Peluang : Kaidah Pencacahan - Blog Ilmu Pengetahuan

Hallo teman-sobat matematika, pada pembahasan kali ini kita akan membicarakan tentang kaidah pencacahan nih. Kaidah pencacahan ini merupakan suatu aturan dasar dalam pencacahan dalam kaitannya dengan potensi . Untuk lebih jelasnya silahkan mengikuti pembahasan bahan kaidah pencacahan – kesempatan berikut ini.

KAIDAH PENCACAHAN
Terdapat 3 macam sistem dalam kaidah pencacahan yakni :
Aturan pengisian daerah
Contoh :
1. Tentukan banyaknya cara menyusun kata “SEKOLAH’ bila aksara pertama dan terkahirnya mesti konsonan
Pembahasan

maka banyaknya cara menyusun kata sekolah kalau karakter pertama dan terakhirnya mesti kosonan yaitu 4X5X4X3X2X1X3 =1.440 cara
informasi
kotak pertama ada 4 opsi = S,K,L,H
Kotak ketujuh ada 3 pilihan sebab tinggal 3 abjad konsonan yang tersisa
Kotak kedua ada 5 pilihan = 3 karakter vocal, 2 kosonan yang tersisa
Kotak ketiga sampe keenam = tinggal sisa dari huruf yang sudah terpakai

2. Tentukan banyaknya bilangan yang berisikan 4 angka, yang disusun dari angka-angka 0,1,2,3,4,5 jikalau
a. angkanya boleh berulang
b. angkanya tidak boleh berulang
Pembahasan
a. boleh berulang

maka banyaknya cara = 5X6X6X6 = 1.080 cara
b. angkanya dilarang berulang

maka banyknya cara = 5X5X4X3 = 300 cara

Permutasi
Permutasi yakni urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berlawanan tanpa adanya pengulangan. Permutasi mampu dirumuskan selaku berikut.

$P(n,k)=\fracn!(n-k)!, k\leq n$

Contoh:

Hitunglah:

a. P(4,2)

b. P(6,5)

Jawab:

a. $P(4,2)=\frac4!(4-2)!=\frac4!2!=\frac4\times 3\times 2\times 12\times 1=12$
b. $P(6,5)=\frac6!(6-5)!=\frac6!1!=\frac6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 11=720$

Permutasi dengan beberapa elemen sama

Jika dari n objek terdapat, p, q, r,… objek yang sama, permutasi dari n objek tersebut yaitu $\fracn!p!q!r!$

Contoh:

Tentukan banyaknya kata yang terdiri atas 5 aksara yang disusun dari 2 aksara A, 1 karakter B, 1 karakter S, dan 1 huruf I.

Jawab:

Banyaknya kata yang mampu disusun ialah
$\frac5!2!1!1!1!=\frac5\times 4\times 3\times 2\times 12\times 1\times 1\times 1=60$

Permutasi Siklis

   Permutasi siklis dari objek n ialah $(n-1)!$ cara
   Contoh:
   Lima orang siswa sedang membaca di sebuah meja bundar. Berapa banyak cara agar kelima siswa tersebut mampu duduk secara melingkar dengan urutan yang berlainan?
   Jawab:
   Banyaknya cara supaya kelima siswa tersebut dapat duduk secara melingkar dengan urutan yang berlawanan ialah (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara

Kombinasi
Kombinasi adalah suatu teknik yang menyatakan banyaknya cara dalam menyusun beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi dinotasikan dengan C(n,k) atau $C_n^k$ dan dirumuskan selaku berikut.

$C(n,k)=\fracn!(n-k)!k!,k\leq n$

Contoh:

Hitunglah!

a. C(6,3)

b. C(4,2)

Jawab:

a. $C(6,3)=\frac6!(6-3)!3!=\frac6!3!3!=\frac6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 13\times 2\times 1\times 3\times 2\times 1=20$
b. $C(4,2)=\frac4!(4-2)!2!=\frac4!2!2!=\frac4\times 3\times 2\times 12\times 1\times 2\times 1=6$

Faktorial

Definisi: n faktorial dinotasikan dengan n! dan didefinisikan sebagai perkalian berikut.

$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 3\times 2\times 1$ dengan n bilangan orisinil

$0!=1$ dan $1!=1$

Contoh:

Hitunglah:

a. 3!

b. $\frac4!5!$
Jawab:
a. 3! = 3 x 2 x 1 = 6
b. $\frac4!5!=\frac4\times 3\times 2\times 15\times 4\times 3\times 2\times 1=\frac15$

Teman-sobat itu beliau bahan singkat perihal kaidah pencacahan. Untuk lebih mengerti materi tersebut, kami menyediakan beberapa tipe soal dan pembahasannya nih. Yuk simak serentak!

Soal dan Pembahasan

1. Jika tersedia 3 kursi dan terdapat 3 orang yang akan menduduki dingklik-bangku tersebut maka banyaknya susunan yang mungkin terjadi ialah … cara

Pembahasan
$P(3,3)=\frac3!(3-3)!$
$=\frac3!0!$

$=\frac3\times 2\times 11=6$
2. Terdapat 7 orang yang dicalonkan untuk menjadi ketua RW, sekretaris, dan bendahara. Banyaknya susunan yang dapat terjadi dalam pencalonan tersebut adalah…
Pembahasan
$P(7,3)=\frac7!(7-3)!$

Mencari Banyak Ruang Sampel Dari Dua Uang Logam dan Satu Dadu

$=\frac7!4!$

$=\frac7\times 6\times 5\times 4!4!$

$=7\times 6\times 5=210$
3. Di dalam suatu perkumpulan, terdapat 20 orang yang belum saling kenal. Jika kedua puluh orang tersebut akan bersalaman satu sama lain sebanyak dua kali, banyaknya salaman yang mampu terjadi ialah…
Pembahasan
$C(20,2)=\frac20!(20-2)!2!$

$=\frac20!18!2!$

$=\frac20\times 19\times 18!18!(2\times 1)$

$=10\times 19=190$
4. Di dalam sebuah tes, setiap siswa diminta menjalankan 10 dari 15 soal dengan syarat soal-soal nomor ganjil mesti dikerjakan. Banyak opsi soal yang dapat dilakukan siswa tersebut yaitu…
Pembahasan
Soal-soal nomor ganjil yang harus dijalankan 8 soal yakni nomor 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
Jadi, siswa mampu memilih 2 dari 7 soal yang tersisa, yakni
$C(7,2)=\frac7!(7-2)!2!$

$=\frac7!5!2!$

$=\frac7\times 6\times 5!5!(2\times 1)$

$=7\times 3=21$
5. Pada suatu rapat dihadiri oleh 6 orang yang duudk mengelilingi suatu meja bulat. Berapa banyak susunan duduk yang dapat terjadi?
Pembahasan

P = (n-1)! = (6-1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Kaprikornus, banyaknya susunan duduk yang mampu terjadi ada 120 cara