Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

by
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ialah bentuk aljabar yg mempunyai pangkat tertinggi adalah 2 & memuat tanda persamaan. Sedangkan persamaan kuadrat satu variabel ialah persamaan kuadrat yg cuma memiliki satu variabel. Pada peluang ini akan membahas persamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat yg akan kita bahas ini ialah persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0, dgn a tak sama dgn 0.
Contoh bentuk persamaan kuadrat
  1. x2 + 3x + 2 = 0
  2. x2 – 2x + 1 = 0
  3. 4y2 – 9 = 0
  4. 3p2 – 9p = 0
  5. x2 + 6x = 16
  6. 2m2 – 7m = 4
  7. 3x2 – 4x – 20 = 0

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu menentukan penyelesaian atau pengganti variabel yg berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.
Sebagai pola seperti berikut.
Menentukan penyelesaian dr x2 + 3x + 2 = 0.
x = 1 bukan penyelesaian, sebab 12 + 3(1) + 2 = 0 bernilai salah
x = 2 bukan penyelesaian, alasannya adalah 22 + 3(2) + 2 = 0 bernilai salah
x = -1 merupakan penyelesaian, karena (-1)2 + 3(-1) + 2 = 0 bernilai benar
x = -2 merupakan penyelesaian, alasannya (-2)2 + 3(-2) + 2 = 0 bernilai benar
Jadi, penyelesaian dr persamaan x2 + 3x + 2 = 0 adalah x = -1 atau x = -2.

Cara menentukan penyelesaian dgn cara coba-coba memasukkan bilanganseperti di atas kurang efektif. Maka dibutuhkan cara lain yg lebih efektif & efisien.
Sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat, kita tahu bahwa perkalian (px + q)(rx + s),dengan p, q, r, s sebuah bilangan & x yaitu variabel akan menghasilkan bentuk aljabar kuadrat.
Dapat ditulis seperti berikut.
(x + p)(x + q) = x2 + bx + c
(px + q)(rx + s) = ax2 + bx + c
Dengan demikian bentuk ax2 + bx + c dapat difaktorkan menjadi (px + q)(rx + s). Bentuk pemfaktoran ini akan digunakan dlm penyelesaian problem persamaan kuadrat.
Bentuk persamaan ax2 + bx + c = 0 mampu diubah menjadi bentuk (px + q)(rx + s) = 0. Dari sinilah diperoleh penyelesaian px + q = 0 atau rx + s = 0. Makara, penyelesaian dr persamaan kuadrat  tersebut yakni x = -q/p atau x = -s/r.
Cara penyelesaian tersebut dinamakan cara menfaktorkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola berikut.

Contoh 1
Tentukan penyelesaian dr x2 + 5x + 4 = 0
Jawaban
x2 + 5x + 4 = 0
(x – 4)(x – 1) = 0
x – 4 = 0 atau x – 1 = 0
x = 4                   x = 1
Jadi, penyelesaian dr persamaan x2 + 5x + 4 = 0 yakni x = 4 atau x = 1.

Contoh 2
Tentukan penyelesaian dr x2 – 3x – 10 = 0
Jawaban
x2 – 3x – 10 = 0
(x + 2)(x – 5) = 0
x + 2 = 0 atau x – 5 = 0
x = -2                      x = 5
Makara, penyelesaian dr persamaan x2 – 3x – 10 = 0 yakni x = -2 atau x = 5.

Contoh 3
Tentukan nilai m yg memenuhi 2m2 – 7m – 4 = 0
Jawaban
2m2 – 7m – 4 = 0
2m2 – 8m + m – 4 = 0
2m(m – 4) + m – 4 = 0
(m – 4)(2m + 1) = 0
m – 4 = 0 atau 2m + 1= 0
m = 4                      m = -1/2
Makara, penyelesaian dr persamaan 2m2 – 7m – 4 = 0 adalah m = 4 atau m = -1/2

  Cara Mudah dan Benar dalam Menentukan dan Menghitung Modus pada Tabel Distribusi Frekuensi dan Histogram
Contoh 4
Tentukan nilai m yg memenuhi  3x2 – 4x – 20 = 0
Jawaban
3x2 – 4x – 20 = 0
3x2 + 6x – 10x – 20 = 0
3x(x + 2) – 10(x + 2) = 0
(3x – 10) (x + 2) = 0

3x – 10 = 0 atau x + 2 = 0
x = 10/3                      x = –2

Kaprikornus, penyelesaian dr persamaan 3x2 – 4x – 20 = 0 ialah x = 10/3  atau x = –2.

 

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat yakni bentuk aljabar yg mempunyai pangkat tertinggi yakni 2 & menampung tanda pertidaksamaan. Sedangkan pertidaksamaan kuadrat satu variabel adalah pertidaksamaan kuadrat yg hanya memiliki satu variabel. Pada peluang ini akan membicarakan pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya pertidaksamaan kuadrat.

Pertidaksamaan kuadrat yg akan kita bahas ini yaitu pertidaksamaan kuadrat berupa ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c >= 0, & ax2 + bx + c <= 0 dgn a tak sama dgn 0.

Contoh bentuk pertifdaksamaan kuadrat
  1. x2 + 6x + 5 < 0
  2. x2 – 4x – 12 > 0
  3. 9y2 – 25 >= 0
  4. 12p2 – 9p <= 0
  5. x2 + 6x > 16
  6. 2m2 – 7m < 4
  7. 3x2 – 4x – 20 > 0
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat hampir sama caranya dgn menyelesaikan persamaan kuadrat. Hanya saja, pada penyelesaian ini ada satu langkah lagi untuk memilih tempat penyelesaian.
Perhatikan langka-langkah penylesaian dr beberapa acuan pertidaksamaan kuadrat berikut.
Contoh 4
Tentukan penyelesaian dr x2 – 2x – 8 > 0
Jawaban
x2 – 2x – 8 > 0
(x + 2)(x – 4) > 0
Menentukan pembuat nol fungsi
x + 2 = 0 atau x – 4 = 0
x = -2                      x = 4
Membuat garis bilangan untuk menentukan tempat penyelesaian.
Daerah x < -2 bernilai nyata
Daerah -2 < x< 4 bernilai negatif
Daerah x > 4 bernilai aktual
Oleh karena penyelesaian yg dimaksud dr soal adalah lebih dr 0 (….> 0), maka penyelesaiannya dipilih tempat yg bernilai konkret.
Kaprikornus, penyelesaian dr pertidaksamaan x2 – 2x – 8 > 0 yaitu x < -2 atau x > 4.
Contoh 5
Tentukan penyelesaian dr x2 – 7x + 10 < 0
Jawaban
x2 – 7x + 10 < 0
(x – 5)(x – 2) < 0
Menentukan pembuat nol fungsi
x – 5 = 0 atau x – 2 = 0
     x = 5                x = 2
Membuat garis bilangan untuk memilih daerah penyelesaian.

 

 

Daerah x < 2 bernilai aktual

Daerah 2 < x < 5 bernilai negatif

Daerah x > 5 bernilai aktual

Oleh karena penyelesaian yg dimaksud dr soal ialah kurang dr 0 (…. < 0), maka penyelesaiannya dipilih tempat yg bernilai negatif.

Jadi, penyelesaian dr pertidaksamaan x2 – 7x + 10 < 0 yakni 2 < x < 5.

Contoh 6

Tentukan penyelesaian dr 3x2 – 4x – 20 <= 0

Jawaban

3x2 – 4x – 20 <= 0

3x2 + 6x – 10x – 20 <= 0

3x(x + 2) – 10(x + 2) <= 0

(3x – 10) (x + 2) <= 0

Menentukan pembuat nol fungsi

3x – 10 = 0 atau x + 2 = 0

          x = 10/3               x = –2

Membuat garis bilangan untuk memilih daerah penyelesaian.

Daerah x < –2 bernilai kasatmata
Daerah –2 < x < 10/3 bernilai negatif
Daerah x > 10/3 bernilai faktual
Oleh karena penyelesaian yg dimaksud dr soal ialah kurang dr 0 (…. <= 0), maka penyelesaiannya diseleksi tempat yg bernilai negatif.
Kaprikornus, penyelesaian dr pertidaksamaan 3x2 – 4x – 20 <= 0 yakni -2 <= x <= 10/3.