Apa itu Biimplikasi?
Biimplikasi atau implikasi dwiarah ialah dua pernyataan atau kalimat terbuka yang dihubungkan dengan kata hubung “… kalau dan hanya bila …” dan dilambangkan dengan simbol “⇔”. Misalkan terdapat dua buah pernyataan p dan q sebagai berikut.
p: Lisa memberikan duit terhadap adiknya.
q: Lisa lulus cobaan.
Maka kalimat implikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.
p ⇔ q: Lisa akan menunjukkan duit kepada adiknya jikalau dan hanya kalau ia lulus ujian.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
|
p
|
q
|
p ⇔ q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
Keterangan:
B = benar
S = salah
Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.
p: 3 × 2 = 6 (benar)
q: 6 memiliki faktor 1, 2, 3, 4, 6 (salah)
Jawab:
p ⇔ q: 3 × 2 = 6 jikalau dan hanya bila 6 memiliki faktor 1, 2, 3, 4, 6. (salah)
2. Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.
p: Persegi memiliki 5 simetri lipat. (salah)
q: Persegi mempunyai 2 simetri putar. (sala)
Jawab:
p ⇔ q: Persegi mempunyai 5 simetri lipat jikalau dan hanya jikalau mempunyai 2 simetri putar. (benar)
3. Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.
a) (16)1/2 = 4 bila dan cuma jika 16log 4 = ½
b) x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real kalau dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak memiliki akar real.
Jawab:
a) Misalkan p: (16)1/2 = 4 dan q: 16log 4 = ½, maka:
● p: (16)1/2 = 4 bernilai benar (B)
● q: 16log 4 = ½ bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇔ q benar.
b) Misalkan p: x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real dan q: x2 – 4x = 0 tidak memiliki akar real, maka:
● p: x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real bernilai benar (B)
● q: x2 – 4x = 0 tidak memiliki akar real bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇔ q salah.
4. Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
3x – 4 = 2x + 2 kalau dan hanya bila 6 ialah bilangan genap.
Jawab:
Kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya bila 6 ialah bilangan genap” dapat dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇔ q” dengan p(x): 3x – 4 = 2x + 2 merupakan suatu kalimat terbuka dan q: 6 ialah bilangan genap merupakan sebuah pernyataan.
Agar kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan cuma jikalau 6 yakni bilangan genap” menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): 3x –4 = 2x + 2 haruslah diubah menjadi pernyataan yang benar, sebab pernyataan q sudah terperinci bernilai benar (amati tabel nilai kebenaran biimplikasi di atas).
Nilai x yang menjadikan kalimat terbuka p(x): 3x – 4 = 2x + 2 menjadi pernyataan yang benar yaitu himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka itu, yakni untuk x = 6. Makara, kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jikalau dan hanya bila 6 adalah bilangan genap” menjadi biimplikasi yang bernilai benar untuk x = 6.
5. Tentukan nilai kebenaran setiap biimpliasi berikut ini.
a) 0 tergolong bilangan cacah bila dan hanya jikalau 0 adalah bilangan asli.
b) 2m–n = 2m – 2n kalau dan hanya jika 25–2 = 23.
Jawab:
a) Misalkan p: 0 tergolong bilangan cacah dan q: 0 yaitu bilangan asli, maka:
● p: 0 tergolong bilangan cacah bernilai benar (B)
● q: 0 adalah bilangan orisinil bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇔ q salah.
b) Misalkan p: 2m–n = 2m – 2n dan q: 25–2 = 23, maka:
● p: 2m–n = 2m – 2n bernilai salah (S)
● q: q: 25–2 = 23 bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ⇔ q salah.
6. Diketahui p yaitu pernyataan yang bernilai salah dan q yaitu pernyataan yang bernilai benar, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.
a) p ⇔ q
b) p ⇔ q
c) p ⇔ q
d) p ⇔ q
e) (p ⇔ q)
f) ( p ⇔ q)
Jawab:
Untuk memudahkan memilih nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.
|
p
|
q
|
p
|
q
|
p ⇔ q
|
p ⇔ q
|
p ⇔ q
|
p ⇔ q
|
(p ⇔ q)
|
( p ⇔ q)
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
7. Carilah nilai x biar setiap kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
a) 2x + 1 = 3 jikalau dan cuma kalau 3 ialah bilangan komposit.
b) x2 – 1 ≤ jikalau dan hanya bila 2log 4 + 2log 2 = 3.
Jawab:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 2x + 1 = 3 dan sebuah pernyataan q: 3 ialah bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
q: 3 yaitu bilangan komposit bernilai salah. Hal ini dikarenakan 3 adalah bilangan prima sehingga tidak tergolong bilangan komposit. Bilangan komposit yaitu bilangan asli lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Contoh bilangan komposit adalah 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah. Sehingga nilai x yang memenuhi ialah sebagai berikut.
2x + 1 = 3
2x = 3 – 1
2x = 2
x = 1
Karena p(x) mesti bernilai salah, maka x harus bernilai selain 1. Kaprikornus, semoga kalimat “2x + 1 = 3 kalau dan cuma kalau 3 adalah bilangan komposit” menjadi biimplikasi yang benar, maka x ∈ R, x ≠1.
b) Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): x2 – 1 ≤ 0 dan suatu pernyataan q: 2log 4 + 2log 2 = 3. Nilai kebenaran pernyataan q yaitu selaku berikut.
2log 4 + 2log 2 = 2log 22 + 2log 21
= 2 + 1
= 3
Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi yaitu sebaga berikut.
x2 – 1 ≤ 0 maka HP = x
Kaprikornus, semoga kalimat “x2 – 1 ≤ jikalau dan hanya bila 2log 4 + 2log 2 = 3” menjadi biimplikasi yang benar, maka rentang nilai x yang memenuhi yaitu -1≤ x ≤ 1, x ∈ R.
8. Carilah nilai x supaya kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai salah.
4x – 2 = 10 kalau dan hanya kalau log 4 + log 1 = log 5
Jawab:
Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): 4x – 2 = 10 dan suatu pernyataan q: log 4 + log 1 = log 5. Nilai kebenaran pernyataan q yakni sebagai berikut.
log 4 + log 1 = log (4 × 1)
= log 4
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang menyanggupi yaitu sebaga berikut.
4x – 2 = 10
4x = 10 + 2
4x = 12
x = 3
Jadi, biar kalimat “4x – 2 = 10 kalau dan hanya jikalau log 4 + log 1 = log 5” menjadi bimplikasi yang bernilai salah, maka nilai x = 3.
9. Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.
a) log 25 – log 4 = 21 jika dan cuma jika log 25 + log 4 = 2.
b) a = b jikalau dan cuma jikalau a + c = b + c, untuk a, b, c ∈ R.
Jawab:
a) Misalkan p: log 25 – log 4 = log 21 dan q: log 25 + log 4 = 2. Kita tentukan nilai kebenaran pernyataan p dan q selaku berikut.
Nilai kebenaran p:
log 25 – log 4 = log (25/4)
log 25 – log 4 = log 6,25
jadi nilai kebenaran pernyataan p ialah salah (S).
Nilai kebenaran p:
log 25 + log 4 = log (25 × 4)
log 25 + log 4 = log 100
log 25 + log 4 = log 102
log 25 + log 4 = 2
jadi nilai kebenaran pernyataan q yakni benar (B).
alasannya p bernilai salah sedangkan q bernilai benar, maka p ⇔ q salah.
b) Misalkan p: a = b dan q: a + c = b + c. Dengan menggunakan persamaan pada pernyataan p, kita uji nilai kebenaran pernyataan q, yaitu selaku berikut.
a + c = b + c
b + c = b + c
Kaprikornus, pernyataan q benar, sedangkan pernyataan p telah pasti benar (saling mensugesti) dengan demikian, p ⇔ q benar.
10. Carilah nilai x agar kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
√9 adalah bilangan irasional jika dan hanya jika x > 2
Jawab:
Terdapat pernyataan p: √9 adalah bilangan irasional dan kalimat terbuka q(x): x > 2. Nilai kebenaran pernyataan p ialah sebagai berikut.
√9 = ±3 (bilangan rasional)
Dengan demikian, pernyataan p bernilai salah. Agar p ⇔ q benar, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah, sehingga nilai x yang memenuhi ialah x ≤ 2, x ∈R.
11. Carilah nilai x supaya kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai salah.
Log 9 = 2 log 3 kalau dan cuma bila x ≥ 5.
Jawab:
Terdapat suatu pernyataan p: log 9 = 2 log 3 dan kalimat terbuka q(x): x ≥ 5. Nilai kebenaran pernyataan p yaitu sebagai berikut.
Log 9 = log 32
Log 9 = 2 log 3
Jadi, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇔ q salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah sehingga nilai x yang menyanggupi ialah x < 5, x ∈ R.
12. Di antara pernyataan biimplikasi berikut ini, manakah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran benar (B)?
a) x = 16 bila dan cuma bila 2log x = 4
b) x – 6 > 0 jika dan hanya jika x2 – 7x + 6 > 0.
c) Dua buah garis sejajar jika dan hanya bila garis itu sebidang.
Jawab:
Suatu pernyataan biimplikasi yang berisikan dua kalimat terbuka p(x) dan q(x) akan bernilai benar kalau himpunan solusi dari kedua kalimat terbuka tersebut sama.
a) p(x): x = 16 dan q(x): 2log x = 4. Himpunan penyelesaian kedua kalimat terbuka ini adalah sebagai berikut.
Misalkan himpunan penyelesaian p(x) = P dan q(x): Q maka:
□ x = 16, P = 16
□ 2log x = 4
2log 24 = 4, Q = 24 = 16
Karena P = Q, maka kalimat “x = 16 jika dan cuma jika 2log x = 4” yakni biimplikasi yang benar.
b) p(x): x – 6 > 0 dan q(x): x2 – 7x + 6 > 0. Himpunan penyelesaian kedua kalimat terbuka ini yaitu selaku berikut.
Misalkan himpunan solusi p(x) = P dan q(x): Q maka:
□ x – 6 > 0
x > 6, P = x .
□ x2 – 7x + 6 > 0
(x – 6)(x – 1) > 0, Q = x < 1 atau x > 6, x ∈ R
Karena P = Q, maka kalimat “p(x): x – 6 > 0 dan q(x): x2 – 7x + 6 > 0” ialah biimplikasi yang benar.
b) Dua garis sejajar sudah niscaya sebidang. Tapi dua garis sebidang, belum pasti sejajar (bisa saja berhimpit). Jadi, kalimat “Dua buah garis sejajar kalau dan hanya kalau garis itu sebidang” yakni biimplikasi yang benar.
13. Carilah nilai x semoga setiap kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
Log 10 = 1 jika dan cuma kalau x3 + 1 = 0
Jawab:
Terdapat pernyataan p: Log 10 = 1 dan kalimat terbuka q(x): x3 + 1 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.
Log 10 = 10log 101 = 1
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar. Agar p ⇔ q benar, maka kalimat terbuka q(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang menyanggupi yaitu x = -1.
14. Carilah nilai x agar kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai salah.
Log 16 = (log 4)2 jika dan hanya jikalau x2 – 16 = 0.
Jawab:
Terdapat suatu pernyataan p: Log 16 = (log 4)2 dan kalimat terbuka q: x2 – 16 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p ialah sebagai berikut.
Log 16 = log (4 × 4)
Log 16 = log 4 + log 4
(log 4)2 = log 4 × log 4
Makara log 16 ≠ (log 4)2
Dengan demikian, pernyataan p bernilai salah. Agar p ⇔ q salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memenuhi adalah selaku berikut.
x2 – 16 = 0
(x + 4)(x – 4) = 0
x = -4 atau x = 4
Makara, kalimat “Log 16 = (log 4)2 jika dan cuma jikalau x2 – 16 = 0” akan menjadi biimplikasi yang salah, bila nilai x = -4 atau x = 4.