Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat ialah bentuk aljabar yg memiliki pangkat tertinggi adalah 2 & menampung tanda persamaan. Sedangkan persamaan kuadrat satu variabel adalah persamaan kuadrat yg hanya mempunyai satu variabel. Pada peluang ini akan membahas persamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat yg akan kita bahas ini ialah persamaan kuadrat berbentuk ax² + bx + c = 0, dgn a tak sama dgn 0.

Contoh bentuk persamaan kuadrat

x² + 3x + 2 = 0
x² – 2x + 1 = 0
4y² – 9 = 0
3p² – 9p = 0
x² + 6x = 16
2m² – 7m = 4
3x² – 4x – 20 = 0

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan persamaan kuadrat ialah menentukan solusi atau pengganti variabel yg berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh seperti berikut.

Menentukan penyelesaian dr x² + 3x + 2 = 0.

x = 1 bukan penyelesaian, alasannya 1² + 3(1) + 2 = 0 bernilai salah

x = 2 bukan penyelesaian, alasannya adalah 2² + 3(2) + 2 = 0 bernilai salah

x = -1 merupakan penyelesaian, sebab (-1)² + 3(-1) + 2 = 0 bernilai benar

x = -2 merupakan penyelesaian, alasannya (-2)² + 3(-2) + 2 = 0 bernilai benar

Makara, penyelesaian dr persamaan x² + 3x + 2 = 0 adalah x = -1 atau x = -2.

Cara menentukan penyelesaian dgn cara main-main memasukkan bilanganseperti di atas kurang efektif. Maka dibutuhkan cara lain yg lebih efektif & efisien.

Sebelum menuntaskan persamaan kuadrat, kita tahu bahwa perkalian (px + q)(rx + s),dengan p, q, r, s sebuah bilangan & x yakni variabel akan menciptakan bentuk aljabar kuadrat.

Dapat ditulis seperti berikut.

(x + p)(x + q) = x² + bx + c

(px + q)(rx + s) = ax² + bx + c

Dengan demikian bentuk ax² + bx + c dapat difaktorkan menjadi (px + q)(rx + s). Bentuk pemfaktoran ini akan digunakan dlm penyelesaian persoalan persamaan kuadrat.

Bentuk persamaan ax² + bx + c = 0 mampu diubah menjadi bentuk (px + q)(rx + s) = 0. Dari sinilah diperoleh penyelesaian px + q = 0 atau rx + s = 0. Kaprikornus, penyelesaian dr persamaan kuadrat tersebut adalah x = -q/p atau x = -s/r.

Cara penyelesaian tersebut dinamakan cara menfaktorkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola berikut.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dr x² + 5x + 4 = 0

Jawaban

x² + 5x + 4 = 0

(x – 4)(x – 1) = 0

x – 4 = 0 atau x – 1 = 0

x = 4 x = 1

Jadi, penyelesaian dr persamaan x² + 5x + 4 = 0 ialah x = 4 atau x = 1.

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dr x² – 3x – 10 = 0

Jawaban

x² – 3x – 10 = 0

Cara Menghitung Volume Benda Putar dengan Integral

(x + 2)(x – 5) = 0

x + 2 = 0 atau x – 5 = 0

x = -2 x = 5

Kaprikornus, penyelesaian dr persamaan x² – 3x – 10 = 0 ialah x = -2 atau x = 5.

Contoh 3

Tentukan nilai y yg menyanggupi 4y² – 49 = 0

Jawaban

4y² – 49 = 0

(2y)² –7² = 0

(2y – 7)(2y + 7) = 0

2y – 7 = 0 atau 2y + 7= 0

y = 7/2 y = -7/2

Kaprikornus, penyelesaian dr persamaan 4y² – 49 = 0 yakni x = 7/2 atau x = –7/2

Contoh 4

Tentukan nilai m yg memenuhi 2m² – 7m – 4 = 0

Jawaban

2m² – 7m – 4 = 0

2m² – 8m + m – 4 = 0

2m(m – 4) + m – 4 = 0

(m – 4)(2m + 1) = 0

m – 4 = 0 atau 2m + 1= 0

m = 4 m = -1/2

Kaprikornus, penyelesaian dr persamaan 2m² – 7m – 4 = 0 yaitu x = 4 atau x = -1/2

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat ialah bentuk aljabar yg memiliki pangkat tertinggi yakni 2 & memuat tanda pertidaksamaan. Sedangkan pertidaksamaan kuadrat satu variabel yakni pertidaksamaan kuadrat yg hanya mempunyai satu variabel. Pada potensi ini akan membicarakan pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya pertidaksamaan kuadrat.

Pertidaksamaan kuadrat yg akan kita diskusikan ini ialah pertidaksamaan kuadrat berupa ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c >= 0, & ax² + bx + c <= 0 dgn a tak sama dgn 0.

Contoh bentuk pertifdaksamaan kuadrat

x² + 6x + 5 < 0

x² – 4x – 12 > 0

9y² – 25 >= 0

12p² – 9p <= 0

x² + 6x > 16

2m² – 7m < 4

3x² – 4x – 20 > 0

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat nyaris sama caranya dgn menyelesaikan persamaan kuadrat. Hanya saja, pada penyelesaian ini ada satu langkah lagi untuk menentukan kawasan penyelesaian.

Perhatikan langka-langkah penylesaian dr beberapa teladan pertidaksamaan kuadrat berikut.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dr x² – 2x – 8 > 0

Jawaban

x² – 2x – 8 > 0

(x + 2)(x – 4) > 0

Menentukan pembuat nol fungsi

x + 2 = 0 atau x – 4 = 0

x = -2 x = 4

Membuat garis bilangan untuk memilih daerah penyelesaian.

Daerah x < -2 bernilai positif

Cara Menentukan Hasil Operasi Hitung Bilangan Pangkat dan Bentuk Aljabar (Pankat Bilangan Bulat)

Daerah -2 < x< 4 bernilai negatif

Daerah x > 4 bernilai faktual

Oleh karena penyelesaian yg dimaksud dr soal adalah lebih dr 0 (….> 0), maka penyelesaiannya diseleksi daerah yg bernilai aktual.

Makara, penyelesaian dr pertidaksamaan x² – 2x – 8 > 0 yakni x < -2 atau x > 4.

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dr x² – 7x + 10 < 0

Jawaban

x² – 7x + 10 < 0

(x – 5)(x – 2) < 0

Menentukan pembuat nol fungsi

x – 5 = 0 atau x – 2 = 0

x = 5 x = 2

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < 2 bernilai faktual

Daerah 2 < x < 5 bernilai negatif

Daerah x > 5 bernilai positif

Oleh lantaran penyelesaian yg dimaksud dr soal yakni kurang dr 0 (…. < 0), maka penyelesaiannya diseleksi daerah yg bernilai negatif.

Jadi, penyelesaian dr pertidaksamaan x² – 7x + 10 < 0 ialah 2 < x < 5.

Contoh 3

Tentukan penyelesaian dr 3x² – 4x – 20 <= 0

Jawaban

3x² – 4x – 20 <= 0

3x² + 6x – 10x – 20 <= 0

3x(x + 2) – 10(x + 2) <= 0

(3x – 10) (x + 2) <= 0

Menentukan pembuat nol fungsi

3x – 10 = 0 atau x + 2 = 0

x = 10/3 x = –2

Membuat garis bilangan untuk menentukan tempat penyelesaian.

Daerah x < –2bernilai faktual

Daerah –2 < x < 10/3 bernilai negatif

Daerah x > 10/3 bernilai aktual

Oleh lantaran penyelesaian yg dimaksud dr soal adalah kurang dr 0 (…. <= 0), maka penyelesaiannya dipilih tempat yg bernilai negatif.

Kaprikornus, penyelesaian dr pertidaksamaan 3x² – 4x – 20 <= 0 adalah -2 < x < 10/3.