Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Daftar Isi

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan logaritma yg mengandung komponen fungsi tertentu. Persamaan ini mengandung beberapa bentuk diantaranya:

Bentuk $^a\log f(x) = b$

Dengan bentuk mirip itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi $f(x) = a^b$ . Dengan syarat a > 0 & a ≠ 1. Sebagai teladan, $^x\log(3x + 10) = 2$ , maka:

$^x\log(3x + 10) = 2 \rightarrow 3x + 10 = x^2$

Dari persamaan kuadrat tersebut dapat dimengerti akar-akarnya selaku penyelesaian:

$3x + 10 = x^2 \rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$

$(x - 5)(x + 2) = 0$

$x_1 = 5$ & $x_2 = -2$

Lihat pula bahan Wargamasyarakat.org lainnya:

Jarak Titik ke Garis, Garis ke Bidang, dsb

Persamaan Eksponen & Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk $^a\log f(x) = ^a\log b$

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = b dgn syarat a > 0, a ≠ 1 & b > 0. Sebagai acuan, $\log(x^2 - 1) = \log 8$ diubah bentuk menjadi:

$x^2 - 1 = 8$

$x^2 = 9$

Akar-akarnya adalah:

$x_1 = 3$ & $x_2 = -3$

Bentuk $^a\log f(x) = ^a\log g(x)$

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi $f(x) = g(x)$ . Dengan syarat a > 0, a ≠ 1 & $f(x)$ > 0 & $g(x)$ > 0. Sebagai teladan:

$\log(x^2 - 1) - \log(x - 1) = 1 + \log(x - 8)$ ,

Menjadi:

$\log(x^2 - 1) - \log(x - 1) = \log 10 + \log(x - 8)$

$\log(\frac x^2 - 1 x - 1 ) = \log10(x - 8)$

$\frac x^2 - 1 x - 1 = 10(x-8)$

$\frac (x - 1)(x + 1) x -1 = 10(x-8)$

$(x + 1) = 10x - 80$

$9x = 81$

Sehingga:

$x = 9$

Bentuk $a(^p\log(x))^2 + b(^p\log f(x)) + c = 0$

Persamaan logaritma ini mampu direduksi menjadi persamaan kuadrat dgn memisalkan $^p\log f(x) = y$ . Sehingga membentuk persamaan gres:

$a(y)^2 + b(y) + c = 0$

Dari persamaan tersebut akan diperoleh solusi fungsi y, lalu mampu disubstitusikan kedalam $^p\log f(x) = y$ untuk mendapatkan penyelesaian fungsi x. Sebagai pola:

$^2\log x((^2\log x) - 3) = ^2 \log 16$

Misalkan $^2\log x = y$ , maka persamaan barunya:

$^2\log x((^2\log x)- 3) = ^2\log 16$

$y(y -3) = ^2\log 2^4$

$y(y - 3) = 4$

$y^2 - 3y = 4$

$y^2 - 3y - 4 = 0$

$(y - 4)( y + 1) = 0$

Akar-akarnya:

$y_1 = 4$ & $y_2 = -1$

Sehingga diperoleh nilai x dr akar-akar y yakni:

$y_1 = 4$

$^2 \log x = 4$

$x = 2^4 = 16$

$y_2 = -1$

$^2 \log x = -1$

$x = 2^ -1 = \frac 1 2$

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org lainnya:

Mollusca

Narrative Text

Gerak Melingkar Beraturan

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan pula mampu dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Saat a > 1

Jika $^a\log f(x) < ^a \log g(x)$ , maka $0 < f(x) < g(x)$

Jika $^a\log f(x) > ^a\log g(x)” class=”latex” />, maka <img decoding=$ , maka $f(x) > g(x) > 0″ class=”latex” /></li> <li>Jika <img decoding=$

Sebagai acuan, menentukan nilai x yg menyanggupi pertidaksamaan:

$^2\log(2x + 1) < ^2\log 3$

Berubah bentuk menjadi:

$2x + 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika $^a\log f(x) < ^a\log g(x)$ , maka $0 < f(x) < g(x)$ . Sehingga:

$0 < (2x+1) < 3$

$-1 < (2x) < 2$

$-\frac 1 2 < x < 1$

Garis bilangannya yaitu:

contoh soal persamaan & pertidaksamaan logaritma

Sama halnya dgn persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma kerap kali dilakukan permisalan $y = ^a \log x$ . Permisalan ini untuk mempersempit & mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:

$(2 \log x-1)(\frac 1 ^x\log 10 ) > 1″ class=”latex” /> Diubah menjadi: 1″ class=”latex” /> 0″ class=”latex” /> Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi: 0″ class=”latex” /> <p style=$ $(2y + 1)(y - 1)$

Akar-akarnya yaitu :

$y_1 = -\frac 1 2$ & $y_2 = 1$

Maka nilai x adalah:

$y_1 = -\frac 1 2 \overset maka \rightarrow -\frac 1 2 = \log x$

$x_1 = 10^ -\frac 1 2 = \frac 1 \sqrt 10$

$y_2 = 1\overset maka \rightarrow 1 = \log x$

$x_2 = 10$

Berlaku syarat x > 0, & x ≠ 1, maka garis bilangannya yaitu:

pertidaksamaan logaritma

Penyelesaiannya yaitu:

$0 < x < \frac 1 \sqrt 10$ atau $x > 10″ class=”latex” /> <h2><span class=$ Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma

Operasi logaritma mampu dilakukan dlm suatu harga mutlak. Penyelesaiannya mengikuti sifat-sifat harga mutlak & logaritma. Harga mutlak tersebut memiliki sifat-sifat: