Coba kalian ingat kembali materi wacana operasi perpangkatan pada bilangan lingkaran. Operasi perpangkatan diartikan sebagai bentuk perkalian berulang dgn bilangan yg sama. Makara, untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku selaku berikut.
|
pn
|
=
|
p × p × p × … × p
|
|
sebanyak n aspek
|
Hal ini pula berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, amati pola berikut ini.
Contoh Soal 1:
Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.
1. (2p)2
2. –(3x2yz3)3
3. (–3p2q)2
Penyelesaian:
1. (2p)2 = (2p) × (2p) = 4p2
2. –(3x2yz3)3 = –27x6y3z9
3. (–3p2q)2 = 9p4q2
Contoh Soal 2:
a. (2a)2
b. (3xy)3
c. (–2ab)4
d. (4a2b2)2
e. –3(x2y)3
f. –(2pq)4
g. 1/2(2xy)2
h. a(ab2)3
Penyelesaian:
a. (2a)2 = 4a2
b. (3xy)3 = 9x3y3
c. (–2ab)4 = 16a4b4
d. (4a2b2)2 = 16a4b4
e. –3(x2y)3 = -3(x5y3) = -3x5y3
f. –(2pq)4 = -(16p4q4) = -16p4q4
g. 1/2(2xy)2 = 1/2(4x2y2) = 2x2y2
h. a(ab2)3 = a(a3b5) = a4b5
Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada pembagian terstruktur mengenai bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dgn n bilangan orisinil. Perhatikan uraian berikut.
□ (a + b)1 = a + b → koefisiennya 1 1
□ (a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ab+ b2
= a2 + 2ab+ b2 → koefisiennya 1 2 1
□ (a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 → koefisiennya 1 3 3 1
dan seterusnya.
Adapun pangkat dr a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dr an kemudian menyusut satu demi satu & terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dr b (unsur kedua) dimulai dgn b1 pada suku ke-2
kemudian bertambah satu demi satu & terakhir bn pada suku ke-(n + 1).
Perhatikan pola koefisien yg terbentuk dr penjabaran bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut diputuskan menurut segitiga Pascal berikut.
Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yg berada di bawahnya diperoleh dr penjumlahan bilangan yg berdekatan yg berada di atasnya.
|
Info Matematika!
|
|
Aturan penerapan segitiga Pascal dlm menjabarkan perpangkatan aljabar suku dua adalah sebagai berikut.
Contoh:
(a + b)5 = 1(a)5(b)0 + 5(a)4(b)1 + 10(a)3(b)2 + 10(a2)(b)3 + 5(a)1(b)4 + 1(a)0(b)5
(a + b)5 = a5 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + b5
|
Sekarang amati teladan berikut ini.
Contoh Soal 3:
Jabarkan bentuk aljabar berikut.
a. (3x + 5)2
b. (2x – 3y)2
c. (x + 3 y)3
d. (a – 4)4
Penyelesaian:
a. (3x + 5)2 = 1(3x)2(5)0 + 2(3x)1(5)1 + 1(3x)0(5)2
= 1(9x2)(1) + 2(3x)(5) + 1(1)(25)
= 9x2 + 30x + 25
b. (2x – 3y)2 = 1(2x)2(-3y)0 + 2(2x)1(–3y)1 + 1(2x)0(–3y)2
= 1(4x2)(1) + 2(2x)(–3y) + 1(1)(9y2)
= 4x2 – 12xy + 9y2
c. (x + 3y)3 = 1(x)3(3y)0 + 3(x)2(3y)1 + 3(x)1(3y)2 + 1(x)0(3y)3
= 1(x3)(1) + 3(x2)(3y) + 3(x)(9y2) + 1(1)(27y3)
= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
d. (a – 4)4 = 1(a)4(-4)0 + 4(a)3(-4)1 + 6(a)2(-4)2 + 4(a)1(-4)3 + 1(a)0(-4)4
= 1(a4)(1) + 4(a3)(-4) + 6(a2)(16) + 4(a)(-64) + 1(1)(256)
= a4 − 16a3 + 96a2 − 256a + 256
|
Info Matematika!
|
|
Semua bilangan dipangkatkan dgn nol, alhasil yakni 1.
Contoh:
(1)0 = 1; (2)0 = 1; (-3)0 = 1; (-4)0 = 1; (a)0 = 1; (-b)0 = 1; (2x)0 = 1; (-3y)0 = 1.
|
Contoh Soal 4:
Pada bentuk aljabar berikut, pastikan koefisien dari
a. x2 pada (2x – 5)2.
b. x2 pada (x – 3)5.
c. x3y pada (3x + 2y)4.
d. x2y2 pada (x + 2y)4.
e. a3 pada (4 – 2a)4.
Penyelesaian:
a. (2x – 5)2 = 1(2x)2(-5)0 + 2(2x)1(-5)1 + 1(2x)0(-5)2
= 1(4x2)(1) + 2(2x)(-5) + 1(1)(25)
= 4x2 – 20x + 25
Jadi, koefisien x2 adalah 4.
b. (x – 3)5 = 1(x)5(-3)0 + 5(x)4(-3)1 + 10(x)3(-3)2 + 10(x)2(-3)3 + 5(x)1(-3)4 + 1(x)0(-3)5
= 1(x5)(1) + 5(x4)(-3) + 10(x3)(9) + 10(x2)(-27) + 5(x)(81) + 1(1)(405)
= x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x + 243
Kaprikornus, koefisien x2 yakni -270.
c. (3x + 2y)4 = 1(3x)4(2y)0 + 4(3x)3(2y)1 + 6(3x)2(2y)2 + 4(3x)1(2y)3 + 1(3x)0(2y)4
= 1(81x4)(1) + 4(27x3)(2y) + 6(9x2)(4y2) + 4(3x)1(8y3) + 1(1)(16y4)
= 81x4 + 216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4
Kaprikornus, koefisien x3y adalah 216.
d. (x + 2y)4 = 1(x)4(2y)0 + 4(x)3(2y)1 + 6(x)2(2y)2 + 4(x)1(2y)3 + 1(x)0(2y)4
= 1(x4)(1) + 4(x3)(2y) + 6(x2)(4y2) + 4(x)(8y3) + 1(1)(16y4)
= x4 + 8x32y + 24x24y2 + 32xy3 + 16y4
Makara, koefisien x2y2 yaitu 24.
e. (4 – 2a)4 = 1(4)4(-2a)0 + 4(4)3(-2a)1 + 6(4)2(-2a)2 + 4(4)1(-2a)3 + 1(4)0(-2a)4
= 1(256)(1) + 4(64)(-2a) + 6(16)(4a2) + 4(4)(-8a3) + 1(1)(16a4)
= 256 – 512a + 384a2 – 128a3 + 16a4
Jadi, koefisien a3 adalah -128.