Acuan Soal Turunan Trigonometri Dan Pembahasannya

Tutorial kita kali ini adalah mata pelajaran matematika, dimana kita akan membicarakan berbagai jenis soal-soal yang berhubungan dengan turunan trigonometri.

Pada bimbingan sebelumnya kita telah mempelajari tentang turunan fungsi aljabar, maka dalam potensi ini dilanjutkan dengan turunan trigonometri.

Daftar Isi

Rumus Turunan Dasar Trigonometri

Berikut ini yakni beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan dilema turunan trigonometri:

1. f(x) = sin x → f ‘(x) = cos x
2. f(x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
3. f(x) = tan x → f ‘(x) = sec² x
4. f(x) = cot x → f ‘(x) = −csc²x
5. f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
6. f(x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x

Perluasan Rumus Turunan Trigonometri I

Misalkan u merupakan fungsi yang mampu diturunkan kepada x, dimana u' ialah turunan u kepada x, maka :

1. f(x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’
2. f(x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
3. f(x) = tan u → f ‘(x) = sec²u . u’
4. f(x) = cot u → f ‘(x) = −csc² u . u’
5. f(x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
6. f(x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’

Perluasan Rumus Turunan Trigonometri II

Berikut ini yakni turunan dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 :

1. f(x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
2. f(x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
3. f(x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec² (ax +b)
4. f(x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc² (ax+b)
5. f(x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
6. f(x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)

Contoh Soal Turunan Trigonometri

Soal No.1

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = 4 sin x
b. f(x) = 3 cos x
c. f(x) = -2 cos x
d. f(x) = 2 sec x
e. f(x) = 2 csc x

Penyelesaian sistem persamaan 4/2x + 1 + 5/y - 1 = 3 dan 8/2x + 1 + 7/y - 1 = 5

Pembahasan

a. f(x) = 4 sin x → f'(x) = 4 cos x
b. f(x) = 3 cos x → f'(x) = -3 sin x
c. f(x) = -2 cos x → f'(x) = -2 (-sin x) → f'(x) = 2 sin x
d. f(x) = 2 sec x → f'(x) = 2 sec x . tan x
e. f(x) = 2 csc x → f'(x) = 2 (-csc x . cos x) → f'(x) = -2 csc x . cot x

Soal No.2

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = sin 6x + cos 6x
b. f(x) = 3x⁴ + sin 2x + cos 3x
c. f(x) = tan 5x + sec 2x

Pembahasan

a. f(x) = sin 6x + cos 6x → f'(x) = 6 cos 6x – 6 sin 6x
b. f(x) = 3x⁴ + sin 2x + cos 3x → f'(x) = 12x³ + 2 cos 2x – 3 sin 3x
c. f(x) = tan 5x + sec 2x → f'(x) = 5 sec² 5x + sec 2x . tan 2x

Soal No.3

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = sin 3x
b. f(x) = sin x²
c. f(x) = sin 3x²
d. f(x) = sin (2x + 1)

Pembahasan

a. f(x) = sin 3x
Misalkan:
u = 3x ⇒ u’ = 3
f(x) = sin 3x
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos 3x . 3
f'(x) = 3 cos 3x

b. f(x) = sin x²
Misalkan:
u = x² ⇒ u’ = 2x
f(x) = sin x²
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos x² . 2x
f'(x) = 2x cos x²

c. f(x) = sin 3x²
Misalkan:
u = 3x² ⇒ u’ = 6x
f(x) = sin 3x²
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos 3x² . 6x
f'(x) = 6x cos 3x²

d. f(x) = sin (2x + 1)
Misalkan:
u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2
f(x) = sin (2x + 1)
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos (2x + 1) . 2
f'(x) = 2 cos (2x + 1)

Soal No.4

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = cos 3x
b. f(x) = cos x²
c. f(x) = cos 3x²
d. f(x) = cos (2x + 1)

Pembahasan

a. f(x) = cos 3x
Misalkan:
u = 3x ⇒ u’ = 3
f(x) = cos 3x
f'(x) = -sin u . u’
f'(x) = -sin 3x . 3
f'(x) = -3 sinx 3x

b. f(x) = cos x²
Misalkan:
u = x² ⇒ u’ = 2x
f(x) = cos x²
f'(x) = -sin u . u’
f'(x) = -sin x² . 2x
f'(x) = -2x sin x²

Bentuk sin5x + sin3x/cos5x + cos3x senilai dengan

c. f(x) = cos 3x²
Misalkan:
u = 3x² ⇒ u’ = 6x
f(x) = cos 3x²
f'(x) = -sin u . u’
f'(x) = -sin 3x² . 6x
f'(x) = -6x sin 3x²

d. f(x) = cos (2x + 1)
Misalkan:
u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2
f(x) = cos (2x + 1)
f'(x) = -sin u . u’
f'(x) = -sin (2x + 1) . 2
f'(x) = -2 sin (2x + 1)

Soal No.5

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = sin (x² + 3x + 1)
b. f(x) = cot (x³ + 3x² + 1)

Pembahasan

a. f(x) = sin (x² + 3x + 1)
Misalkan: u = x² + 3x + 1 ⇒ u’ = 2x + 3
f(x) = sin (x² + 3x + 1)
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos (x² + 3x + 1) . (2x + 3)
f'(x) = (2x + 3) cos (x² + 3x + 1)

b. f(x) = cot (x³ + 3x² + 1)
Misalkan : u = x³ + 3x² + 1 ⇒ u’ = 3x² + 6x
f(x) = cot (x³ + 3x² + 1)
f'(x) = -csc² u . u’
f'(x) = -csc² (x³ + 3x² + 1) . (3x² + 6x)
f'(x) = -(3x² + 6x) . csc² (x³ + 3x² + 1)

Soal No.6

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = sin x cos 3x
b. f(x) = tan x cos 4x

Pembahasan

a. f(x) = sin x cos 3x
Misal :
u = sin x ⇒ u’ = cos x
v = cos 3x ⇒ v’ = -3 sin 3x

Turunan dari bentuk fungsi tersebut adalah :
f'(x) = u’ . v + u . v’
f'(x) = cos x . cos 3x + sin x . -3 sin 3x
f'(x) = cos x . cos 3x − 3 sin x. sin 3x

b. f(x) = tan x cos 4x
Misal :
u = tan x ⇒ u’ = sec²x
v = cos 4x ⇒ v’ = -4 sin 4x
Turunan dari bentuk fungsi tersebut adalah :
f'(x) = u’ . v + u . v’
f'(x) = sec²x . cos 4x + tan x . -4 sin 4x
f'(x) = sec²x . cos 4x – 4 tan x . sin 4x

Soal No.7

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
y =

1 + cos x/sin x

Pembahasan

Misal :
u = 1 + cos x ⇒ u’ = -sin x
v = sin x ⇒ v’ = cos x

Maka :
y’ =

u’ . v + u . v’/v²

y’ =

-sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x)/sin² x

y’ =

-sin² x − cos² x − cos x/sin² x

y’ =

-(sin² x + cos² x) − cos x/sin² x

y’ =

-(1) – cos x/1 – cos² x

y’ =

-(1 + cos x)/(1 − cos x).(1 + cos x)

y’ =

-1/1 − cos x

y’ =

1/cos x – 1

Diketahui barisan aritmetika dengan U₁ + U₁₀ + U₁₉ = 96.

Soal No.8

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
y = sin² (2x + 3)

Pembahasan

Misalkan :
g(x) = 2x + 3 ⇒ g'(x) = 2

Rumus turunan untuk fungsi trigonometri berpangkat :
y = c sinⁿ g(x)
y’ = c. n sin^n-1 g(x) . cos g(x) . g'(x)

Sehingga : y = sin² (2x + 3)
y = sin(2x + 3)²
y’ = c. n sin^n-1 g(x) . cos g(x) . g'(x)
y’ = 2 sin^2-1 (2x + 3) . cos (2x + 3).(2)
y’ = 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)

Soal No.9

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
y = cos² (2x² + 3)

Pembahasan

Misalkan :
g(x) = (2x²) + 3 ⇒ g'(x) = 4x

Rumus turunan untuk fungsi trigonometri berpangkat :
y = c cosⁿ g(x)
y’ = -c. n cos^n-1 g(x) . sin g(x) . g'(x)

Sehingga :
y = cos² (2x² + 3)
y = cos(2x² + 3)²
y’ = -c. n cos^n-1 g(x) . sin g(x) . g'(x)
y’ = -2 cos^2-1 (2x² + 3) . sin (2x² + 3) . 4x
y’ = -8x cos (2x² + 3) . sin (2x² + 3)

Soal No.10

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
y = (sin x + cos x)^s

Pembahasan :

Misalkan :
g(x) = sin x + cos x ⇒ g'(x) = cos x – sin x

y = (sin x + cos x)²
y’ = n [g(x)]^n-1. g ‘(x)
y’ = 2 (sin x + cos x)^2-1.(cos x − sin x)
y’ = 2 (sin x + cos x).(cos x − sin x)
y’ = 2 (cos x + sin x).(cos x − sin x)
y’ = 2 (cos² x − sin² x)
y’ = 2 (cos² x − (1 − cos² x))
y’ = 2 (2cos² x − 1)
y’ = 4cos² x − 2.

Soal No.11

Carilah turunan dari y = x² cos 2x ?

Pembahasan

Misal :
u = x² ⇒ u’= 2x
v = cos 2x ⇒ v’= −2 sin 2x

y’ = u’.v + u.v’
y’ = 2x . cos 2x + (x²) . (−2 sin 2x)
y’ = 2x cos 2x − 2x² sin 2x
y’ = 2x(cos 2x − x sin 2x)

Soal No.12

Carilah turunan dari Tentukan turunan y = sin⁶(x² + 3x) ?

Pembahasan

Misalkan :
g(x) = (x² + 3x) ⇒ g'(x) = 2x + 3

Rumus turunan untuk fungsi trigonometri berpangkat :
y = c sinⁿ g(x)
y’ = c. n sin^n-1 g(x) . cos g(x) . g'(x)
y’ = 6 sin⁵ (x² + 3x) . cos (x² + 3x) . (2x + 3)
y’ = 6(2x + 3) sin⁵ (x² + 3x) . cos(x² + 3x)