Pola barisan bilangan mempunyai arti sebuah susunan bilangan yg mempunyai bentuk terorganisir atau suatu bilangan yg tersusun dr beberapa bilangan lain yg membentuk sebuah pola.
Contoh teladan barisan bilangan
1. Pola bilangan genap : 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . .
Rumus : Un = 2n
2. Pola bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . .
Rumus : Un = 2n – 1
3. Pola bilangan persegi : 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . .
Rumus : Un = n2
4. Pola bilangan kubik : 1, 8, 27, 64, 125, . . . .
Rumus : Un = n3
5. Pola bilangan persegi panjang : 2, 6, 12, 20, 30, . . . .
Rumus : Un = n(n + 1)
6. Pola bilangan segitiga : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, . . . . .
Rumus : Un =(1/2)n(n + 1)
B. Barisan & Deret Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yg mempunyai teladan setiap bilangan berurutan memiliki selisih sama. Jika setiap barisan bilangan mempunyai suku pertama a & beda = b, maka:
Rumus suku ke-n yaitu : .
Rumus jumlah n suku pertama yaitu:
C. Barisan & Deret Geometri
Barisan geometri yaitu barisan bilangan yg mempunyai contoh setiap bilangan berurutan memiliki rasio sama. Jika setiap barisan bilangan mempunyai suku pertama a & rasio = r, maka:
Rumus suku ke-n adalah:
Rumus jumlah n suku pertama ialah :
Menentukan suku ke-n bila dimengerti jumlah suku-sukunya dirumuskan:
Contoh soal & Pembahasan:
1. Diketahui barisan aritmetika dgn suku pertama 5 & beda 3. Tentukan Suku ke-18.
Jawaban:
Diketahui : a = 5 & b = 3
Rumus suku ke-n:
Un = a + (n – 1)b
U18 = 5 + (18-1)3
= 5 + (17)(3)
= 5 + 51
=56
Kaprikornus, suku ke-18 yaitu 56.
2. Diketahui barisan aritmetika dgn suku ke-4 = 18 & suku ke-10 = 36. Tentukan suku ke-30.
Jawaban:
U4 = 18 maka a + 3b = 18 . . .(1)
U10 = 36 maka a + 9b = 36 . . .(2)
Eliminasi a pada kedua persamaan
a + 3b = 18 . . .(1)
a + 9b = 36 . . .(2)
______________________ _
-6b = -18
b = 3
Substitusikan b = 3 ke persamaan a + 3b = 18, maka:
a + 3(3) = 18, sehingga a + 9 = 18, & kesannya a = 9.
Rumus umum barisan menjadi:
Un = 9 + (n – 1)3 atau Un = 3n + 6.
Dengan demikian suku ke-30 mampu dicari selaku berikut.
U30 = 3(30) + 6
= 90 + 6
= 96
Jadi, suku ke-30 yakni 96.
3. Diketahui deret aritmetika dgn suku ke-10 = 34 & suku ke-15= 54. Tentukan jumlah 8 suku pertama.
Jawaban:
U10 = 34 maka a + 9b = 34 . . .(1)
U15 = 54 maka a + 14b = 54 . . .(2)
Eliminasi a pada kedua persamaan
a + 9b = 34 . . .(1)
a + 14b = 54 . . .(2)
______________________ _
-5b = -20
b =4
Substitusikan b = 4 ke persamaan a + 9b = 34, maka:
a + 9(4) = 34, sehingga a + 36 = 34, & karenanya a = -2.
Rumus lazim barisan menjadi:
Jumlah 8 suku pertama dapat dicari sebagai berikut.
Sn = (n/2) (2a + (n-1)b)
S8 = (8/2) (2(-2) + (8-1)4)
= 4(-4 + 28)
= 4(24)
= 96
Kaprikornus, jumlah 8 suku pertama yaitu 96.
4. Diketahui deret aritmetika dgn jumlah n suku pertama dirumuskan Sn = n^2 + 5n + 4 . Tentukan suku ke 5.
Jawaban:
Un = Sn – S(n-1)
= 5^2 + 5(5) + 4 -(4^2 + 5(4) + 4)
= (25 + 25 + 4) – ( 16 + 20 + 4)
= 54 – 40
= 14
Makara, suku ke- 5 ialah 14.
5. Seorang karyawan menerima bonus tahunan pertama sebesar Rp2.000.000,00. Setiap tahun bonus yg diterima akan naik Rp150.000,00. Jumlah bonus yg diterima karyawan selama 10 tahun?
Jawaban :
Permasalahan tersebut merupakan bentuk deret aritmetika dgn suku permulaan = a = 2.000.000 & beda = b = 150.000.
Jumlah 10 suku pertama (S10) dapat dijumlah selaku berikut.
Sn = (n/2)(2a + (n – 1)b)
S10 = (n/2)(2(2.000.000) + 9(150.000))
= 5(4.000.000 + 1.350.000)
= 5(5.350.000)
= 26.750.000
Makara, jumlah bonus yg diterima karyawan selama 10 tahun sebanyak Rp26.750.000,00.
Program Linear (2) : Nilai Optimum Pada Permasalahan Program Linear
6. Diketahui suku ke-2 & suku ke-6 suatu barisan geometri yakni 14 & 224. Tentukan Suku ke-10 barisan tersebut.
Jawaban:
Barisan geometri : Un = arn-1
Diketahui: U2 = ar = 14
U6 = ar5 = 224
Menentukan nilai rasio (r)
ar5 = 224 ar x r4 = 224
14 x r4 = 224
r4 = 224/14 = 16
r = 2
U10 = ar9 = ar x r8
= 14 x 28
= 14 x 246
= 3.584
Kaprikornus, suku ke-10 yakni 3.584.
7. Diketahui deret geometri dgn suku ke-4 = 24 & suku ke-7 ialah 192. Tentukan jumlah 10 suku pertama.
Jawaban:
Barisan geometri : Un = arn-1
Diketahui:
U4 = ar3 = 24
U7 = ar6 = 192
Menentukan nilai r
U7/U4 = 196/24 r3 = 8
r = 2
ar3 = 24
a(2)3 = 24
8a = 24
a = 3
Jumlah 10 suku pertama deret geometri
Makara, jumlah 10 suku pertama yaitu 3.096.
8. Sebuah sel membelah diri menjadi empat setiap 20 menit. Jika mula-mula terdapat 3 sel, Berapa banyak sel sehabis 2 jam?
Jawaban:
Permasalahan tentang barisan geometri.
Barisan geometri : Un = arn-1
Diketahui:
suku awal (a) = 20 & rasio (r) = 4
2 jam = 120 menit = 6 × 20 menit
Sehingga n = 6
U6 = ar5 = 3 × 45
= 3 × 1.024
= 3.072
Kaprikornus, banyak sel sehabis 2 jam yaitu 3.072.
