Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ialah bentuk aljabar yg memiliki pangkat tertinggi adalah 2 & menampung tanda persamaan. Sedangkan persamaan kuadrat satu variabel adalah persamaan kuadrat yg hanya mempunyai satu variabel. Pada peluang ini akan membahas persamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat yg akan kita bahas ini ialah persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0, dgn a tak sama dgn 0.
Contoh bentuk persamaan kuadrat
- x2 + 3x + 2 = 0
- x2 – 2x + 1 = 0
- 4y2 – 9 = 0
- 3p2 – 9p = 0
- x2 + 6x = 16
- 2m2 – 7m = 4
- 3x2 – 4x – 20 = 0
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Menyelesaikan persamaan kuadrat ialah menentukan solusi atau pengganti variabel yg berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.
Sebagai contoh seperti berikut.
Menentukan penyelesaian dr x2 + 3x + 2 = 0.
x = 1 bukan penyelesaian, alasannya 12 + 3(1) + 2 = 0 bernilai salah
x = 2 bukan penyelesaian, alasannya adalah 22 + 3(2) + 2 = 0 bernilai salah
x = -1 merupakan penyelesaian, sebab (-1)2 + 3(-1) + 2 = 0 bernilai benar
x = -2 merupakan penyelesaian, alasannya (-2)2 + 3(-2) + 2 = 0 bernilai benar
Makara, penyelesaian dr persamaan x2 + 3x + 2 = 0 adalah x = -1 atau x = -2.
Cara menentukan penyelesaian dgn cara main-main memasukkan bilanganseperti di atas kurang efektif. Maka dibutuhkan cara lain yg lebih efektif & efisien.
Sebelum menuntaskan persamaan kuadrat, kita tahu bahwa perkalian (px + q)(rx + s),dengan p, q, r, s sebuah bilangan & x yakni variabel akan menciptakan bentuk aljabar kuadrat.
Dapat ditulis seperti berikut.
(x + p)(x + q) = x2 + bx + c
(px + q)(rx + s) = ax2 + bx + c
Dengan demikian bentuk ax2 + bx + c dapat difaktorkan menjadi (px + q)(rx + s). Bentuk pemfaktoran ini akan digunakan dlm penyelesaian persoalan persamaan kuadrat.
Bentuk persamaan ax2 + bx + c = 0 mampu diubah menjadi bentuk (px + q)(rx + s) = 0. Dari sinilah diperoleh penyelesaian px + q = 0 atau rx + s = 0. Kaprikornus, penyelesaian dr persamaan kuadrat tersebut adalah x = -q/p atau x = -s/r.
Cara penyelesaian tersebut dinamakan cara menfaktorkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola berikut.
Contoh 1
Tentukan penyelesaian dr x2 + 5x + 4 = 0
Jawaban
x2 + 5x + 4 = 0
(x – 4)(x – 1) = 0
x – 4 = 0 atau x – 1 = 0
x = 4 x = 1
Jadi, penyelesaian dr persamaan x2 + 5x + 4 = 0 ialah x = 4 atau x = 1.
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dr x2 – 3x – 10 = 0
Jawaban
x2 – 3x – 10 = 0
(x + 2)(x – 5) = 0
x + 2 = 0 atau x – 5 = 0
x = -2 x = 5
Kaprikornus, penyelesaian dr persamaan x2 – 3x – 10 = 0 ialah x = -2 atau x = 5.
Contoh 3
Tentukan nilai y yg menyanggupi 4y2 – 49 = 0
Jawaban
4y2 – 49 = 0
(2y)2 –72 = 0
(2y – 7)(2y + 7) = 0
2y – 7 = 0 atau 2y + 7= 0
y = 7/2 y = -7/2
Kaprikornus, penyelesaian dr persamaan 4y2 – 49 = 0 yakni x = 7/2 atau x = –7/2
Contoh 4
Tentukan nilai m yg memenuhi 2m2 – 7m – 4 = 0
Jawaban
2m2 – 7m – 4 = 0
2m2 – 8m + m – 4 = 0
2m(m – 4) + m – 4 = 0
(m – 4)(2m + 1) = 0
m – 4 = 0 atau 2m + 1= 0
m = 4 m = -1/2
Kaprikornus, penyelesaian dr persamaan 2m2 – 7m – 4 = 0 yaitu x = 4 atau x = -1/2
Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat ialah bentuk aljabar yg memiliki pangkat tertinggi yakni 2 & memuat tanda pertidaksamaan. Sedangkan pertidaksamaan kuadrat satu variabel yakni pertidaksamaan kuadrat yg hanya mempunyai satu variabel. Pada potensi ini akan membicarakan pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya pertidaksamaan kuadrat.
Pertidaksamaan kuadrat yg akan kita diskusikan ini ialah pertidaksamaan kuadrat berupa ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c >= 0, & ax2 + bx + c <= 0 dgn a tak sama dgn 0.
Contoh bentuk pertifdaksamaan kuadrat
- x2 + 6x + 5 < 0
- x2 – 4x – 12 > 0
- 9y2 – 25 >= 0
- 12p2 – 9p <= 0
- x2 + 6x > 16
- 2m2 – 7m < 4
- 3x2 – 4x – 20 > 0
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat nyaris sama caranya dgn menyelesaikan persamaan kuadrat. Hanya saja, pada penyelesaian ini ada satu langkah lagi untuk menentukan kawasan penyelesaian.
Perhatikan langka-langkah penylesaian dr beberapa teladan pertidaksamaan kuadrat berikut.
Contoh 1
Tentukan penyelesaian dr x2 – 2x – 8 > 0
Jawaban
x2 – 2x – 8 > 0
(x + 2)(x – 4) > 0
Menentukan pembuat nol fungsi
x + 2 = 0 atau x – 4 = 0
x = -2 x = 4
Membuat garis bilangan untuk memilih daerah penyelesaian.
Daerah x < -2 bernilai positif
Daerah -2 < x< 4 bernilai negatif
Daerah x > 4 bernilai faktual
Oleh karena penyelesaian yg dimaksud dr soal adalah lebih dr 0 (….> 0), maka penyelesaiannya diseleksi daerah yg bernilai aktual.
Makara, penyelesaian dr pertidaksamaan x2 – 2x – 8 > 0 yakni x < -2 atau x > 4.
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dr x2 – 7x + 10 < 0
Jawaban
x2 – 7x + 10 < 0
(x – 5)(x – 2) < 0
Menentukan pembuat nol fungsi
x – 5 = 0 atau x – 2 = 0
x = 5 x = 2
Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.
Daerah x < 2 bernilai faktual
Daerah 2 < x < 5 bernilai negatif
Daerah x > 5 bernilai positif
Oleh lantaran penyelesaian yg dimaksud dr soal yakni kurang dr 0 (…. < 0), maka penyelesaiannya diseleksi daerah yg bernilai negatif.
Jadi, penyelesaian dr pertidaksamaan x2 – 7x + 10 < 0 ialah 2 < x < 5.
Contoh 3
Tentukan penyelesaian dr 3x2 – 4x – 20 <= 0
Jawaban
3x2 – 4x – 20 <= 0
3x2 + 6x – 10x – 20 <= 0
3x(x + 2) – 10(x + 2) <= 0
(3x – 10) (x + 2) <= 0
Menentukan pembuat nol fungsi
3x – 10 = 0 atau x + 2 = 0
x = 10/3 x = –2
Membuat garis bilangan untuk menentukan tempat penyelesaian.
Daerah x < –2bernilai faktual
Daerah –2 < x < 10/3 bernilai negatif
Daerah x > 10/3 bernilai aktual
Oleh lantaran penyelesaian yg dimaksud dr soal adalah kurang dr 0 (…. <= 0), maka penyelesaiannya dipilih tempat yg bernilai negatif.
Kaprikornus, penyelesaian dr pertidaksamaan 3x2 – 4x – 20 <= 0 adalah -2 < x < 10/3.