Tutorial Mata Pelajaran kita kali ini ialah Matematika. Dalam edisi matematika kesempatan ini akan dibahas ihwal berbagai jenis soal yang berhubungan dengan limit fungsi aljabar. Dalam bahan ini kita akan belajar cara menentukan nilai limit fungsi aljabar dalam berbagai teladan soal limit fungsi aljabar.
Dalam Matematika, Limit adalah nilai yang “didekati” sebuah barisan atau fungsi saat nilai input dari barisan atau fungsinya mendekati suatu nilai tertentu. Konsep limit dipakai dalam banyak sekali macam bidang dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai acuan, bikinan maksimum dari mesin suatu pabrik, mampu dibilang merupakan limit untuk pencapain hasil. Pada prakteknya, pencapaian tersebut tidak tepat, namun mendekati sedekat dekatnya.
Contoh Soal Limit
Soal No.1
Carilah nilai limit berikut :
Pembahasan
c.
limx→2
3x 2= 3.(2) 2 = 3
d.
lim 3x2 + 5 = 3.(3)2 + 5 = 32x→3
e.
limx→2
2x2 + 4 2x + 2= 2.(22) + 4 2.(2) + 2= 12 6 = 2
Soal No.2
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
Pembahasan
Jika hasil substitusi yakni 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dikerjakan dengan cara memasukkan nilai eksklusif, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu
limx→2
x2 – 4 x – 2= 22 – 4 2 – 2= 0 0 (bentuk tak tentu)
Makara hasil faktornya ialah :
limx→2
x2 – 4 x – 2= (x-2)(x+2) (x-2)= (x+2)= (2+2) = 4
Soal No.3
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
limx→3
x2 – 9 √ x2 + 7 – 4
Pembahasan
Dengan substitusi pribadi
limx→3
(x2 – 9) √ x2 + 7 – 4 = (32 – 9) √ 32 + 7 – 4 = 0 0
Karena diperoleh bentuk tidak pasti, maka harus dipakai cara lain yakni menggunakan perkalian akar sekawan:
limx→3
(x2 – 9) √ x2 + 7 – 4 x √x2 + 7 + 4 √ x2 + 7 + 4
⇔
limx→3
(x2 – 9).(√ x2 + 7 + 4) (x2 + 7) – 16
⇔
limx→3
(x2 – 9).(√ x2 + 7 + 4) (x2 – 9)
⇔
limx→3
(√x2 + 7 + 4) = (√32 + 7 + 4) = 8
Soal No.4
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
limx→2
x2 – 5x + 6 x2 – 4
Pembahasan
Jika disubstitusi eksklusif, maka akan didapatkan :
limx→2
x2 – 5x + 6 x2 – 4= 22 – 5.(2) + 6 22 – 4 = 0 0 (bentuk tidak pasti)
Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yakni : dengan mengfaktorkan dan melaksanakan turunan. Dalam soal no.4 ini kita kerjakan dengan turunan :
limx→2
x2 – 5x + 6 x2 – 4 = 2x – 5 2x= 2.(2) – 5 2.(2)= – 1 4
Soal No.5
Tentukan nilai limit dari :
Pembahasan
Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada
f (x ) = 4x – 1 dan
g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.
⇔
lim x→∞
4x x – 1 x / 2x x + 1 x
⇔
lim x→∞
4 – 1 x /2 + 1 x
=
4 – 1 ∞ /2 + 1 ∞
=
4 – 0 /2 – 0
= 2
Soal No.6
Tentukan nilai limit dari :
Pembahasan
Fungsi tersebut mempunyai x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x
2 yang terdapat pada x
2 – 2. Sehingga :
⇔
lim x→∞
4x x2 + 1 x2 / x2 x2 – 2 x2
⇔
lim x→∞
4 x + 1 x2 /1 – 2 x2
=
4 ∞ + 1 (∞)2 /1 – 2 (∞)2
=
0 + 0 /1 – 0
= 0
Soal No.7
Carilah nilai limit dari :
Pembahasan
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2. Sehingga :
⇔
lim x→∞
2x2 x2 – 5 x2 / x2 x2 – 3 x2
⇔
lim x→∞
2 – 5 x2 /1 – 3 x2
=
2 – 5 (∞)2 /1 – 3 (∞)2
=
2 – 0 /1 – 0
= 2
Soal No.8
Carilah limit dari :
Pembahasan
Jika hasil substitusi yakni 0/0 (bentuk tak pasti), maka tidak mampu dikerjakan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan apalagi dahulu
lim x→a
x4 – a4 x – a =
a4 – a4 /a – a
=
0 /0
(bentuk tak pasti)
Kaprikornus hasil faktornya yakni :
⇔
lim x→a
(x2 – a2)(x2 + a2) x – a
Sederhanakan lagi untuk : (x2 – a2), sehingga menjadi :
⇔
lim x→a
(x – a)(x + a)(x2 + a2) (x – a) = (a + a)(a2 + a2) = 4a3
Soal No.9
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
limx→2
√x + 2 – √3x – 2
x – 2
Pembahasan
Dengan substitusi eksklusif :
limx→2
√x + 2 – √3x – 2
x – 2 =
√2 + 2 – √3(2) – 2
2 – 2 =
√4 – √4
0 = 0 0
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus dipakai cara lain yaitu memakai perkalian akar sekawan:
limx→2
√x + 2 – √3x – 2
x – 2 x
√x + 2 + √3x – 2
√x + 2 + √3x – 2
limx→2
(x + 2)(3x -2) (x – 2)(√x + 2 + √3x – 2)
limx→2
-2x + 4 (x – 2)(√x + 2 + √3x – 2)
limx→2
-2(x – 2) (x – 2)(√x + 2 + √3x – 2) = -2 (√2 + 2 + √3(2) – 2) = -2 (√4 + √4) = -1 2
Soal No.10
Hitunglah limit dari :
limx→2
2x2 + 3x – 2 x + 2
Pembahasan
limx→2
2x2 + 3x – 2 x + 2 = 2(22) + 3(2) – 2 2 + 2
⇔ 8 + 6 – 2 4
⇔ 12 4
⇔ 3
Soal No.11
Carilah limit dari :
Pembahasan
Jika disubstitusi eksklusif, maka akan ditemukan :
limx→2
x3 – 8 x – 2= 23 – 8 2 – 4 = 0 0 (bentuk tidak pasti)
Dengan demikian kita harus memakai cara lain, yakni : dengan cara mengfaktorkan :
limx→2
x3 – 8 x – 2 = (x2 + 2x + 4)(x – 2)( (x – 2) = (22 + 2(2) + 4) = 12
