Untuk menghitung hasil pangkat aljabar suku dua bentuk (a + b)c dengan a & b yakni bilangan bulat & c bilangan bulat positif salah satu cara termudahnya adalah dgn memakai segitiga pascal. Lalu tahukah kalian bagaimana penerapan (aplikasi) atau penggunaan segitiga pascal dlm mengkalkulasikan pangkat aljabar suku dua tersebut? Untuk mengetahuinya, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini.
Apa itu Segitiga Pascal?
Menurut Wikipedia, segitiga Pascal yaitu suatu aturan geometri pada koefisien binomial dlm sebuah segitiga. Bahasa mudahnya ialah mirip ini, segitiga Pascal merupakan barisan angka-angka yg tersusun sedemikian rupa sampai apabila dihubungkan dgn suatu garis pada bab tepinya akan membentuk berdiri segitiga. Perhatikan gambar berikut ini.
Segitiga Pascal ini menyatakan koefisien dr suatu hasil perpangkatan suku dua mirip bentuk (a + b), (x + y), (m + n), (p + q) & sebagainya. Dari gambar segitiga Pascal di atas, semakin ke bawah gugusan angka akan makin panjang & nominalnya akan kian besar. Hal ini selaras dgn nominal pangkatnya.
Bagaimana Cara Membangun Segitiga Pascal?
Barisan segitiga Pascal lazimnya dihitung dimulai dgn baris kosong, & nomor-nomor dlm barisan ganjil biasanya dikelola agar terkait dgn nomor-nomor dlm barisan genap. Untuk menciptakan konstruksi sederhana pada segitiga Pascal dijalankan dgn cara berikut.
□ Di barisan nol, cuma ditulis nomor 1.
□ Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan barikutnya, tambahkan nomor di atas & di kiri dgn nomor dengan-cara langsung di atas & di kanan untuk mendapatkan nilai gres.
□ Jika nomor di kanan atau kiri tak ada, gantikan suatu kosong pada tempatnya. Misalnya, nomor satu di barisan pertama ialah 0 + 1 = 0, di mana nomor 1 & 3 dlm barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 dlm barisan keempat.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambaran pembuatan segitiga Pascal dlm animasi berikut ini.
Cara Menggunakan Segita Pascal
Misalkan kita akan menentukan teladan koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dgn n bilangan asli. Perhatikan uraian berikut.
□ (a + b)1 = a + b → koefisiennya 1 1
□ (a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ab+ b2
= a2 + 2ab+ b2 → koefisiennya 1 2 1
□ (a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 → koefisiennya 1 3 3 1
dan seterusnya.
Adapun pangkat dr a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dr an kemudian berkurang satu demi satu & terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dr b (unsur kedua) dimulai dgn b1 pada suku ke-2 kemudian bertambah satu demi satu & terakhir bn pada suku ke-(n + 1).
Perhatikan teladan koefisien yg terbentuk dr klasifikasi bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan berdasarkan segitiga Pascal berikut.
Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yg berada di bawahnya diperoleh dr penjumlahan bilangan yg berdekatan yg berada di atasnya.
Sekarang coba perhatikan hukum penerapan segitiga Pascal dlm menjabarkan perpangkatan aljabar suku dua berikut ini.
Contoh:
(a + b)5 = 1(a)5(b)0 + 5(a)4(b)1 + 10(a)3(b)2 + 10(a2)(b)3 + 5(a)1(b)4 + 1(a)0(b)5
□ Dari perhitungan di atas, angka bercetak tebal menyatakan koefisien yaitu 1, 5, 10, 10, 5, 1. Hal ini sesuai dgn contoh angka pada baris ke-6 segitiga Pascal di atas.
□ Kemudian apabila kalian amati, pangkat variabel a dr kiri ke kanan kian menyusut yakni a5, a4, a3, a2, a1 dan a0.
□ Sedangkan pangkat variabel b dr kiri ke kanan semakin bertambah yakni b0, b1, b2, b3, b4 dan b5.
□ Kaprikornus dapat dibilang bahwa jumlah pangkat dr a & b selalu 5 sesuai dgn banyaknya perpangkatan aljabar suku dua tersebut. Perhatikan uraian berikut.
● 1(a)5(b)0 = 5 + 0 = 5
● 5(a)4(b)1 = 4 + 1 = 5
● 10(a)3(b)2 = 3 + 2 = 5
● 5(a)1(b)4 = 1 + 4 = 5
● 1(a)0(b)5 = 0 + 5 = 5
Dari hasil perhitungan di atas, maka hasil dr (a + b)5 yakni selaku berikut.
(a + b)5 = a5 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + b5
Contoh Soal & Pembahasan
Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar berikut.
a. (x + 2)2
b. 3(2x – 1)3
c. 2(3p + q)4
d. –3(–x – y)3
e. (4x – 2y)3
f. 5(3a + 2)4
g. (y + 1)5
h. (–2x – 3y)3
Penyelesaian:
a. (x + 2)2 = 1(x)2(2)0 + 2(x)1(2)1 + 1(x)0(2)2
= x2 + 4x + 4
b. 3(2x – 1)3 = 3[1(2x)3(-1)0 + 3(2x)2(-1)1 + 3(2x)1(-1)2 + 1(2x)0(-1)3]
= 3(2x3 – 12x2 + 6x – 1)
= 6x3 – 36x2 + 18x – 3
c. 2(3p + q)4 = 2[1(3p)4(q)0 + 4(3p)3(q)1 + 6(3p)2(q)2 + 4(3p)1(q)3 + 1(3p)0(q)4]
= 2(81p4 + 108p3q + 54p2q2 + 12pq3 + q4)
= 162p4 + 216p3q + 108p2q2 + 24pq3 + 2q4
d. –3(–x – y)3 = -3[1(-x)3(-y)0 + 3(-x)2(-y)1 + 3(-x)1(-y)2 + 1(-x)0(-y)3]
= -3(-x3 – 3x2y – 3xy2 – y3)
= 3x3 + 9x2y + 9xy2 + 3y3
e. (4x – 2y)3 = 1(4x)3(-2y)0 + 3(4x)2(-2y)1 + 3(4x)1(-2y)2 + 1(4x)0(-2y)3
= 64x3 – 96x2y + 48xy2 – 8y3
f. 5(3a + 2)4 = 5[1(3a)4(2)0 + 4(3a)3(2)1 + 6(3a)2(2)2 + 4(3a)1(2)2 + 1(3a)0(2)4]
= 5[1(81a3)(1) + 4(27a3)(2) + 6(9a2)(4) + 4(3a)(4) + 1(1)(16)]
= 5(81a3 + 216a3 + 216a2 + 48a + 16)
= 405a3 + 1080a3 + 1080a2 + 240a + 80
g. (y + 1)5 = 1(y)5(1)0 + 5(y)4(1)1 + 10(y)3(1)2 + 10(y)2(1)3 + 5(y)1(1)4 + 1(y)0(1)5
= y5 + 5y4 + 10y3 + 10y2 + 5y + 1
h. (–2x – 3y)3 = 1(-2x)3(-3y)0 + 3(-2x)2(-3y)1 + 3(-2x)1(-3y)2 + 1(-2x)0(-3y)3
= 1(-8x3)(1) + 3(4x2)(-3y) + 3(-2x)(9y2) + 1(1)(-27y3)
= -8x3 – 36x2y – 54xy2 – 27y3