Notasi Turunan

Jika membaca beberapa sumber rujukan, terdapat penulisan notasi yang berlawanan-beda dalam melambangkan suatu turunan. Terdapat tiga jenis notasi turunan yaitu :

  • y’ = f'(x) , merupakan notasi Lagrange
  • dy/dx

    =

    df(x)/dx

    , merupakan notasi >Leibniz

  • Dxy = Dx[f(x)] , merupakan notasi Euler.

Soal – Soal Latihan Turunan

Soal No.1

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 10x
b) f(x) = 8
c) f(x) = 12

Pembahasan

a) f(x) = 10x
⇔f(x) = 10x1
⇔f'(x) = 10x1−1
⇔f'(x) = 10x0
⇔f'(x) = 10

b) f(x) = 8
⇔f(x) = 8x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 8x0−1
⇔f'(x) = 0

c) f(x) = 12
⇔f(x) = 12x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 12x0−1
⇔f'(x) = 0

Soal No.2

Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi di bawah ini :
a. f(x) = 6x
b. f(x) = x4
c. f(x) = -4x5
d. f(x) = 4x3 – 3x2 + 8x -5

Pembahasan

a. f(x) = 6x
⇔ f'(x) = 6

b. f(x) = x4
⇔ f'(x) = 4x3

c. f(x) = -4x5
⇔ f'(x) = -20x4

d. f(x) = 4x3 – 3x2 + 8x -5
⇔ f'(x) = 12x2 – 6x + 8

Soal No.3

Carilah Turunan Kedua (f”(x)) dari fungsi f(x) = 4x3 – 3x2 + 8x – 5

Pembahasan

f(x) = 4x3 – 3x2 + 8x – 5
f'(x) = 4.3x(3-1) – 3.2x(2-1) + 8 – 0
f'(x) = 12x2 -6x + 8

f”(x) = 12.2x(2-1) – 6 + 0
f”(x) = 24x – 6

Soal No.4

Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini :
a. f(x) =

2/x

b. f(x) =

1/4x6

Pembahasan

a. f(x) =

2/x

⇔ f(x) = 2x-1
f'(x) = 2.(-1)x(-1-1)
f'(x) = -2x-2
f'(x) = –

2/x2

b. f(x) =

1/4x6

⇔ f(x) =

1/4

x-6
f'(x) =

1/4

.(-6) . x(-6-1)
f'(x) = –

3/2

x-7
f'(x) = –

3/2x7

Soal No.5

Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini :
a. f(x) = 3x1/2
b. f(x) = 6x3/2

Pembahasan

a. f(x) = 3x1/2
⇔ f'(x) =

1/2

. 3x(1/2 – 1)
⇔ f'(x) =

3/2

. x-1/2

b. f(x) = 6x3/2
⇔ f'(x) =

3/2

. 6x(3/2 – 1)
⇔ f'(x) = 9x1/2

Soal No.6

Carilah turunan f'(x) untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5)

Pembahasan

Misal :
u = (x2 + 2x + 3)
v = (4x + 5)

Sehingga didapatkan
u’ = 2x + 2
v’ = 4

Kemudian kita masukkan ke dalam rumus f'(x) = u’v + uv’ sehingga turunannya menjadi :
f'(x) = (2x + 2)(4x + 5) + (x2 + 2x + 3)(4)
f'(x) = 8x2 + 10x + 8x + 10 + 4x2 + 8x + 12
f'(x) = 8x2 + 4x2 + 10x + 8x + 8x + 10 + 12
f'(x) = 12x2 + 26x + 22

Soal No.7

Diketahui :
f(x) =

x2 + 3/2x + 1

Jika f ‘(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ‘ (0) =..?

Pembahasan

Untuk x = 0 maka nilai f(x) yaitu:
f(x) =

x2 + 3/2x + 1

f(0) =

02 + 3/2(0) + 1

= 3

Sedangkan untuk menentukan turunan kepada fungsi f(x) yang berbentuk hasil bagi, kita gunakan rumus :
f(x) =

u/v

f(x) =

u’v – uv’/v2

Dengan demikian, kita misalkan :
u = x2 + 3 ⇔ u’ = 2x
v = 2x + 1 ⇔ v’ = 2

Sehingga turunannya yakni:
f(x) =

x2 + 3/2x + 1

f'(x) =

(2x)(2x+1) – (x2+3)(2)/(2x + 1)2

f'(x) =

4x2 + 2x – 2x2 – 6/(2x + 1)2

f'(x) =

2x2 + 2x – 6/(2x + 1)2

Untuk nilai x = 0, maka di peroleh:
f'(0) =

2.02 + 2.0 – 6/(2.0 + 1)2

= -6

Sehingga f(0) + 2f'(0) = 3 + 2(−6) = − 9

Soal No.8

Jarak yang ditempuh sebuah kendaraan beroda empat dalam waktu t diputuskan oleh fungsi:

S(t) = 3t2 – 24t + 5

Hitunglah nilai t untuk menerima kecepatan maksimum mobil tersebut

Pembahasan

Untuk mencari kecepatan maksimum, maka persamaan tersebut harus diturunkan:
S(t) = 3t2 – 24t + 5
S'(t) = 2.3t(2-1) – 1.24t(1-1) + 0
S'(t) = 6t – 24 = 0
6t = 24
t =

24/6

= 4 detik

Soal No.9

Sebuah pabrik baju dalam memproduksi membutuhkan x meter kain yang dinyatakan dengan fungsi:

P(x) =

1/3

x2 – 12x + 150 (dalam juta rupiah)

Berapa ongkos produksi minimum yang dikeluarkan oleh pabrik baju tersebut ?

Pembahasan

P(x) akan bernilai minimum kalau P'(x) = 0

P(x) =

1/3

x2 – 12x + 150 (dalam juta rupiah)
P'(x) =

1/3

.2.x – 12
P'(x) =

2/3

x – 12

Karena kita akan mencari nilai minimum, sesuai dengan syarat P'(x) = 0, maka :
P'(x) = 0

2/3

x – 12 = 0

2/3

x = 12
x =

12.3/2

= 18

Dengan demikian, ongkos produksinya yaitu :
P(x) =

1/3

x2 – 12x + 150
P(18) =

1/3

(182) – 12(18) + 150
P(18) = 108 – 216 + 150
p(18) = 42 (dalam juta rupiah)

Soal No.10

Turunan dari fungsi f(x) =

x -2/x2 + 3

adalah …..
A.

x2 – 4x + 3/(x2 + 3)2

B.

2x2 – 3x + 1/(x2 + 3)2

C.

-x2 – 4x + 3/(x2 + 3)2

D.

-x2 + 4x + 3/(x2 + 3)2

Pembahasan

f(x) =

u/v

f(x) =

u’v – uv’/v2

Dengan demikian :
u = x – 2 ⇔ u’ = 1
v = x2 + 3 ⇔ v’ = 2x

Sehingga turunannya yakni:
f(x) =

x -2/x2 + 3

f'(x) =

(1)(x2 + 3) – ((x – 2)2x)/(x2 + 3)2

f'(x) =

x2 + 3 – 2x + 4x/(x2 + 3)2

f'(x) =

-x2 + 4x + 3/(x2 + 3)2

Jawab : D

  Dari premis-premis berikut: (1) Jika dia siswa SMA,