Pada potensi kali ini kita akan membahas ihwal operasi hitung bentuk aljabar yg terdiri atas penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, & perpangkatan lengkap dgn contoh soal & pembahasan. Untuk itu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini.
Operasi Hitung Penjumlahan & Pengurangan Bentuk Aljabar
Sifat-sifat penjumlahan & pengurangan pada bilangan bulat pula berlaku pada bentuk aljabar namun operasi penjumlahan & penghematan pada bentuk aljabar hanya mampu dikerjakan pada suku-suku yg sejenis saja.
Perhatikan bentuk aljabar berikut ini.
3a + 5b + 3c + 2a + 7c – 3b
Aljabar di atas dapat dinyatakan dlm bentuk yg lebih sederhana dgn cara menggolongkan suku-suku yg sejenis sampai diperoleh bentuk mirip berikut ini.
3a + 5b + 3c + 2a + 7c – 3b = (3a + 2a) + (5b – 3b) + (3c + 7c)
⇒ 5a + 2b + 10c
Untuk menyelesaikan penjumlahan atau pengurangan suku-suku sejenis dr bentuk aljabar mampu dilaksanakan dgn cara mengelompokkan & menyusun ke bawah. Untuk lebih jelasnya, perhatikan teladan berikut ini.
Contoh:
1. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar di bawah ini.
a. 2a + 4b + 3a
b. 3x + 6y + 14x – 8y
Penyelesaian:
a. 2a + 4b + 3a = 2a + 3a + 4b = (2 + 3)a + 4b = 5a + 4b
b. 3x + 6y + 14x – 8y = 3x + 14x + 6y – 8y = (3 + 14)x + (6 – 8)y = 17x – 2y
2. Jumlahkan 3a + 5b + 7c dgn 4b + 5a + 3c dgn cara:
a. menggolongkan, dan
b. menyusun ke bawah.
Penyelesaian:
a. Cara menggolongkan
⇒ (3a + 5b + 7c) + (4b + 5a + 3c)
⇒ (3a + 5a) + (5b + 4b) + (7c + 3c)
⇒ (3 + 5) a + (5 + 4) b + (7 + 3)c
⇒ 8a + 9b + 10c
b. Cara menyusun ke bawah
|
3a + 5b + 7c
|
|
|
5a + 4b + 3c
|
+
|
|
8a + 9b + 10c
|
3. Kurangkan 2a + 5b – 3c dgn a + 3b + 2c dgn cara:
a. mengelompokkan, dan
b. menyusun ke bawah.
Penyelesaian:
a. Cara mengelompokkan
⇒ (2a + 5b – 3c) – (a + 3b + 2c)
⇒ 2a + 5b – 3c – a – 3b – 2c
⇒ (2a – a) + (5b – 3b) + (–3c – 2c)
⇒ (2 – 1) a + (5 – 3) b + (–3 – 2) c
⇒ a + 2b + (–5) c
⇒ a + 2b – 5c
b. Cara menyusun ke bawah
|
2a + 5b – 3c
|
|
|
a + 3b + 2c
|
–
|
|
a + 2b – 5c
|
Operasi Hitung Perkalian Bentuk Aljabar
Operasi hitung perkalian pada bentuk aljabar ada dua bentuk, yakni perkalian antara konstanta dgn bentuk aljabar & perkalian antara dua bentuk aljabar. Berikut penjelasan beserta teladan-teladan soalnya.
1. Perkalian antara konstanta dgn bentuk aljabar
Perkalian sebuah bilangan konstanta k dgn bentuk aljabar suku satu & suku dua dinyatakan sebagai berikut.
|
k(ax) = kax
k(ax + b) = kax + kb
|
Contoh:
Jabarkan bentuk aljabar berikut ini, kemudian sederhanakanlah.
a. 4(p + q)
b. 5(ax + by)
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)
d. -8(2x – y + 3z)
Penyelesaian:
a. 4(p + q) = 4p + 4q
b. 5(ax + by) = 5ax + 5by
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6
= 3x + 42x – 6 + 6
= (3 + 42)x + 0
= 45x
d. -8(2x – y + 3z) = -16x + 8y – 24z
2. Perkalian antara dua bentuk aljabar
Sebagaimana perkalian sebuah konstanta dgn bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat mempergunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan & sifat distributif perkalian terhadap penghematan.
Selain dgn cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, mampu menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dgn suku dua berikut.
Selain dgn cara sketsa mirip di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dgn suku dua mampu dipakai sifat distributif mirip uraian berikut ini.
(ax + b)(cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)
= ax × cx + ax × d + b × cx + b × d
= acx2 + adx + bcx + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dgn suku tiga berlaku selaku berikut.
= ax × cx2 + ax × dx + ax × e + b × cx2 + b × dx + b × e
= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be
= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be
Contoh:
Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dlm bentuk jumlah atau selisih.
1. (2x + 3)(3x – 2)
2. (–4a + b)(4a + 2b)
3. (2x – 1)(x2 – 2x + 4)
4. (x + 2)(x – 2)
Penyelesaian:
1. (2x + 3)(3x – 2) kita selesaian dgn dua cara, ialah selaku berikut.
● Cara (1) dgn sifat distributif
(2x + 3)(3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)
= 6x2 – 4x + 9x – 6
= 6x2 + 5x – 6
● Cara (2) dgn denah
= 2x × 3x + 2x × (–2) + 3 × 3x + 3 × (–2)
= 6x2 – 4x + 9x – 6
= 6x2 + 5x – 6
2. (–4a + b)(4a + 2b) kita tuntaskan dgn dua cara, ialah selaku berikut.
● Cara (1) dgn sifat distributif
(–4a + b)(4a + 2b) = –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)
= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2
= –16a2 – 4ab + 2b2
● Cara (2) dgn sketsa
= (–4a) × 4a + (–4a) × 2b + b × 4a + b × 2b
= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2
= –16a2 – 4ab + 2b2
3. (2x – 1)(x2 – 2x + 4) kita selesaikan dgn dua cara, yakni selaku berikut.
● Cara (1) dgn sifat distributif
(2x – 1) (x2 – 2x + 4) = 2x(x2 – 2x + 4) – 1(x2 – 2x + 4)
= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4
= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4
= 2x3 – 5x2 + 10x – 4
● Cara (2) dgn denah
= 2x × x2 + 2x × (–2x) + 2x × 4 + (–1) × x2 + (– 1) × (–2x) + (–1) × 4
= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4
= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4
= 2x3 – 5x2 + 10x – 4
4. (x + 2)(x – 2) kita tuntaskan dgn dua cara, yaitu sebagai berikut.
● Cara (1) dgn sifat distributif
(x + 2)(x – 2) = x(x – 2) + 2(x – 2)
= x2 – 2x + 2x – 4
= x2 – 4
● Cara (2) dgn skema
= x × x + x × (–2) + 2 × x + 2 × (–2)
= x2 – 2x + 2x – 4
= x2 – 4
Operasi Hitung Pembagian Bentuk Aljabar
Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dgn menentukan apalagi dahulu aspek sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melaksanakan pembagian pada pembilang & penyebutnya. Untuk lebih jelasnya, amati pola berikut ini.
Contoh:
Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut ini.
1. 3xy : 2y
2. 6a3b2 : 3a2b
3. x3y : ( x2y2 : xy)
4. (24p2q + 18pq2) : 3pq
Penyelesaian:
|
1.
|
3xy : 2y
|
=
|
3xy
|
|
2y
|
|
=
|
3
|
x
|
(aspek sekutu y)
|
|
2
|
|
2.
|
6a3b2 : 3a2b
|
=
|
6a3b2
|
|
3a2b
|
|
=
|
3a2b × 2ab
|
(faktor sekutu 3a2b
|
|
3a2b
|
= 2ab
|
3.
|
x3y : ( x2y2 : xy)
|
=
|
x3y
|
:
|
|
x2y2
|
|
|
xy
|
|
=
|
x3y
|
:
|
|
xy × xy
|
|
|
xy
|
|
=
|
x3y : xy
|
=
|
xy × x2
|
|
xy
|
= x2
|
4.
|
(24p2q + 18pq2) : 3pq
|
=
|
24p2q + 18pq2
|
|
3pq
|
|
=
|
6pq(4p + 3q)
|
|
3pq
|
= 2(4p + 3q)
Operasi Hitung Perpangkatan Bentuk Aljabar
Coba kalian ingat kembali bahan wacana operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan selaku bentuk perkalian berulang dgn bilangan yg sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bundar a, berlaku selaku berikut.
|
pn
|
=
|
p × p × p × … × p
|
|
sebanyak n faktor
|
Hal ini pula berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, amati acuan berikut ini.
Contoh Soal 1:
Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.
1. (2p)2
2. –(3x2yz3)3
3. (–3p2q)2
Penyelesaian:
1. (2p)2 = (2p) × (2p) = 4p2
2. –(3x2yz3)3 = –27x6y3z9
3. (–3p2q)2 = 9p4q2
Contoh Soal 2:
a. (2a)2
b. (3xy)3
c. (–2ab)4
d. (4a2b2)2
e. –3(x2y)3
f. –(2pq)4
g. 1/2(2xy)2
h. a(ab2)3
Penyelesaian:
a. (2a)2 = 4a2
b. (3xy)3 = 9x3y3
c. (–2ab)4 = 16a4b4
d. (4a2b2)2 = 16a4b4
e. –3(x2y)3 = -3(x5y3) = -3x5y3
f. –(2pq)4 = -(16p4q4) = -16p4q4
g. 1/2(2xy)2 = 1/2(4x2y2) = 2x2y2
h. a(ab2)3 = a(a3b5) = a4b5
Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dgn n bilangan asli. Perhatikan uraian berikut.
□ (a + b)1 = a + b → koefisiennya 1 1
□ (a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ab+ b2
= a2 + 2ab+ b2 → koefisiennya 1 2 1
□ (a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 → koefisiennya 1 3 3 1
dan seterusnya.
Adapun pangkat dr a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dr an kemudian berkurang satu demi satu & terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dr b (unsur kedua) dimulai dgn b1 pada suku ke-2
kemudian bertambah satu demi satu & terakhir bn pada suku ke-(n + 1).
Perhatikan pola koefisien yg terbentuk dr klasifikasi bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut diputuskan menurut segitiga Pascal berikut.
Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yg berada di bawahnya diperoleh dr penjumlahan bilangan yg berdekatan yg berada di atasnya.
Sekarang perhatikan pola berikut ini.
Contoh Soal 3:
Jabarkan bentuk aljabar berikut.
a. (3x + 5)2
b. (2x – 3y)2
c. (x + 3 y)3
d. (a – 4)4
Penyelesaian:
a. (3x + 5)2 = 1(3x)2(5)0 + 2(3x)1(5)1 + 1(3x)0(5)2
= 1(9x2)(1) + 2(3x)(5) + 1(1)(25)
= 9x2 + 30x + 25
b. (2x – 3y)2 = 1(2x)2(-3y)0 + 2(2x)1(–3y)1 + 1(2x)0(–3y)2
= 1(4x2)(1) + 2(2x)(–3y) + 1(1)(9y2)
= 4x2 – 12xy + 9y2
c. (x + 3y)3 = 1(x)3(3y)0 + 3(x)2(3y)1 + 3(x)1(3y)2 + 1(x)0(3y)3
= 1(x3)(1) + 3(x2)(3y) + 3(x)(9y2) + 1(1)(27y3)
= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
d. (a – 4)4 = 1(a)4(-4)0 + 4(a)3(-4)1 + 6(a)2(-4)2 + 4(a)1(-4)3 + 1(a)0(-4)4
= 1(a4)(1) + 4(a3)(-4) + 6(a2)(16) + 4(a)(-64) + 1(1)(256)
= a4 − 16a3 + 96a2 − 256a + 256