Apa itu Implikasi?
Implikasi ialah dua pernyataan atau kalimat terbuka yang dihubungkan dengan kata hubung “bila … maka …” serta dilambangkan dengan simbol “⇒”. Misalkan terdapat dua buah pernyataan p dan q selaku berikut.
p: Lisa lulus cobaan.
q: Lisa memperlihatkan duit terhadap adiknya.
Maka kalimat implikasi dari dua pernyataan tersebut yaitu sebagai berikut.
p ⇒ q: Jika Lisa lulus cobaan maka dia akan menawarkan duit kepada adiknya.
Tabel Kebenaran Implikasi
|
p
|
q
|
p ⇒ q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
Keterangan:
B = benar
S = salah
Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.
p: Pak Rudi ialah manusia. (benar)
q: Pak Rudi kelak akan mati. (benar)
Jawab:
p ⇒ q: Jika Pak Rudi yaitu manusia, maka kelak akan mati. (benar)
2. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.
p: 2 + 5 = 7 (benar)
q: 7 bukan bilangan prima (salah)
Jawab:
p ⇒ q: Jika 2 + 5 = 7, maka 7 bukan bilangan prima (salah).
3. Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut ini.
a) Jika 3 + 2 = 5, maka 5 yakni bilangan prima.
b) Jika 9 ialah bilangan genap, maka Surabaya yaitu ibukota Jawa Timur.
c) Jika Semarang ibukota Jawa Tengah, maka Medan ibukota Sumatra Barat.
d) Jika log 3 + log 5 = log 8, maka 103 + 105 = 108.
Jawab:
a) Misalkan p: 3 + 2 = 5 dan q: 5 yakni bilangan prima, maka:
● p: 3 + 2 = 5 bernilai benar (B)
● q: 5 ialah bilangan prima bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
b) Misalkan p: 9 yakni bilangan genap dan q: Surabaya yaitu ibukota Jawa Timur, maka:
● p: 9 adalah bilangan genap bernilai salah (S)
● q: Surabaya yaitu ibukota Jawa Timur bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
c) Misalkan p: Semarang ibukota Jawa Tengah dan q: Medan ibukota Sumatra Barat, maka:
● p: Semarang ibukota Jawa Tengah bernilai benar (B)
● q: Medan ibukota Sumatra Barat bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇒ q salah.
d) Misalkan p: log 3 + log 5 = log 8 dan q: 103 + 105 = 108, maka:
p: log 3 + log 5 = log 8 bernilai salah (S)
q: 103 + 105 = 108 bernilai salah (S)
Karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q benar.
4. Carilah nilai x semoga kalimat berikut menjadi implikasi yang benar.
Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima.
Jawab:
Kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 ialah bilangan prima” mampu dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇒ q” dengan p(x): x – 3 = 4 merupakan suatu kalimat terbuka dan q: 4 yakni bilangan prima merupakan suatu pernyataan.
Agar kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 yaitu bilangan prima” menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 mesti diubah menjadi pernyataan yang salah, alasannya adalah pernyataan q sudah terang bernilai salah (amati tabel nilai kebenaran implikasi).
Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 menjadi pernyataan yang salah ditentukan sebagai berikut.
x – 3 = 4
x = 4 + 3
x = 7
Apabila nilai x = 7 maka kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 bernilai benar. Karena kita membutuhkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 bernilai salah, maka nilai x yang menyanggupi yakni x ≠ 7.
Makara, kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 yaitu bilangan prima” menjadi implikasi yang bernilai benar untuk x ≠ 7.
5. Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a) Jika 22 × 23 = 25 maka 2log 32 = 5.
b) Jika 3 aspek dari 6 maka 6 habis dibagi 2.
c) Jika log 10 = 1 maka log 20 = 2
d) Jika 5 ialah bilangan genap maka 5 + 1 ialah bilangan ganjil.
e) Jika x2 < 0 maka x2 + 1 > 0.
Jawab:
a) Misalkan p: 22 × 23 = 25 dan q: 2log 32 = 5, maka:
● p: 22 × 23 = 25 bernilai benar (B)
● q: 2log 32 = 5 bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
b) Misalkan p: 3 aspek dari 6 dan q: 6 habis dibagi 2, maka:
● p: 3 faktor dari 6 bernilai benar (B)
● q: 6 habis dibagi 2 bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
c) Misalkan p: log 10 = 1 dan q: log 20 = 2, maka
● p: log 10 = 1 bernilai benar (B)
● q: log 20 = 2 bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sementara q bernilai salah, maka p ⇒ q salah.
d) Misalkan p: 5 adalah bilangan genap dan q: 5 + 1 yaitu bilangan ganjil, maka:
● p: 5 yakni bilangan genap bernilai salah (S)
● q: 5 + 1 yakni bilangan ganjil bernilai salah (S)
Karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q benar.
e) Misalkan p: x2 < 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:
● p: x2 < 0 bernilai salah (S)
● q: x2 + 1 > 0 bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
6. Misalkan p yaitu pernyataan yang bernilai benar dan q yakni pernyataan yang bernilai salah, pastikan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut ini.
a) p ⇒ q
b) p ⇒ q
c) p ⇒ q
d) p ⇒ q
e) (p ⇒ q)
f) ( p ⇒ q)
Jawab:
Untuk memudahkan memilih nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.
|
p
|
q
|
p
|
q
|
p ⇒ q
|
p ⇒ q
|
p ⇒ q
|
p ⇒ q
|
(p ⇒ q)
|
( p ⇒ q)
|
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
7. Carilah nilai-nilai x semoga setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai benar.
a) Jika 1 – 3x = 4 maka 2 yakni bilangan komposit.
b) Jika x2 ≠ 4 maka √4 = ±2.
Jawab:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 1 – 3x = 4 dan suatu pernyataan q: 2 yaitu bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q yaitu selaku berikut.
q: 2 yaitu bilangan komposit bernilai salah. Hal ini dikarenakan 2 bukan tergolong bilangan komposit. Bilangan komposit adalah bilangan orisinil lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Contoh bilangan komposit yaitu 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) mesti bernilai salah. Sehingga nilai x yang memenuhi ialah sebagai berikut.
1 – 3x = 4
-3x = 4 – 1
-3x = 3
x = 3/(-3)
x = -1
karena p(x) mesti bernilai salah, maka x mesti bernilai selain bilangan -1. Jadi, agar kalimat “Jika 1 – 3x = 4 maka 2 adalah bilangan komposit” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x ≠ -1.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2 ≠ 4 dan sebuah pernyataan q: √4 = ±2. Nilai kebenaran pernyataan q yakni benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka p(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai benar atau salah. Sehingga nilai x yang menyanggupi yaitu sebagai berikut.
x2 ≠ 4
x ≠ √4
x ≠ ±2
■ Agar p(x): x2 ≠ 4 bernilai benar, maka nilai x ≠ ±2.
■ Agar p(x): x2 ≠ 4 bernilai salah, maka nilai x = ±2.
Apabila x ≠ ±2 dan x = ±2 digabungkan maka himpunan penyelesaiannya akan menjadi x ∈ R.
Makara, semoga kalimat “Jika x2 ≠ 4 maka √4 = ±2” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x yang memenuhi ialah x ∈ R.
8. Carilah nilai-nilai x supaya setiap kalimat berikut menjadi implikasi yang salah.
a) Jika 5 – 2x = 1, maka √9 yaitu bilangan irasional.
b) Jika 4x – 5 = 2x + 1, maka log 5 + log 6 = log 11.
Jawab:
a) Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = 1 dan suatu pernyataan q: √9 yaitu bilangan irasional. Nilai kebenaran pernyataan q kita pastikan sebagai berikut.
√9 = ±3 (bilangan rasional)
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi yaitu sebagai berikut.
5 – 2x = 1
2x = 5 – 1
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Kaprikornus, biar kalimat “Jika 5 – 2x = 1, maka √9 adalah bilangan irasional” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x yang menyanggupi ialah x = 2.
b) Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): 4x – 5 = 2x + 1 dan sebuah pernyataan q: log 5 + log 6 = log 11. Nilai kebenaran pernyataan q kita pastikan sebagai berikut.
log 5 + log 6 = log (5 × 6)
log 5 + log 6 = log 30
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang menyanggupi ialah selaku berikut.
4x – 5 = 2x + 1
4x – 2x = 1 + 5
2x = 6
x = 6/2
x = 3
Kaprikornus, agar kalimat “Jika 4x – 5 = 2x + 1, maka log 5 + log 6 = log 11” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x yang memenuhi yakni x = 3.
9. Carilah nilai-nilai x supaya setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai benar.
a) Jika x < 2 maka 2log 4 = 1/2
b) Jika 31/2 = √3 maka 1 – 2x = x – 8
Penyelesaian:
a) terdapat suatu kalimat terbuka adalah p(x): x < 2 dan pernyataan q: 2log 4 = 1/2. Nilai kebenaran pernyataan q kita pastikan selaku berikut.
2log 4 = 2log 22 = 2
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai salah. Nilai x yang memenuhi yaitu selaku berikut.
x < 2, maka x mesti lebih besar dari atau sama dengan 2 untuk x ∈ R.
Makara, semoga kalimat “Jika x < 2 maka 2log 4 = 1/2” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x ≥ 2, untuk x ∈ R.
b) Terdapat suatu pernyataan p: 31/2 = √3 dan kalimat terbuka q(x): 1 – 2x = x – 8. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan selaku berikut.
31/2 = 2√31 atau cuma ditulis sebagai √3
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memnuhi yaitu selaku berikut.
1 – 2x = x – 8
x + 2x = 1 + 8
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Kaprikornus, biar kalimat “Jika 31/2 = √3 maka 1 – 2x = x – 8” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x yang menyanggupi yaitu 3.
10. Carilah nilai-nilai x semoga setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai salah.
a) Jika x2 – 1 = 0 maka sin2 45o = 1.
b) Jika √2 + √8 = 3√2 maka x – 2 ≠ 1.
Penyelesaian:
a) Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): x2 – 1 = 0 dan pernyataan q: sin2 45o = 1. Nilai kebenaran pernyataan q kita pastikan sebagai berikut.
sin2 45o = (sin 45)2
sin2 45o = (1/2√2)2
sin2 45o = 1/4(2)
sin2 45o = 2/4
sin2 45o = 1/2
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang bernilai salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang menyanggupi yaitu selaku berikut.
x2 – 1 = 0
(x – 1)(x + 1) = 0
x = 1 atau x = -1
Makara, biar kalimat “Jika x2 – 1 = 0 maka sin2 45o = 1” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x adalah 1 atau -1.
b) Terdapat suatu pernyataan p: √2 + √8 = 3√2 dan kalimat terbuka q(x): x – 2 ≠ 1. Nilai kebenaran pernyataan p ialah selaku berikut.
√2 + √8 = √2 + √(4 × 2)
√2 + √8 = √2 + √4 × √2
√2 + √8 = √2 + 2 × √2
√2 + √8 = √2 + 2√2
√2 + √8 = 3√2
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang bernilai salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah, sehingga nilai x yang memenuhi yakni sebagai berikut.
x – 2 = 1
x = 1 + 2
x = 3
kalau nilai x = 3, maka kalimat terbuka x – 2 ≠ 1 akan menjadi pernyataan yang bernilai salah (S).
Kaprikornus, semoga kalimat “Jika √2 + √8 = 3√2 maka x – 2 ≠ 1” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka nilai x ialah 3.
11. Carilah nilai-nilai x semoga kalimat “kalau 3log 1/3 = −1 maka x3 – 1 = 0” menjadi implikasi yang bernilai benar.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan yakni p: jikalau 3log 1/3 = −1 dan kalimat terbuka q(x): x3 – 1 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan sebagai berikut.
3log 1/3 = 3log (3)-1 = −1
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Sekarang coba amati kembali tabel nilai kebenaran implikasi di atas. Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar, maka kalimat terbuka q(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai benar. Nilai x yang memenuhi yakni selaku berikut.
x3 – 1 = 0
x3 = 1
x = 3√1
x = 1
jadi, supaya kalimat “bila 3log 1/3 = −1 maka x3 – 1 = 0” menjadi implikasi yang benarm maka nilai x = 1.
12. Carilah nilai-nilai x semoga kalimat “Jika (√4 + √9) bilangan rasional, maka x2 – 16 = 0” menjadi implikasi yang bernilai salah.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan p: (√4 + √9) bilangan rasional dan kalimat terbuka q(x): x2 – 16 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p kita pastikan selaku berikut.
√4 + √9 = 2 + 3 = 5 (bilangan rasional)
Bilangan rasional yakni sebuah bilangan yang mampu dinyatakan dalam betuk a/b (kepingan) dimana a dan b ialah bilangan lingkaran dan b ≠ 0. Contohnya bilangan 3 dapat dinyatakan dalam bentuk 6/2, 9/3, 18/6 dan sebagainya.
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar. Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah. Mula-mula kita tentukan terlebih nilai x yang menyanggupi adalah selaku berikut.
x2 – 16 = 0
(x – 4)(x + 4) = 0
x = 4 atau x = −4
● Jika nilai x = 4 atau x = −4, maka kalimat terbuka q(x): x2 – 16 = 0 menjadi pernyataan yang bernilai benar (B).
● Jika nilai x ≠ 4 atau x ≠ −4, maka kalimat terbuka q(x): x2 – 16 = 0 menjadi pernyataan yang bernilai salah (S).
Jadi, agar kalimat “Jika (√4 + √9) bilangan rasional, maka x2 – 16 = 0” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka x ∈ R, dengan x ≠ 4 dan x ≠−4.