Perlu kalian ingat bahwa pada perkalian bilangan bundar berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a × (b + c) = (a × b) + (a × c) & sifat distributif perkalian kepada penghematan, yakni a × (b – c) = (a × b) – (a × c), untuk setiap bilangan bulat a, b, & c. Sifat ini pula berlaku pada perkalian bentuk aljabar.
1. Perkalian antara konstanta dgn bentuk aljabar
Perkalian sebuah bilangan konstanta k dgn bentuk aljabar suku satu & suku dua dinyatakan sebagai berikut.
|
k(ax) = kax
k(ax + b) = kax + kb
|
Contoh:
Jabarkan bentuk aljabar berikut ini, kemudian sederhanakanlah.
a. 4(p + q)
b. 5(ax + by)
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)
d. -8(2x – y + 3z)
Penyelesaian:
a. 4(p + q) = 4p + 4q
b. 5(ax + by) = 5ax + 5by
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6
= 3x + 42x – 6 + 6
= (3 + 42)x + 0
= 45x
d. -8(2x – y + 3z) = -16x + 8y – 24z
|
Soal Tantangan
|
|
Panjang sisi miring segitiga siku-siku ialah (2x + 1) cm, sedangkan panjang sisi siku-sikunya (3x – 2) cm & (4x – 5) cm. Tentukan luas segitiga tersebut.
|
2. Perkalian antara dua bentuk aljabar
Sebagaimana perkalian suatu konstanta dgn bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat mempergunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan & sifat distributif perkalian kepada penghematan.
Selain dgn cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, mampu menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dgn suku dua berikut.
Selain dgn cara skema mirip di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dgn suku dua dapat dipakai sifat distributif seperti uraian berikut ini.
(ax + b)(cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)
= ax × cx + ax × d + b × cx + b × d
= acx2 + adx + bcx + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
|
Berfikir Kritis
|
|
Diskusikan dgn temanmu. Dengan memanfaatkan sifat distributif perkalian kepada penjumlahan & sifat distributif perkalian kepada pengurangan, buktikan perkalian bentuk aljabar berikut.
(ax + b)(ax – b) = a2x2 – b2(ax + b)2 = a2x2 + 2abx + b2(ax – b)2 = a2x2 – 2abx + b2
|
Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dgn suku tiga berlaku sebagai berikut.
= ax × cx2 + ax × dx + ax × e + b × cx2 + b × dx + b × e
= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be
= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be
|
Berfikir Kritis
|
|
Coba jabarkan perkalian bentuk aljabar (ax + b)(cx2 + dx + e) dgn memakai sifat distributif. Bandingkan hasilnya dgn uraian di atas.
|
Contoh:
Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dlm bentuk jumlah atau selisih.
1. (2x + 3)(3x – 2)
2. (–4a + b)(4a + 2b)
3. (2x – 1)(x2 – 2x + 4)
4. (x + 2)(x – 2)
Penyelesaian:
1. (2x + 3)(3x – 2) kita selesaian dgn dua cara, yakni selaku berikut.
● Cara (1) dgn sifat distributif
(2x + 3)(3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)
= 6x2 – 4x + 9x – 6
= 6x2 + 5x – 6
● Cara (2) dgn skema
= 2x × 3x + 2x × (–2) + 3 × 3x + 3 × (–2)
= 6x2 – 4x + 9x – 6
= 6x2 + 5x – 6
2. (–4a + b)(4a + 2b) kita selesaikan dgn dua cara, yaitu selaku berikut.
● Cara (1) dgn sifat distributif
(–4a + b)(4a + 2b) = –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)
= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2
= –16a2 – 4ab + 2b2
● Cara (2) dgn bagan
= (–4a) × 4a + (–4a) × 2b + b × 4a + b × 2b
= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2
= –16a2 – 4ab + 2b2
3. (2x – 1)(x2 – 2x + 4) kita selesaikan dgn dua cara, yaitu sebagai berikut.
● Cara (1) dgn sifat distributif
(2x – 1) (x2 – 2x + 4) = 2x(x2 – 2x + 4) – 1(x2 – 2x + 4)
= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4
= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4
= 2x3 – 5x2 + 10x – 4
● Cara (2) dgn denah
= 2x × x2 + 2x × (–2x) + 2x × 4 + (–1) × x2 + (– 1) × (–2x) + (–1) × 4
= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4
= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4
= 2x3 – 5x2 + 10x – 4
4. (x + 2)(x – 2) kita tuntaskan dgn dua cara, yaitu selaku berikut.
● Cara (1) dgn sifat distributif
(x + 2)(x – 2) = x(x – 2) + 2(x – 2)
= x2 – 2x + 2x – 4
= x2 – 4
● Cara (2) dgn denah
= x × x + x × (–2) + 2 × x + 2 × (–2)
= x2 – 2x + 2x – 4
= x2 – 4
Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan seperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan. Amatilah pola soal nomor 4 di atas. Apakah kalian setuju bahwa dengan-cara biasa bentuk perkalian (x + a)(x – a) = x2 – a2? Diskusikan hal tersebut dgn temanmu.
Kumpulan Contoh Soal & Pembahasan
1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini.
a. 2(–8a – 3b) –4a + 9b
b. –3(4k2l + 3kl2) + 2(–9k2l – 4kl2)
c. 5(3m3 – 5m2 + m) – 2(m3 + 4m2 – 9m)
Penyelesaian:
a. 2(–8a – 3b) – 4a + 9b = -16a – 6b – 4a + 9b
= -16a – 4a – 6b + 9b
= (-16 – 4)a + (-6 + 9)b
= -20a + 3b
b. –3(4k2l + 3kl2) + 2(–9k2l – 4kl2)
= –12k2l – 9kl2 – 18k2l – 8kl2
= –12k2l – 18k2l – 9kl2 – 8kl2
= (-12 – 18)k2l + (-9 – 8)kl2
= -30k2l – 17kl2
c. 5(3m3 – 5m2 + m) – 2(m3 + 4m2 – 9m)
= 15m3 – 25m2 + 5m – 2m3 – 8m2 + 18m
= 15m3 – 2m3 – 25m2 – 8m2 + 5m + 18m
= (15 – 2)m3 + (-25 – 8)m2 + (5 + 18)m
= 13m3 – 33m2 + 23m
2. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabar berikut sebagai jumlah atau selisih.
a. -3(a – 2b + 5)
b. xy(x2 – 4)
c. 1/2(2x + 6)
d. 2(x + 3)
e. -3(2a + 5)
f. –p(p2 – 3)
Penyelesaian:
a. -3(a – 2b + 5) = -3a + 6b – 15
b. xy(x2 – 4) = x3y – 4xy
c. 1/2(2x + 6) = x + 3
d. 2(x + 3) = 2x + 6
e. -3(2a + 5) = -6a – 15
f. –p(p2 – 3) = -p3 + 3p
3. Nyatakan bentuk aljabar berikut selaku perkalian konstanta dgn bentuk aljabar.
a. 5x – 15y
b. –2p + q – 3r
c. 3x2 + 9xy – 18xy2
d. –4p + 8r2
Penyelesaian:
a. 5x – 15y
konstanta-konstantanya yakni 5 & -15. FPB dr 5 & 15 adalah 5, maka bentuk perkalian konstantanya yaitu selaku berikut.
5x – 15y = 5(x – 3y)
b. –2p + q – 3r
konstanta-konstantanya adalah-2, 1 & -3. FPB-nya sudah niscaya 1, maka bentuk aljabar tersebut tak mampu dinyatakan selaku perkalian konstanta.
c. 3x2 + 9xy – 18xy2
konstanta-konstantanya yakni 3, 9, & -18. FPB dr bilangan-bilangan 3, 9 & 18 adalah 3. Maka bentuk perkalian kontantanya ialah sebagai berikut.
3x2 + 9xy – 18xy2 = 3(x2 + 3xy – 6xy2)
d. –4p + 8r2
konstanta-konstantanya yakni -4 & 8. FPB dr 4 & 8 ialah 4. Dengan demikian, bentuk perkalian konstantanya adalah selaku berikut.
–4p + 8r2 = 4(-p + 2r2)
Atau mampu pula dituliskan sebagai berikut.
–4p + 8r2 = -4(p – 2r2)
4. Tentukan hasil pembagian terstruktur mengenai bentuk aljabar berikut ini.
a. (x + 2)(x – 3)
b. (2x – 3)(x + 4)
c. (4k + 1)2
d. (3m + 2n)(3m – 2n)
e. (3 – a)(5 + a)
f. (2 + a)(a2 – 2a + 1)
Penyelesaian:
a. (x + 2)(x – 3) = x(x – 3) + 2(x – 3)
= x2 – 3x + 2x – 6
= x2 – x – 6
b. (2x – 3)(x + 4) = 2x(x + 4) – 3(x + 4)
= 2x2 + 8x – 3x – 12
= 2x2 + 5x – 12
c. (4k + 1)2 = (4k + 1)(4k + 1)
= 4k(4k + 1) + 1(4k + 1)
= 16k2 + 4k + 4k + 1
= 16k2 + 8k + 1
d. (3m + 2n)(3m – 2n) = 3m(3m – 2n) + 2n(3m – 2n)
= 9m2 – 6mn + 6mn – 4n2
= 9m2 – 4n2
e. (3 – a)(5 + a) = 3(5 + a) – a(5 + a)
= 15 + 3a – 5a – a2
= 15 – 2a – a2
f. (2 + a)(a2 – 2a + 1) = 2(a2 – 2a + 1) + a(a2 – 2a + 1)
= 2a2 – 4a + 2 + a3 – 2a2 + a
= a3 + 2a2 – 2a2 – 4a + a + 2
= a3 – 3a + 2