Soal Cerita Materi Turunan – Media Masyarakat

Berikut ini ialah beberapa contoh soal dongeng dan pembahasannya pada bahan turunan. Mudah-mudahan dengan konten materi yang admin paparkan dibawah ini, bisa sedikit menolong kawan mitra dalam mengetahui desain bahan turunan dalam kehidupan sehari hari. Mari kita simak materi dibawah ini.

1. Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak $y =5t^2-4t +8$ dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda ketika t = 2 detik

Pembahasan
Persamaan kecepatan benda mampu diperoleh dengan cara menurunkan persamaan posisi benda
$y =5t^2-4t +8$
$v = y^'= 10t-4$ (persamaan ini yaitu hasil dari menurunkan persamaan diatas )
untuk t =2, maka kita tinggal mensubtitusikan saja kedalam persamaan yang telah diturunkan

$y^'= 10\colorDarkOrange t-4$
$y^'= 10\colorDarkOrange (2)-4$
$y^'= 16$
maka dengan demikian
$v= \textup16 m/detik$

2. Sebuah produksi rumahan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi menawarkan keuntungan $(150x-x^2)$ rupiah . Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh dari x buah barang tersebut ! Tulislah langkah penyelesaiannya !

Pembahasan
Misal
Keuntungan kita simbolkan dengan k, maka
$k=(150x-x^2). x$
$k=150x^2-x^3$
$k^'=300x-3x^2$
diperkecil menjadi
$k^'=100x-x^2$

Jika $k^'=0$ , maka
$100x-x^2=0$
$x(100-x)=0$
$\textupx=0 dan x=100$

$k=150x^2-x^3$
$k=150(100)^2-100^3$
$k=150(10.000)-1.000.000$
$k=1.500.000-1.000.000$
$k=500.000$

3. Sebuah benda dilemparkan keatas dengan persamaan gerak $S=150t-5t^2$ (S dalam meter dan t dalam detik). Tentukan kecepatan dalam detik kelima !

Pembahasan

$S=150\colorDarkOrange t-\colorDarkOrange 5t^\colorDarkOrange 2$
$S^'=150-\colorDarkOrange 10t$
$0=150-10t$
$\colorDarkOrange -150=-10t$
$\frac-150\colorDarkOrange -10=t$
$t= 15$

langkah berikutnya kita akan menghitung panjang lintasan atau s, yaitu dengan cara mensubtitusikan nilai t yang barusan kita cari kedalam persaman gerak $S=150t-5t^2$

$S=150t-5t^2$
$s =150(15)-5(15)^2$
$s =2.250-1.125$
$s =1.125$

nah ini perlu diingat bahwa t yang dibawah itu yakni t = 5 (dalam waktu 5 detik)
$v =\fracs\colorDarkOrange t = \frac1.125\colorDarkOrange 5= 225$
4. Suatu benda diluncurkan ke atas sehingga lintasan pada ketinggian h meter dalam setiap t detik dirumuskan dengan $h(t)=100t-5t^2$ . Ketinggian maksimum yang mampu diraih benda tersebut yakni …
a. 460 m
b. 400 m
c. 450 m
d. 500 m
e. 540 m

Pembahasan

$h(t)=100t-5t^2$
untuk memilih maksimum/minimum, maka:

$h'(t)=0$

$\Leftrightarrow h'(t)=100-10t$

$\Leftrightarrow 100-10t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac10010=10$
waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian maksimum t = 10 detik, sehingga tinggi maksimumnya yaitu

$h(t)=100t-5t^2$ untuk t = 10

$h(10)=100(10)-5(10)^2$

$h(10)=1000-500=500$
jadi, ketinggian maksimum yang mampu diraih benda ialah 500 meter.
JAWABAN: D

5. Koordinat titik minimum dari grafik fungsi $f(x)=x^3-3x^2-24x+6$ yaitu …
a. (-2,-72)
b. (-2,-64)
c. (-4,-72)
d. (4,-72)
e. (4,-64)

Pembahasan

$f(x)=x^3-3x^2-24x+6$

$f'(x)=3x^2-6x-24$
Stasioner $f'(x)=0$

$3x^2-6x-24=0$

$(x-4)(x+2)=0$

$x=4$ atau $x=-2$

$f(4)=(4)^3-3(4)^2-24(4)+6=-72$ (minimum)

$f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2-24(-2)+6=34$ (maksimum)
Jadi, koordinat titik minimum grafik fungsi tersebut adalah (4,-72)
JAWABAN: D

6. Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^3-2x^2+3x+7$ dititik yang mempunyai absis $x=1$ adalah …
A. $y=4-2x$
B. $y=6-2x$
C. $y=2x+7$
D. $y=2x+10$
E. $y=2x+11$
Pembahasan :
Untuk $x=1$ , $y=1^3-2(1)^2+3(1)+7 = 9$
titik singgung garis di $(1,9);x_1=1$ dan $y_1=9$ .
Gradien garis singgung

$m=y^1=3x^2-4x+3$
untuk $x=1,m=3(1)^2-4(1)+3=2$
Jadi, persamaan garis memiliki gradien 2 dan lewat titik $(1,9)$ adalah
$y-y_1=m(x-x_1)$
$y-9=2(x-1)$
$y-9=2x-2$
$y=2x+7$
JAWABAN: C

7. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Hubungan tinggi peluru (h) dalam meter dengan waktu dalam sekon dinyatakan dengan $h(t)=200t-4t^2$ . Waktu untuk mencapai tinggi maksimum yakni …
A. 10 sekon
B. 20 sekon
C. 25 sekon
D. 30 sekon
E. 35 sekon

Pembahasan

$h(t)=200t-4t^2$
untuk memilih maksimum/minimum, maka:
$h'(t)=0$
$\Leftrightarrow h'(t)=200-8t$

$\Leftrightarrow 200-8t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac2008=25$
Jadi, waktu maksimum yang diharapkan yakni 25 sekon
JAWABAN: C

8. Pada percobaan meluncurkan suatu roket memiliki lintasan berupa parabola dan pada t sekon ketinggian h meter dirumuskan dengan $h(t)=200t-25t^2$ . Tinggi maksimum yang mampu diraih oleh roket adalah …
A. 340 m
B. 354 m
C. 360 m
D. 400 m
E. 420 m

Pembahasan
$h(t)=200t-25t^2$
untuk menentukan maksimum/minimum, maka:
$x^2+3x-5$ $h'(t)=0$
$\Leftrightarrow h'(t)=200-50t$

$\Leftrightarrow 200-50t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac20050=4$
waktu yang diharapkan untuk mencapai ketinggian maksimum t = 4 detik, sehingga tinggi maksimumnya adalah
$h(t)=200t-25t^2$ untuk $t=4$

$\Leftrightarrow h(4)=200(4)-25(4)^2$

$\Leftrightarrow h(4)=800-400=400$
jadi, ketinggian maksimum yang dapat diraih benda yakni 400 meter.
JAWABAN: D

9. Sebuah peluru ditembakan vertikal keatas. Tinggi peluruh (h) dalam meter dengan waktu (t) dalam sekon dinyatakan dengan $h(t)=21t-6t^2.$ Waktu untuk mencapai tinggi maksimum yaitu …
A. 1 sekon
B. 1,25 sekon
C. 1,5 sekon
D. 1,75 sekon
E. 2 sekon
Pembahasan :

$h(t)=21t-6t^2$
untuk memilih maksimum/minimum, maka:
$h'(t)=0$

$\Leftrightarrow h'(t)=21-12t$

$\Leftrightarrow 21-12t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac2112=1,75$
Makara, waktu maksimum untuk meraih ketinggian adalah 1,75 sekon
JAWABAN: D

10. Turunan pertama dari $f(x)=\frac23x^3+3x^2-5x+10$ yaitu …
A. $x^2+3x-5$
B. $2x^2+x-5$
C. $2x^2+3x-5$
D. $2x^2+6x-5$
E. $2x^2+6x+5$
Jawaban : D
Pembahasan :

Turunan

$f'(x)=\frac23.3x^3-1+3.2x^2-1-5.1x^1-1$

$f'(x)=2x^2+6x-5$