Persamaan Trigonometri – Media Masyarakat

Persamaan trigonometri yaitu persamaan yg mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dlm bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dgn cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dlm bentuk derajat yg berada pada rentang $0^ \circ$ hingga dgn $360^ \circ$ atau dlm bentuk radian yg berada pada rentang 0 hingga dgn 2π.

Lihat pula bahan Wargamasyarakat.org yang lain:

Rumus Mean Median Modus

Rumus Limit Fungsi

Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sebagai berikut:

Daftar Isi

1. Sinus

Jika $\sin px = \sin a$ dgn p & a dalah konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x_1 = \frac a p + \frac k \cdot 360^ \circ p$

$x_2 = \frac (180^ \circ - a) p + \frac k \cdot 360^ \circ p$

Sebagai acuan:

$\sin 3x^ \circ = 0, 0^ \circ \le x \le 360^ \circ$

Maka:

$\sin 3x^ \circ = \sin 180^ \circ$

$x_1 = \frac 180 3 + \frac k \cdot 360^ \circ 3 = 60 + (k \times 120), k \epsilon B$

$x_2 = \frac (180^ \circ - a) p + \frac k \cdot 360^ \circ p = \frac (180^ \circ - 180) 3 + \frac k \cdot 360^ \circ 3 = k \times 120, k \epsilon B$

$x_2 k \times 120, k \epsilon B$

Menentukan himpunan solusi umumnya yakni:

$60 + (k \times 120) \cup (k \times 120), k \epsilon B$

k = 0 $\rightarrow x_1$ = 60 atau $x_2$ = 0

k = 1 $\rightarrow x_1$ = 180 atau $\rightarrow x_2$ = 120

k = 2 $\rightarrow x_1$ = 300 atau $\rightarrow x_2$ = 240

k = 3 $\rightarrow x_2$ = 360

Makara, himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

(0, 60, 120, 180, 240, 300, 360)

Dalam bentuk radian:

$x_1 = \frac a p + \frac k(2\pi) p$

$x_2 = \frac (\pi - a) p + \frac k(2\pi) p$

Sebagai contoh:

$\sin 3x$ = 0

Maka:

$\sin 3x = \sin \pi$

$x_1 = \frac \pi 3 + k \times \frac 2\pi 3 , k \epsilon B$

$x_2 = \frac (\pi - \pi) 3 + k \times \frac 2\pi 3 = k \times \frac 2\pi 3 ,k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yakni:

$\frac \pi 3 + k \times \frac 2\pi 3 \cup k\times \frac 2\pi 3 , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = \frac \pi 3$ atau x_2 $x_2$ = 0

k = 1 $\rightarrow x_1 = \frac \pi 3 + \frac 2\pi 3 = \pi$ atau $x_2 = \frac 2\pi 3$

k = 2 $\rightarrow x_1 = \frac \pi 3 + \frac 4\pi 3 = \frac 5\pi 3$ atau $x_2 = \frac \pi 3$

k = 3 $\rightarrow x_2 = 2\pi$

jadi, himpunan penyelesaian biasanya adalah:

$(0,\frac \pi 3 , \pi , \frac 4\pi 3 , \frac 5\pi 3 , 2\pi)$

2. Cosinus

Jika $\cos px = \cos a$ dgn p & α adalah konstanta, maka:

Dalam bentuk derajat:

$x = \pm \frac a p + \frac k \cdot 360^ \circ p$

Sebagai acuan:

$2 cos(2x - 60^ \circ ) - \sqrt 3 = 0, 0^ \circ \le x \le 360^ \circ$

Maka:

$2 cos(2x - 60^ \circ ) - \sqrt 3 = 0$

$\cos(2x - 60^ \circ ) = \frac 1 2 \sqrt 3$

$\cos(2x - 60^ \circ ) = \cos 30^ \circ$

Sehingga:

$2x - 60^ \circ \pm 30^ \circ + k \times 360^ \circ$

$2x = 60^ \circ \pm 30^ \circ + k \times 360^ \circ$

Diperoleh:

$x_1 = 45^ \circ + k \times 180^ \circ , k \epsilon B$

$x_2 = 15^ \circ + k \times 180^ \circ , k \epsilon B$

Menentukan himpunan solusi biasanya yaitu:

$45^ \circ + k \times 180^ \circ \cup 15^ \circ + k \times 180^ \circ , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = 45^ \circ$ atau $x_2 = 15^ \circ$

$k = 1 \rightarrow x_1 = 45^ \circ + 180^ \circ = 180^ \circ = 225^ \circ$ atau $x_2 = 15^ \circ + 180^ \circ = 115^ \circ$

Makara, himpunan penyelesaian lazimnya yakni:

$(156 \circ , 45^ \circ , 115^ \circ , 225^ \circ )$

Dalam bentuk radian:

$x = \pm \frac a p + \frac k \cdot (2\pi) p$

Sebagai teladan:

$2 \cos(2x - \frac \pi 3 ) - \sqrt 3 = 0,0 \le x \le 2\pi$

Maka:

$2\cos(2x - \frac \pi 3 ) - \sqrt 3 = 0$

$\cos (2x - \frac \pi 3 ) = \frac 1 2 \sqrt 3$

$\cos (2x - \frac \pi 3 - \cos\frac \pi 6 )$

Sehingga:

$2x - \frac \pi 3 = \pm \frac \pi 6 + k \times 2\pi$

$2x = \frac \pi 3 \pm \frac \pi 6 + k \times 2\pi$

Diperoleh:

$x_1 = \frac \pi 4 + k \times \pi ,k \epsilon B$

$x_1 = \frac \pi 12 + k \times \pi ,k \epsilon B$

Menentukan himpunan solusi umumnya yaitu:

$\frac \pi 4 + k \times \pi \cup \frac \pi 12 + k \times \pi , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = \frac \pi 4$ atau x_2= $x_2 = \frac \pi 4$

$k = 1 \rightarrow x_1 = \frac \pi 4 + \pi = \frac 5 4 \pi$ atau $x_2 = \frac \pi 12 + \pi = \frac 13 12 \pi$

jadi, himpunan solusi umumnya ialah:

$(\frac \pi 12 , \frac \pi 4 ,\frac 13\pi 12 ,\frac 5\pi 4 )$

Yuk berguru bahan ini juga:

Fraksi Minyak Bumi

Sistem Pernapasan Manusia

Teks Eksplanasi

3. Tangen

Jika⁡ $\tan px = \tan a$ dgn p & a yaitu konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x = \frac a p + \frac k \cdot 180^ \circ p$

Sebagai pola:

$\tan(x - 45^ \circ ) = \cot 90^ \circ , 0^ \circ \le x \le 360^ \circ$

Maka:

$\tan (x - 45^ \circ ) = \frac 1 3 \sqrt 3$

$\tan (x - 45^ \circ = \tan 30^ \circ )$

Sehingga:

$x - 45^ \circ = 30^ \circ + k \times 180^ \circ$

$x = 45^ \circ + 30^ \circ + k \times 180^ \circ$

$x = 75^ \circ + k \times 180^ \circ$

Menentukan himpunan solusi lazimnya yaitu:

$x = 75^ \circ + k \times 180^ \circ , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x = 75^ \circ$

$k = 1 \rightarrow x = 75^ \circ + 180^ \circ = 225^ \circ$

Makara, himpunan penyelesaian biasanya ialah:

$(75^ \circ , 225^ circ )$

Dalam bentuk radian:

$x = \frac a p + \frac k \cdot (\pi) p$

Sebagai acuan:

$\tan (x - \frac \pi 4 ) = \cot\frac \pi 2 , 0 \le x \le 2\pi$

Maka:

$\tan (x - \frac \pi 4 ) = \frac 1 3 \sqrt 3$

$\tan (x - \frac \pi 4 ) = \tan\frac \pi 6$

Sehingga:

$x - \frac \pi 4 = \frac \pi 6 + k \times \pi$

$x = \frac \pi 4 + \frac \pi 6 + k \times \pi$

$x = \frac 5\pi 12 + k \times \pi$

Menentukan himpunan solusi umumnya yaitu:

$x = \frac 5\pi 12 + k\pi , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x = \frac 5\pi 12$

$k = 1 \rightarrow x = \frac 5\pi 12 + \pi = \frac 17\pi 12$

Kaprikornus, himpunan solusi biasanya yaitu:

$(\frac 5\pi 12 , \frac 17\pi 12$

Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri dapat menampung jumlah atau selisih dr sinus atau kosinus. Untuk penyelesaiaannya dapat diubah menjadi bentuk persamaan yg menampung perkalian sinus atau kosinus. Begitu pula kalau dihadapkan dgn kasus sebaliknya.

Persamaan trigonometri untuk beberapa masalah dapat dirubah menjadi persamaan kuadrat yg menampung sinus, kosinus, atau tangen. Penyelesaiannya didapat dgn metode faktorisasi.

Ada persamaan trigonometri dlm bentuk $a \cos x + b \sin x = c$ yg mampu diatasi dgn cara berikut:

$a \cos x + b \sin x = c$ (kedua ruas dibagi a)

$\cos x + \frac b a \sin x = \frac c a$

Misalkan $\tan a = \frac b a$ , maka:

$\cos x + \tan a \sin x = \frac c a$ (kedua ruas dikali $\cos a$ )

$\cos(x - a) = \cos a(\frac c a )$

Karena $\tan a = \frac b a$ , maka

$\cos (a) = \frac a \sqrt a^2+b^2$

Sehingga,

$\cos(x - a) = (\frac c a )(\frac a \sqrt a^2+b^2 ) = \frac c \sqrt a^2+ b^2$

Yuk belajar bahan ini juga:

Conjunction

Kesetimbangan Benda Tegar

Termokimia

Contoh Soal Persamaan Trigonometri & Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan solusi dr persamaan:

$\sin 3x = \cos 2x ; 0^ \circ \le x \le 360^ \circ$

Pembahasaan:

$\sin 3x = \cos 2x$

$\sin 3x = sin(90^ \circ - 2x)$

Sehingga,

$3x = (90^ \circ - 2x) + (k \cdot 360^ \circ )$

$5x = 90^ \circ + (k \cdot 360^ \circ )$ (kedua ruas dibagi 5)

$x_1 = 18^ \circ + (k \cdot 72^ \circ )$

Atau,

$3x = (180 - (90^ \circ - 2x)) + (k \cdot 360^ \circ )$

$3x = (90^ \circ + 2x) + (k \cdot 360^ \circ )$

$x_2 = 90^ \circ + (k \cdot 360^ \circ )$

Himpunannya,

$k = 0 \rightarrow x = 18^ \circ$ atau $x = 90^ \circ$

$k = 1 \rightarrow x = 90^ \circ$

$K = 2 \rightarrow x = 162^ \circ$

$k = 3 \rightarrow x = 234^ \circ$

Himpunan penyelesaiannya adalah $(18^ \circ , 90^ \circ , 162^ \circ , 234^ \circ )$

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan solusi dr persamaan:

$\sin (x+ \frac \pi 4 )\cos x = \frac 1 4 \sqrt 2 ; 0 \le x \le 2\pi$

Pembahasan

$\sin (x+\frac \pi 4 )$

Dibuat kedalam bentuk

$2 \sin a \cos \beta = \sin (a+\beta) + \sin (a-\beta)$

Dengan

$(2)sin(x+\frac \pi 4 ) \cos x = (2)(\frac 1 4 \sqrt 2 ) = \frac 1 2 \sqrt 2$

Menjadikan

$\sin((x+\frac \pi 4 ) + x) + \sin ((x + \frac \pi 4 ) - x) = \frac 1 2 \sqrt 2$

$\sin (2x + \frac \pi 4 ) + \sin (\frac \pi 4 ) = \frac 1 2 \sqrt 2$

$\sin (2x + \frac \pi 4 ) + (\frac 1 2 \sqrt 2 )$

$\sin (2x + \frac \pi 4 ) = 0$

$\sin (2x + \frac \pi 4 ) = \sin 0$

Sehingga

$(2x + \frac \pi 4 ) = 0 + k \cdot (2\pi)$

$2x = -\frac \pi 4 + k \cdot (2\pi)$

$x_1 = -\frac \pi 8 + k \cdot (\pi)$

atau

$(2x + \frac \pi 4 ) = (\pi - 0) + k \cdot (2\pi)$

$2x = (\pi - \frac \pi 4 ) + k \cdot (2\pi)$

$x_2 = (\frac 3\pi 8 ) + k \cdot (\pi)$

Himpunannya,

$k = 0 \rightarrow x_2 = \frac 3\pi 8$

$k = 1\rightarrow x_1 = \frac 7\pi 8$

$\rightarrow x_2 = \frac 11\pi 8$

$k = 2 \rightarrow x_1 = \frac 15\pi 8$

Himpunan penyelesaiannya yaitu:

$(\frac 3\pi 8 , \frac 7\pi 8 , \frac 11\pi 8 , \frac 15\pi 8 )$

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri:

$\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0; 0 \le x \le 2\pi$

Pembahasan:

$\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0;$

$(1 -2\sin^2 2x) + 2(1 - \sin^2 2x) + 14\sin 2x - 9 = 0$

$4\sin^2 2x - 14\sin 2x + 6 = 0$

$2\sin ^2 - 7\sin 2x + 3 = 0$

$(2\sin 2x - 1)(\sin 2x - 3) = 0$

Didapat,

Akar 1:

$2\sin 2x - 1 = 0$

$\sin 2x = \frac 1 2$ (bisa)

Akar 2:

$\sin 2x - 3 = 0$

$\sin 2x = 3$ (tidak bisa)

Sehingga,

$\sin 2x = \frac 1 2 = \sin(\frac \pi 6 )$

$2x = \frac \pi 6 + k \cdot 2\pi$

$x_1 = \frac \pi 12 + k \cdot \pi$

Atau,

$2x = (\pi - \frac \pi 6 ) + k \cdot 2\pi$

$x_2 = \frac 5\pi 12 +k \cdot \pi$

Himpunannya,

$k = 0 \rightarrow x_1 = \frac \pi 12$

$\rightarrow = \frac 5\pi 12$

$k = 1 \rightarrow x_1 = \frac 13\pi 12$

$\rightarrow x_2 = \frac 17\pi 12$

Himpunan penyelesaiannya ialah:

$(\frac \pi 12 ,\frac 5\pi 12 ,\frac 13\pi 12 , \frac 17\pi 12 )$

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi Wargamasyarakat.org lainnya:

Sudut spesial Trigonometri

Perkalian, Deteriman, & Invers Matriks

Logaritma

Bayangan garis 3x + 4y = 6 oleh transformasi berturut-turut pencerminan terhadap sumbu X,