Menentukan Interval x pada Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan Fungsi

by


Kali ini kita akan membahas ihwal materi aplikasi atau penerapan turunan dlm menentukan interval sebuah grafik fungsi dlm keadaan naik atau turun. Sebut saja tatkala grafik/kurva itu naik kita namakan fungsi naik & tatkala kurva itu turun kita namakan fungsi turun. Adapun tatkala berada di titik puncak, kita namakan kurva dlm kondisi stasioner. Titik yg berada dlm keadaan ini dinamakan titik stasioner.
Suatu grafik fungsi y = f(x) akan mengalami naik pada saat f’(x) > 0.
Grafik fungsi y = f(x) akan mengalami turun pada dikala f’(x) < 0.
Grafik fungsi y = f(x) mempunyai titik stasioner pada saat f’(x) = 0.
Dengan memakai rancangan turunan fungsi ini, tanpa menggambar sebuah grafik fungsi kita mampu memilih interval/selang dimana kurva akan turun maupun kurva akan naik.
Lebih jelasnya perhatikan pola berikut.
Misalkan grafik fungsi y = x2 + 2x – 8 digambarkan sebagai berikut.

Kali ini kita akan membahas tentang materi aplikasi atau penerapan turunan dlm menentuka Menentukan Interval x pada Fungsi Naik & Fungsi Turun Menggunakan Turunan Fungsi



Tampak  bahwa grafik/kurva di atas mempunyai keadaan turun-stasioner-naik.
Fungsi turun pada interval x < -1
Fungsi naik pada interval x > -1
Stasioner pada ketika x = -1.
Penentuan fungsi naik atau fungsi turun tersebut berdasarkan observasi.
Bagaimana kalau menggunakan turunan fungsi dlm memilih fungsi naik atau fungsi turun?
Perhatikan caranya seperti berikut.
Diketahui persamaan fungsi di y = f(x) = x2 + 2x – 8
maka
f’(x) = 2x + 2
Fungsi naik pada saat f’(x) > 0
                               2x + 2 > 0
                                     2x > -2
                                       x > -1
Fungsi turun pada saat f’(x) < 0
                               2x + 2 < 0
                                     2x < -2
                                       x < -1
Stasioner pada saat f’(x) = 0
                               2x + 2 = 0
                                     2x = -2
                                       x = -1
Lebih jelasnya mari amati beberapa acuan berikut.
Contoh
Tentukan interval nilai x yg menyebabkan fungsi berikut dlm kondisi naik (fungsi naik), kondisi turun (fungsi turun), & staioner menggunakan turunan fungsi.
1.  y = x2 – 6x – 5
2.  y = x2 + 8x + 10
3.  y = x3 + 6x2 + 9x – 8
4.  y = x3 – 3x2 – 24 x + 20
5.  y = 2x3 + 3x2 – 12x + 15
Jawaban :
1.  y = x2 – 6x – 5
      y’ = 2x – 6
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          2x – 6 > 0
               2x > 6
                 x > 3
          Jadi, fungsi naik pada saat x > 3.
      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          2x – 6 < 0
               2x < 6
                 x < 3
          Kaprikornus, fungsi turun pada saat x < 3.
      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
          2x – 6 = 0
               2x = 6
                 x = 3
          Jadi, fungsi tersebut stasioner pada dikala x = 3.
2.  y = x2 + 8x + 10
      y’ = 2x + 8
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          2x + 8 > 0
               2x > -8
                 x > -4
          Jadi, fungsi naik pada saat x > -4.
      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          2x + 8 < 0
               2x < -8
                 x < -4
          Kaprikornus, fungsi turun pada saat x < -4.
     
      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
          2x + 8 = 0
               2x = -8
                 x = -4
          Kaprikornus, fungsi tersebut stasioner pada ketika x = -4.
3.  y = x3 + 6x2 + 9x – 8
      y’ = 3x2 + 12x – 9
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          3x2 + 12x + 9 > 0
              x2 + 4x + 3 > 0
          (x + 1)(x + 3) > 0
          x < -3  atau x > -1
          Jadi, fungsi naik pada dikala x < -3  atau x > -1.
      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          3x2 + 12x + 9 < 0
              x2 + 4x + 3 < 0
          (x + 1)(x + 3) < 0
                  -3 < x < -1
          Kaprikornus, fungsi turun pada saat -3 < x < -1.
     
      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
              3x2 + 12x + 9 = 0
                 x2 + 4x + 3 = 0
             (x + 1)(x + 3) = 0
              x = -3 atau  x = -1
          Jadi, fungsi tersebut stasioner pada saat x = -3 atau  x = -1.
4.  y = x3 – 3x2 – 24 x + 20
      y’ = 3x2 – 6x – 24
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          3x2 – 6x – 24 > 0
              x2 – 2x – 8 > 0
          (x + 2)(x – 4) > 0
          x < -2  atau x > 4
          Kaprikornus, fungsi naik pada saat x < -2  atau x > 4.
      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          3x2 – 6x – 24 < 0
              x2 – 2x – 8 < 0
          (x + 2)(x – 4) < 0
                  -2 < x < 4
          Jadi, fungsi turun pada saat -2 < x < 4.
     
      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
          3x2 – 6x – 24  = 0
              x2 – 2x – 8 = 0
          (x + 2)(x – 4) = 0
          x = -2  atau x = 4
          Jadi, fungsi tersebut stasioner pada ketika x = -2 atau  x = 4.
5.  y = 2x3 + 3x2 – 12x + 15
      y’ = 6x2 + 6x – 12
      a. Fungsi naik (y’ > 0), maka :
          6x2 + 6x – 12 > 0
              x2 + x – 2 > 0
          (x + 1)(x – 2) > 0
          x < -1  atau x > 2
          Makara, fungsi naik pada ketika x < -1  atau x > 2.
      b. Fungsi turun (y’ < 0), maka :
          6x2 + 6x – 12 < 0
              x2 + x – 2 < 0
          (x + 1)(x – 2) < 0
                  -1 < x < 2
          Kaprikornus, fungsi turun pada ketika -1 < x < 2.
     
      c. Stasioner (y’ = 0), maka :
          6x2 + 6x – 12 = 0
               x2 + x – 2 = 0
          (x + 1)(x – 2) = 0
          x = -1  atau x = 2
          Kaprikornus, fungsi tersebut stasioner pada dikala x = -1 atau  x = 2.
Demikianlah sekilas bahan cara menentukan interval nilai x pada fungsi naik, fungsi turun, & stasioner memakai turunan fungsi.
Semoga bermanfaat.

ARTIKEL TERKAIT
Nilai Maksimum & Minimum sebuah Kurva pada Interval Tertutup

  Cara Membuktikan Tan 5x - Tan 3x - Tan 2x = Tan 5x Tan 3x Tan 2x

Menentukan Gradien & Persamaan Garis Singgung Kurva  Menggunakan Turunan Fungsi